高中数学第2章概率2.5随机变量的均值和方差教学案苏教版选修.docx

2.5 随机变量的均值和方差第1课时离散型随机变量的均值设有12个西瓜，其中4个重5 kg，3个重6 kg，5个重7 kg.问题1：任取一个西瓜，用X表示这个西瓜的重量，试想X的取值是多少？提示：x5，6，7.问题2：x取上述值时，对应的概率分别是多少？提示：，.问题3：试想西瓜的平均质量该如何表示？提示：567.1离散型随机变量的均值(或数学期望)(1)定义：若离散型随机变量X的概率分布为Xx1x2xnPp1p2pn则称x1p1x2p2xnpn为离散型随机变量X的均值或数学期望，也称为X的概率分布的均值，记为E(X)或，即E(X)x1p1x2p2xnpn其中，xi是随机变量X的可能取值，pi是概率，pi0，i1，2，n，p1p2pn1(2)意义：刻画离散型随机变量取值的平均水平和稳定程度2两种常见概率分布的均值(1)超几何分布：若XH(n，M，N)，则E(X)(2)二项分布：若XB(n，p)，则E(X)np1随机变量的均值表示随机变量在随机试验中取值的平均水平，又常称随机变量的平均数，它是概率意义下的平均值，不同于相应数值的算术平均数2离散型随机变量的均值反映了离散型随机变量取值的平均水平，它是一个常数，是随机变量的多次独立观测值的算术平均值的稳定性，即由独立观测组成的随机样本的均值的稳定值而样本的平均值是一个随机变量，它随着观测次数的增加而趋于随机变量的均值例1已知甲盒内有大小相同的1个红球和3个黑球，乙盒内有大小相同的2个红球和4个黑球现从甲、乙两个盒内各任取2个球(1)求取出的4个球均为黑球的概率；(2)求取出的4个球中恰有1个红球的概率；(3)设X为取出的4个球中红球的个数，求X的概率分布和均值思路点拨首先确定X的取值及其对应的概率，然后确定随机变量的概率分布及均值精解详析(1)设“从甲盒内取出的2个球均为黑球”为事件A，“从乙盒内取出的2个球均为黑球”为事件B.由于事件A，B相互独立，且P(A)，P(B).故取出的4个球均为黑球的概率为P(AB)P(A)P(B).(2)设“从甲盒内取出的2个球均为黑球；从乙盒内取出的2个球中，1个是红球，1个是黑球”为事件C，“从甲盒内取出的2个球中，1个是红球，1个是黑球；从乙盒内取出的2个球均为黑球”为事件D.由于事件C，D互斥，且P(C)，P(D).故取出的4个球中恰有1个红球的概率为P(CD)P(C)P(D).(3)X可能的取值为0，1，2，3.由(1)，(2)得P(X0)，P(X1)，P(X3).从而P(X2)1P(X0)P(X1)P(X3).所以X的概率分布为X0123P故X的均值E(X)0123.一点通求离散型随机变量X的均值的步骤：(1)理解X的意义，写出X可能取的全部值；(2)求X取每个值的概率；(3)写出X的概率分布表(有时可以省略)；(4)利用定义公式E(X)x1p1x2p2xnpn求出均值1(广东高考)已知离散型随机变量X的分布列为X123P则X的均值E(X)_解析：E(X)123.答案：2若对于某个数学问题，甲、乙两人都在研究，甲解出该题的概率为，乙解出该题的概率为，设解出该题的人数为X, 求E(X)解：记“甲解出该题”为事件A，“乙解出该题”为事件B，X可能取值为0，1，2.P(X0)P(A B)P(A)P(B)，P(X1)P(AB)P(AB)P(A)P(B)P(A)P(B)，P(X2)P(AB)P(A)P(B).所以，X的分布列如下表：X012P故E(X)012.例2甲、乙两人各进行3次射击，甲每次击中目标的概率为，乙每次击中目标的概率为，记甲击中目标的次数为X，乙击中目标的次数为Y.(1)求X的概率分布；(2)求X和Y的均值思路点拨甲、乙击中目标的次数均服从二项分布精解详析(1)P(X0)C；P(X1)C；P(X2)C；P(X3)C.所以X的概率分布如下表：X0123P(2)由(1)知E(X)01231.5，或由题意XB，YB，所以E(X)31.5，E(Y)32.