（浙江版）备战2018高考数学二轮复习 专题1.4 数列与数学归纳法教学案.doc

专题1.4 数列与数学归纳法【考情动态】考点最新考纲五年统计数列的概念和表示方法 了解数列的概念和表示方法 (列表、图象、公式)2016浙江131.等差数列的概念与运算1.理解等差数列的概念，掌握等差数列的通项公式；2.了解等差数列与一次函数.2013浙江文19；理18；2014浙江文19；2015浙江文10,17；理3；2016浙江文8；,理6；2017浙江6.2.等差数列的前n项和1.掌握等差数列前 n 项和公式及其应用；2.会用数列的等差关系解决实际问题.2013浙江文19；理18；2014浙江文19； 2015浙江理3；2016浙江文8；,理6；2017浙江6.3.等比数列的概念与运算1.理解等比数列的概念，掌握等比数列的通项公式；2.了解等比数列与指数函数的关系.2013浙江文19；理18；2014浙江理19；2015浙江文10,17；理3；2016浙江文17.4.等比数列前n项和及应用1.掌握等比数列的通项公式与前 n 项和公式及其应用；2.会用数列的等比关系解决实际问题.2016浙江文17.5.数列求和掌握等差数列、等比数列前 n 项和公式及其应用.2016浙江文172015浙江文17；,理20；2014浙江文19；理19；2013浙江文19；理18.6与数列有关的综合问题1.理解等差数列、等比数列的概念，掌握等差数列、等比数列的通项公式与前 n 项和公式及其应用.2了解等差数列与一次函数、等比数列与指数函数的关系.3会用数列的等差关系或等比关系解决实际问题.2017浙江6,22；2016浙江文8;理6,20；2015浙江理20；2014浙江文19；理19.7.数学归纳法了解数学归纳原理，会用数学归纳法证明简单的数学命题.2017浙江22【热点重温】热点一 确定数列的通项公式【典例1】【2018届甘肃省兰州第一中学高三上学期第二次月考】已知正项数列的首项，前n项和为，若以为坐标的点在曲线上，则数列的通项公式为_【答案】【对点训练】【2018届辽宁省丹东市五校协作体高三上学期联考】设数列的前n项和为若 且 则的通项公式_【答案】.【解析】，,，即。又，解得。故。数列从第二项起是公比为3的等比数列，故当时， 。答案： 点睛：已知求的三个步骤(1)先利用求出；(2)用n1替换中的n得到一个新的关系，利用 (n2)便可求出当n2时的表达式；(3)对n1时的结果进行检验，看是否符合n2时的表达式，如果符合，则可以把数列的通项公式合写；如果不符合，则应该分n1与n2两段来写 【典例2】【2018届衡水金卷高三大联考理】已知数列与的前项和分别为， ，且， ， ，若恒成立，则的最小值是( )a. b. c. 49 d. 【答案】b即数列是以3为首项，3为公差的等差数列，所以.所以.所以.要使恒成立，只需.故选b. 【对点训练】已知数列满足， （）求数列的通项公式；（）若， ，求证：对任意的， .【答案】（1）（2）见解析（）因为， . 因此. 所以，对任意， 【考向预测】关于数列的概念问题，虽然在高考中很少独立命题，但数列的通项公式、猜想、归纳、递推意识却融入数列的试题之中，往往将数列的前n项和与通项综合考查热点二 等差数列与等比数列的计算问题【典例3】【2017课标1，理4】记为等差数列的前项和若，则的公差为a1b2c4d8【答案】c【对点训练】【2017课标3，理9】等差数列的首项为1，公差不为0若a2，a3，a6成等比数列，则前6项的和为（ ）a b c3d8【答案】a【解析】【典例4】【2017江苏，9】等比数列的各项均为实数,其前项的和为,已知,则= .【答案】32【解析】当时，显然不符合题意；当时，解得，则.【对点训练】【2017课标3，理14】设等比数列满足a1 + a2 = 1, a1 a3 = 3，则a4 = _.【答案】【解析】试题分析：设等比数列的公比为 ，很明显 ，结合等比数列的通项公式和题意可得方程组：，由 可得： ，代入可得，由等比数列的通项公式可得： . 【典例5】【2017浙江卷6】已知等差数列an的公差为d，前n项和为sn，则“d0”是“s4 + s62s5”的（ ）a充分不必要条件b必要不充分条件c充分必要条件d既不充分也不必要条件【答案】c【解析】由，可知当，则，即，反之，所以为充要条件，选c【对点训练】已知是等差数列的前项和，且，给出下列五个命题：；数列中的最大项为；，其中正确命题的个数为（ ）a. 2 b. 3 c. 4 d. 5【答案】b【考向预测】1.