高考数学总复习 （教材回扣夯实双基+考点突破+瞭望高考）第六章第7课时 数学归纳法课件.ppt

第7课时数学归纳法 基础梳理1 数学归纳法的适用范围数学归纳法是用来证明与 有关命题的一种方法 若n0是起始值 则n0是使命题成立的 正整数n 最小正整数 2 数学归纳法的步骤用数学归纳法证明命题时 其步骤如下 1 当n 时 验证命题成立 2 假设n 时命题成立 推证n 时命题也成立 从而推出命题对所有的从n0开始的正整数n命题都成立 k 1 n0 n0 n k k n0 k n 思考探究数学归纳法的两个步骤各有何作用 提示 数学归纳法中两个步骤体现了递推思想 第一步是递推基础 也叫归纳奠基 第二步是递推的依据 也叫归纳递推 两者缺一不可 课前热身 答案 c 2 用数学归纳法证明 当n为正奇数时 xn yn能被x y整除 第二步归纳假设应写成 a 假设n 2k 1 k n 时命题成立 再推n 2k 3时命题成立b 假设n 2k 1 k n 时命题成立 再推n 2k 1时命题成立 c 假设n k k n 时命题成立 再推n k 1时命题成立d 假设n k k 1 时命题成立 再推n k 2时命题成立答案 b 3 教材习题改编 数列 an 中 已知a1 1 当n 2时an an 1 2n 1 依次计算a2 a3 a4后 猜想an的表达式是 a 3n 2b n2c 3n 1d 4n 3答案 b 答案 2k 5 记凸k边形的内角和为f k 则凸k 1边形的内角和f k 1 f k 答案 用数学归纳法证明恒等式的关键是在证明n k 1时命题成立 要从n k 1时待证的目标恒等式的一端 拼凑 出归纳假设的恒等式的一端 再运用归纳假设即可 同时 还要注意待证的目标恒等式的另一端的变化 即用 k 1 替换恒等式中的所有 n 思路分析 按数学归纳法的步骤进行证明即可 k 1 f k 1 1 当n k 1时结论仍然成立 由 1 2 可知 f 1 f 2 f n 1 n f n 1 n 2 n n 整除问题是常见数学问题 除了在二项式定理中利用二项式定理证明整除外 有些还可用数学归纳法 应用数学归纳法证明整除性问题时 关键是 凑项 采用增项 减项 拆项和因式分解等 方法 也可以说将式子 硬提公因式 即将n k时的项从n k 1时的项中 硬提出来 构成n k时的项 后面的式子相对变形 使之与n k 1时的项相同 从而达到利用假设的目的 用数学归纳法证明an 1 a 1 2n 1能被a2 a 1整除 n n 思路分析 验证n 1时命题是否成立 假设n k时命题成立 推证n k 1时命题成立 得结论 证明 1 当n 1时 a2 a 1 a2 a 1能被a2 a 1整除 2 假设n k k n 时 ak 1 a 1 2k 1能被a2 a 1整除 则当n k 1时 ak 2 a 1 2k 1 a ak 1 a 1 2 a 1 2k 1 a ak 1 a a 1 2k 1 a2 a 1 a 1 2k 1 a ak 1 a 1 2k 1 a2 a 1 a 1 2k 1 由假设可知a ak 1 a 1 2k 1 能被a2 a 1整除 a2 a 1 a 1 2k 1也能被a2 a 1整除 ak 2 a 1 2k 1也能被a2 a 1整除 即n k 1时命题也成立 对任意n n 原命题成立 名师点评 证明关键在于当n k 1时的项中提取n k的项 从而利用假设结论来证明 用数学归纳法证明与n有关的不等式一般有两种具体形式 一是直接给出不等式 按要求进行证明 二是给出两个式子 按要求比较它们的大小 对第二类形式 往往要先对n取前几个值的情况分别验证比较 以免出现判断失误 再猜出从某个n值开始都成立的结论 最后用数学归纳法证明 已知 x 1 n a0 a1 x 1 a2 x 1 2 a3 x 1 3 an x 1 n 其中n n 1 求a0及sn a1 a2 a3 an 2 试比较sn与 n 2 2n 2n2的大小 并说明理由 思路分析 1 用赋值法求a0 sn 2 用数学归纳法来证明不等关系 解 1 取x 1 则a0 2n 取x 2 则a0 a1 a2 a3 an 3n sn a1 a2 a3 an 3n 2n 2 比较sn与 n 2 2n 2n2的大小 即比较 3n与 n 1 2n 2n2的大小 当n 1时 3n n 1 2n 2n2 当n 2 3时 3n n 1 2n 2n2 当n 4 5时 3n n 1 2n 2n2 猜想 当n 4时 3n n 1 2n 