一点通超几何分布和二项分布是两种特殊的而且应用相当广泛的概率分布，解题时如果能发现是这两种分布模型，就可以直接利用规律写出概率分布，求出均值3某运动员投篮命中率为p0.6.(1)求一次投篮时命中次数X的均值；(2)求重复5次投篮时，命中次数Y的均值解：(1)投篮一次，命中次数X的概率分布如下表：X01P0.40.6则E(X)p0.6.(2)由题意，重复5次投篮，命中的次数Y服从二项分布，即YB(5，0.6)则E(Y)np50.63.4一个箱子中装有大小相同的1个红球，2个白球，3个黑球现从箱子中一次性摸出3个球，每个球是否被摸出是等可能的(1)求至少摸出一个白球的概率；(2)用X表示摸出的黑球数，写出X的概率分布并求X的均值解：记“至少摸出一个白球”为事件A，则事件A的对立事件A为“摸出的3个球中没有白球”，则P(A)，P(A)1P(A)，即至少摸出一个白球的概率等于.(2)X的所有可能取值为0，1，2，3.P(X0)，P(X1)，P(X2)，P(X3).X的概率分布为X0123P所以E(X)0123，即X的数学期望为.例3甲、乙、丙三人进行羽毛球练习赛，其中两人比赛，另一人当裁判，每局比赛结束时，负的一方在下一局当裁判设各局中双方获胜的概率均为，各局比赛的结果相互独立，第1局甲当裁判(1)求第4局甲当裁判的概率；(2)X表示前4局中乙当裁判的次数，求X的均值思路点拨(1)第4局甲当裁判的前提是第2局甲胜，第3局甲参加比赛且负(2)X的取值为0，1，2.精解详析(1)记A1表示事件“第2局结果为甲胜”，A2表示事件“第3局甲参加比赛，结果为甲负”，A表示事件“第4局甲当裁判”则AA1A2.P(A)P(A1A2)P(A1)P(A2).(2)X的可能取值为0，1，2.记A3表示事件“第3局乙和丙比赛时，结果为乙胜丙”，B1表示事件“第1局结果为乙胜丙”，B2表示事件“第2局乙和甲比赛时，结果为乙胜甲”，B3表示事件“第3局乙参加比赛时，结果为乙负”则P(X0)P(B1B2A3)P(B1)P(B2)P(A3)，P(X2)P(1B3)P(1)P(B3)，P(X1)1P(X0)P(X2)1，E(X)0P(X0)1P(X1)2P(X2).一点通解答此类题目，应首先把实际问题概率模型化，然后利用有关概率的知识去分析相应各事件可能性的大小，并列出概率分布表，最后利用有关的公式求出相应的概率及均值5某保险公司新开设了一项保险业务，若在一年内事件E发生，该公司要赔偿a元，设一年内E发生的概率为p，为使公司收益的均值等于a的10%，公司应要求投保人交多少保险金？解：设保险公司要求投保人交x元保险金，以保险公司的收益额X作为随机变量，则不难得出其概率分布表如下：XxxaP1pp由上述概率分布表可求得，保险公司每年收益的均值为E(X)x(1p)(xa)pxap，由题意可知xap0.1a，解得x(0.1p)a.即投保人交(0.1p)a元保险金时，可使保险公司收益的均值为0.1a.6现有甲、乙两个靶某射手向甲靶射击两次，每次命中的概率为，每命中一次得1分，没有命中得0分；向乙靶射击一次，命中的概率为，命中得2分，没有命中得0分该射手每次射击的结果相互独立假设该射手完成以上三次射击(1)求该射手恰好命中两次的概率；(2)求该射手的总得分X的概率分布及均值解：(1)记“该射手恰好命中两次”为事件A，“该射手第一次射击甲靶命中”为事件B，“该射手第二次射击甲靶命中”为事件C，“该射手射击乙靶命中”为事件D.由题意知，P(B)P(C)，P(D)，所以P(A)P(BC)P(BD)P(CD)P(B)P(C)P()P(B)P()P(D)P()P(C)P(D).(2)根据题意，X的所有可能取值为0，1，2，3，4.P(X0)P()，P(X1)P(B)P(C).P(X2)P(BC)P(D)，P(X3)P(BD)P(CD)，P(X4)P(BCD).故X的概率分布是X01234P所以E(X)01234.1求随机变量X的均值，关键是正确求出X的分布列，在求X取每一个值的概率时，要联系概率的有关知识，如古典概型、互斥事件的概率、独立事件的概率等2对于aXb型的随机变量，可利用均值的性质求解，即E(aXb)aE(X)b；也可以先列出aXb的概率分布表，再用均值公式求解，比较两种方式显然前者较方便课下能力提升(十五)一、填空题1已知随机变量X的概率分布为X21012Pm则E(X)_解析：由随机变量分布列的性质得，m1，解得m，于是，X的概率分布为X21012P所以E(X)(2)(1)012.答案：2若随机变量XB(n，0.6)，且E(X)3，则P(X1)_解析：XB(n，0.6)，E(X)3，0.6n3，即n5.P(X1)C0.6(10.6)430.440.076 8.答案：0.076 83考察一种耐高温材料的一个重要指标是看其是否能够承受600度的高温现有一种这样的材料，已知其能够承受600度高温的概率是0.7，若令随机变量X则X的均值为_解析：依题意X服从两点分布，其概率分布为X10P0.70.3所以X的均值是E(X)0.7.答案：0.74设10件产品中有3件次品，从中抽取2件进行检查，则查得次品数的均值为_解析：设取得次品数为X(X0，1，2)，则P(X0)，P(X1)，P(X2)，E(X)012.答案：5. (湖北高考改编)如图所示，将一个各面都涂了油漆的正方体，切割为125个同样大小的小正方体，经过搅拌后，从中随机取一个小正方体，记它的涂漆面数为X，则X的均值E(X)_解析：X的取值为0，1，2，3且P (X0)，P(X1)，P(X2)，P(X3)，故E(X)0123.答案：二、解答题6两名战士在一次射击比赛中，战士甲得1分，2分，3分的概率分别为0.4，0.1，0.5；战士乙得1分，2分，3分的概率分别为0.1，0.6，0.3，那么两名战士中获胜希望较大的是哪一个？解：设这次射击比赛中战士甲得X分，战士乙得Y分，则它们的概率分布如下：X123P0.40.10.5Y123P0.10.60.3根据均值公式，得E(X)10.420.130.52.1，E(Y)10.120.630.32.2.E(Y)E(X)，这次射击中战士乙得分的均值较大，即获胜的希望也较大7一接待中心有A，B，C，D四部热线电话，已知某一时刻电话A，B占线的概率均为0.5，电话C，D占线的概率均为0.4，各部电话是否占线相互间没有影响，假设该时刻有X部电话占线，试求随机变量X的概率分布和它的均值解：P(X0)0.520.620.09，P(X1)C0.520.62C0.520.40.60.3，P(X2)C0.520.62CC0.520.40.6C0.520.420.37，P(X3)C0.520.40.6CC0.520.420.2，P(X4)0.520.420.04.于是得到X的概率分布列为X01234P0.090.30.370.20.04所以E(X)00.0910.320.3730.240.041.8.8某种项目的射击比赛，开始时在距目标100 m处射击，如果命中记3分，且停止射击；若第一次射击未命中，可以进行第二次射击，但目标已在150 m处，这时命中记2分，且停止射击；若第二次仍未命中，还可以进行第三次射击，此时目标已在200 m处，若第三次命中则记1分，并停止射击；若三次都未命中，则记0分，且比赛结束已知射手甲在100 m处击中目标的概率为，他的命中率与目标的距离的平方成反比，且各次射击都是独立的(1)求射手甲在这次射击比赛中命中目标的概率；(2)求射手甲在这次射击比赛中得分的均值解：(1)记第一、二、三次射击命中目标分别为事件A，B，C，三次都未击中目标为事件D，依题意P(A)，设在x m处击中目标的概率为P(x)，则P(x)，且，k5 000，即P(x)，P(B)，P(C)，P(D).由于各次射击都是相互独立的，该射手在三次射击中击中目标的概率PP(A)P(B)P(C)P(A)P()P(B)P()P()P(C).(2)依题意，设射手甲得分为X，则P(X3)，P(X2)，P(X1)，P(X0).