2n2 下面用数学归纳法证明 由上述过程可知 n 4时结论成立 假设当n k k 4 时结论成立 即3k k 1 2k 2k2 两边同乘以3得 3k 1 3 k 1 2k 2k2 k2k 1 2 k 1 2 k 3 2k 4k2 4k 2 而 k 3 2k 4k2 4k 2 k 3 2k 4 k2 k 2 6 k 3 2k 4 k 2 k 1 6 0 3k 1 k 1 1 2k 1 2 k 1 2即n k 1时结论也成立 当n 4时 3n n 1 2n 2n2成立 综上得 当n 1时 sn n 2 2n 2n2 当n 2 3时 sn n 2 2n 2n2 当n 4时 n n 时 sn n 2 2n 2n2 名师点评 用数学归纳法证明不等式 推导n k 1也成立时 证明不等式的常用方法 如比较法 分析法 综合法均要灵活运用 在证明过程中 常利用不等式的传递性对式子放缩 归纳 猜想 证明 的模式 是不完全归纳法与数学归纳法综合应用的解题模式 其一般思路是 通过观察有限个特例 猜想出一般性的结论 然后用数学归纳法证明 这种方法在解决探索性问题 存在性问题或与正整数有关的问题中有着广泛的应用 其关键是归纳 猜想出公式 在数列 an 与 bn 中 a1 1 b1 4 数列 an 的前n项和sn满足nsn 1 n 3 sn 0 2an 1为bn与bn 1的等比中项 n n 1 求a2 b2的值 2 求数列 an 与 bn 的通项公式 思路分析 求 an 与 bn 的通项公式 先求an和bn的前几项 猜想出an和bn 最后给出证明 名师点评 归纳 猜想 证明 的模式 是不完全归纳法与数学归纳法综合应用的解题模式 这种方法在解决探索性问题 存在性问题时起着重要作用 它的模式是先由合情推理发现结论 然后经逻辑推理证明结论的正确性 这种思维方式是推动数学研究和发展的重要方式 方法技巧1 在数学归纳法中 归纳奠基和归纳递推缺一不可 在较复杂的式子中 注意由n k到n k 1时 式子中项数的变化 应仔细分析 观察通项 同时还应注意 2 对于证明等式问题 在证n k 1等式也成立时 应及时把结论和推导过程对比 以减少计算时的复杂程度 对于整除性问题 关键是凑假设 证明不等式时 一般要运用放缩法 证明几何命题时 关键在于弄清由n k到n k 1的图形变化 3 归纳 猜想 证明属于探索性问题的一种 一般经过计算 观察 归纳 然后猜想出结论 再用数学归纳法证明 由于 猜想 是 证明 的前提和 对象 务必保证猜想的正确性 同时必须注意数学归纳法步骤的书写 失误防范数学归纳法是用来证明与正整数n有关的数学命题的一种常用方法 应用时应注意以下三点 1 验证是基础数学归纳法的原理表明 第一个步骤是要找一个数n0 这个n0就是要证明的命题对象的最小正整数 这个正整数并不一定都是 1 因此 找准起点 奠基要稳 是正确运用数学归纳法第一个要注意的问题 2 递推乃关键数学归纳法的实质在于递推 所以从 k 到 k 1 的过程 必须把归纳假设 n k 作为条件来导出 n k 1 时的命题 在推导过程中 要把归纳假设用上一次或几次 不用假设的证法不是数学归纳法 3 寻找递推关系 在第一步验证时 不妨多计算几次 并争取正确写出来 这样对发现递推关系是有帮助的 探求数列通项公式时要善于观察式子的变化规律 观察n处在哪个位置 在书写f k 1 时 一定要把包含f k 的式子写出来 尤其是f k 中的最后一项 除此之外 多了哪些项 少了哪些项要分清楚 命题预测从近几年的高考试题来看 用数学归纳法证明与正整数有关的不等式以及与数列有关的命题是高考的热点 题型为解答题 主要考查用数学归纳法证明数 学命题的能力 同时考查学生分析问题 解决问题的能力 难度为中高档 预测2013年福建高考可能会以数列 有关的等式或不等式的证明为主要考点 重点考查学生运用数学归纳法解决问题的能力 规范解答 本题满分12分 2010 高考江苏卷 已知 abc的三边长都是有理数 1 求证 cosa是有理数 2 求证 对任意正整数n cosna是有理数 假设当n k k 1 时 coska和sina sinka都是有理数 当n k 1时 由cos k 1 a cosa coska sina sinka sina sin k 1 a sina sina coska cosa sinka sina sina coska sina sinka cosa 由 和归纳假设 知cos k 1 a与sina sin k 1 a都是