所以E(X)3210.第2课时离散型随机变量的方差和标准差A，B两台机床同时加工零件，每生产一批数量较大的产品时，出次品的概率如下表：A机床次品数X10123P0.70.20.060.04B机床次品数X20123P0.80.060.040.10问题1：试求E(X1)，E(X2)提示：E(X1)00.710.220.0630.040.44.E(X2)00.810.0620.0430.100.44.问题2：由E(X1)和E(X2)的值说明了什么？提示：E(X1)E(X2)问题3：试想利用什么指标可以比较加工质量？提示：样本方差1离散型随机变量的方差和标准差(1)离散型随机变量的方差定义：设离散型随机变量X的均值为， 其概率分布为Xx1x2xnPp1p2pn则(x1)2p1(x2)2p2(xn)2pn(其中pi0，i1，2，n，p1p2pn1)称为离散型随机变量X的方差，也称为X的概率分布的方差，记为V(X)或2变形公式：V(X)pi2意义：方差刻画了随机变量X与其均值的平均偏离程度(2)离散型随机变量的标准差X的方差V(X)的算术平方根称为X的标准差，即2两点分布、超几何分布、二项分布的方差(1)若X01分布，则V(X)p(1p)；(2)若XH(n，M，N)，则V(X)；(3)若XB(n，p)，则V(X)np(1p)1随机变量的方差是常数，它和标准差都反映了随机变量X取值的稳定性和波动、集中与离散程度V(X)越小，稳定性越高，波动越小2随机变量的方差与样本方差的关系：随机变量的方差即为总体的方差，它是一个常数，是不随抽样样本变化而客观存在的；样本方差则是随机变量，它是随样本不同而变化的对于简单随机样本，随着样本容量的增加，样本方差越来越接近于总体方差例1已知随机变量X的概率分布为X01xPp若E(X)，求V(X)思路点拨解答本题可先根据i1求出p值，然后借助E(X)，求出x的取值，最后代入公式求方差精解详析由p1，得p.又E(X)01x，x2.V(X).一点通求方差和标准差的关键是求概率分布，只要有了概率分布，就可以依据定义求得均值，进而求得方差或标准差1已知X的概率分布为X1234P0.30.20.20.3则V(X)_解析：E(X)10.320.230.240.30.30.40.61.22.5.V(X)0.3(12.5)20.2(22.5)20.2(32.5)20.3(42.5)21.45.答案：1.452有一批产品，其中有12件正品和4件次品，有放回地任取3件，若X表示取到次品的次数，则V(X)_.解析：由题意知取到次品的概率为，XB，V(X)3.答案：例2某投资公司在2016年年初准备将1 000万元投资到“低碳”项目上，现有两个项目供选择：项目一：新能源汽车据市场调研，投资到该项目上，到年底可能获利30%，也可能亏损15%，且这两种情况发生的概率分别为和；项目二：通信设备据市场调研，投资到该项目上，到年底可能获利50%，可能亏损30%，也可能不赔不赚，且这三种情况发生的概率分别为，和.针对以上两个投资项目，请你为投资公司选择一个合理的项目，并说明理由思路点拨分别计算项目一、二中获利的均值与方差后，作出判断精解详析若按“项目一”投资，设获利X1万元，则X1的概率分布为X1300150PE(X1)300(150)200(万元)若按“项目二”投资，设获利X2万元，则X2的概率分布为X25003000PE(X2)500(300)0200(万元)V(X1)(300200)2(150200)235 000，V(X2)(500200)2(300200)2(0200)2140 000，E(X1)E(X2)，V(X1)V(X2)，这说明虽然项目一、项目二获利相等，但项目一更稳妥综上所述，建议该投资公司选择项目一投资一点通离散型随机变量的均值反映了离散型随机变量取值的平均水平，而方差反映了离散型随机变量取值的稳定与波动、集中与离散的程度因此在实际决策问题中，需先运算均值，看一下谁的平均水平高，然后再计算方差，分析一下谁的水平发挥相对稳定，当然不同的模型要求不同，应视情况而定3甲、乙比赛时，甲每局赢的概率是0.51，乙每局赢的概率是0.49.甲、乙一共进行了10局比赛，当各局比赛的结果是相互独立时，计算甲平均赢多少局，乙平均赢多少局谁的技术比较稳定？解：用X表示10局中甲赢的局数，则XB (10，0.51)，故E(X)100.515.1，即甲平均赢5.1局用Y表示10局中乙赢的局数，则YB(10，0.49)故E(Y)100.494.9，于是乙平均赢4.9局又V(X)100.510.492.499，V(Y)100.490.512.499.所以他们技术的稳定性一样.例3在一个不透明的纸袋里装有5个大小相同的小球，其中有1个红球和4个黄球，规定每次从袋中任意摸出一球，若摸出的是黄球则不再放回，直到摸出红球为止，求摸球次数X的均值和方差思路点拨精解详析X可能取的值为1，2，3，4，5.P(X1)，P(X2)，P(X3)，P(X4)，P(X5)1.X的概率分布为X12345P0.20.20.20.20.2由定义知，E(X)0.2(12345)3，V(X)0.2(2212021222)2.一点通求离散型随机变量X的均值与方差的基本步骤：(1)理解X的意义，写出X可能取的全部值；(2)求X取每个值的概率；(3)写出X的概率分布；(4)由均值的定义求E(X)；(5)由方差的定义求V(X)4把本例中的条件改为“若摸出一球观察颜色后放回，摸球5次，求摸出红球的次数Y的均值和方差”解：由题意知YB，E(Y)51，V(Y)5.5甲，乙两人独立解某一道数学题，已知该题被甲独立解出的概率为0.6，被甲或乙解出的概率为0.92，(1)求该题被乙独立解出的概率；(2)求解出该题的人数X的均值和方差解：(1)记甲、乙分别解出此题的事件记为A，B.设甲独立解出此题的概率为P1，乙为P2，则P(A)P10.6，P(B)P2，P(AB)1P( )1(1P1)(1P2)P1P2P1P20.92，0.6P20.6P20.92.则0.4P20.32，即P20.8.(2)P(X0)P(A)P(B)0.40.20.08，P(X1)P(A)P(B)P(A)P(B)0.60.20.40.80.44，P(X2)P(A)P(B)0.60.80.48.X的概率分布为X012P0.080.440.48E(X)00.0810.4420.480.440.961.4，V(X)(01.4)20.08(11.4)20.44(21.4)20.480.156 80.070 40.172 80.4.1已知随机变量的概率分布，求它的均值、方差(或标准差)，可直接由定义(公式)求解2已知随机变量X的均值、方差，求X的线性函数yaXb的均值和方差，可直接用X的均值，方差的性质求解，即E(aXb)aE(X)b，V(aXb)a2V(X)3若能分析出所给随机变量服从两点分布或二项分布，则可直接用它们的均值、方差公式计算课下能力提升(十六)一、填空题1已知X的概率分布为X123Pa0.10.6则V(X)_解析：a0.10.61，a0.3.E(X)10.320.130.62.3.V(X)(12.3)20.3(22.3)20.1(32.3)20.60.81.答案：0.812一批产品中，次品率为，现有放回地连续抽取4次，若抽的次品件数记为X，则V(X)的值为_解析：由题意，次品件数X服从二项分布，即XB，故V(X)np(1p)4.答案：3已知XB(n，p)，且E(X)7，V(X)6，则p_.解析：E(X)np7，V(X)np(1p)6，1p，即p.答案：4已知随机变量X的概率分布为X01xPp且E(X)1.1，则V(X)的值为_解析：由随机变量分布列的性质可得p1.又E(X)01x1.1，解得x2，可得V(X)(01.1)2(11.1)2(21.1)20.49.答案：0.495篮球比赛中每次罚球命中得1分，不中得0分已知某运动员罚球命中的概率为0.7，则他一次罚球得分的方差为_解析：设一次罚球得分为X，X服从