等差数列的性质、通项公式和前n项和公式构成等差数列的重要内容，在历届高考中必考，既有独立考查的情况，也有与等比数列等其它知识内容综合考查的情况选择题、填空题、解答题多种题型加以考查 2.等比数列也是高考的常考内容，以等比数列的基本公式及基本运算为基础，可考查单一的等比数列问题，但更倾向于与等差数列或其他内容相结合的问题，其中涉及到方程的思想、等价转化的思想、分类讨论的思想等从思维品质上看更讲究思维的灵活性及深刻性3. 等差(比)数列基本运算的解题思路（1）设基本量a1和公差d(公比q)（2）列、解方程组：把条件转化为关于a1和d(q)的方程(组)，然后求解，注意整体计算，以减少运算量（3）注意应用分类讨论思想：在应用等比数列前n项和公式时，必须分类求和，当时，；当时，；在判断等比数列单调性时，也必须对与分类讨论热点三 数列的求和【典例6】【2017课标ii，理15】等差数列的前项和为，则 。【答案】【解析】【对点训练】【2018届湖南省衡阳县高三12月联考】若曲线在轴的交点处的切线经过点，则数列的前项和_【答案】【解析】令，得，则切点为曲线在轴的交点处的切线方程为切线经过点故答案为【典例7】【2018届安徽省合肥市高三调研性检测】数列满足.（）求证：数列是等差数列；（）若数列满足，求的前项和.【答案】（）证明见解析 （）（）由（）可知， ，由可知.又 ，则，【对点训练】【2018届江西省赣州市崇义中学高三上第二次月考】已知数列的前项和为， ， 等 差数列中， ，且公差（）求数列的通项公式；（）是否存在正整数，使得?若存在，求出的最小值；若 不存在，请说明理由【答案】（1）， ；（2）4【考向预测】数列求和是高考重点考查的内容之一，命题形式多种多样，以解答题为主，难度中等或稍难，数列求和问题为先导，在解决数列基本问题后考查数列求和，在求和后往往与不等式、函数、最值等问题综合.考查等差数列的求和多于等比数列的求和，往往在此基础上考查“裂项相消法”、“错位相减法”.热点四 数列的综合问题【典例8】【2018届浙江省镇海中学高三上学期期中】已知数列满足上： ， .（1）若，证明：数列是等差数列；（2）若，判断数列的单调性并说明理由；（3）若，求证： .【答案】（1）依题意， 恒为常数；（2）见解析；（3）见解析.（3）由，得与异号，由，求和即可证得.试题解析：（1）依题意， ，平方得：恒为常数.（3）， 与异号， ， ， ， . .【对点训练】【浙江省重点中学2017年12月期末热身联考】已知数列满足： ， .求；证明： ；是否存在正实数，使得对任意的，都有，并说明理由【答案】（1）；（2）证明见解析；（3）存在.（2）， ，则，令，则 是递增数列，即【典例9】【2018浙届江省台州中学高三上第三次统练】设数列的前项和为， .（1）求证：数列为等差数列，并分别写出和关于的表达式；（2）是否存在自然数，使得？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由； （3）设， ，若不等式对恒成立，求的最大值.【答案】（1）详见解析；（2）；（3）.【解析】试题分析：（1）利用，求得，这是等差数列，故；（2），这是等差数列，前向和为，故；（3），利用裂项求和法求得，解得，故.试题解析：（1）由,得,相减得.故数列是以为首项,以公差的等差数列. .（2）由（1）知,由,得,即存在满足条件的自然数.【对点训练】【2018届浙江省“七彩阳光”联盟高三上期初联考】在数列中， ， .（1）求数列的通项公式；（2）设，数列的前项的和为，试求数列的最小值；（3）求证：当时， .【答案】（1）（2）（3）见解析【考向预测】数列的综合问题，往往是将数列求和、数列的通项公式与不等式、函数、最值等问题综合起来，是浙江高考重点考查的内容之一，命题形式多种多样，以解答题为主，难度往往较大，近几年基本处于最后一道的位置.热点五 数学归纳法【典例10】【2017浙江，22】（本题满分15分）已知数列xn满足：x1=1，xn=xn+1+ln(1+xn+1)（）证明：当时，（）0xn+1xn；（）2xn+1 xn；（）xn【答案】（）见解析；（）见解析；（）见解析（）由得【对点训练】【2018届浙江省嘉兴市第一中学高三9月测试】已知数列满足，求证：（i）；（ii）；（iii）.【答案】(1)见解析;(2) 见解析;(3) 见解析.（ii）因为，所以所以.（iii）因为，所以.从而.所以，即.所以.又，故.【典例11】【2018届浙江省温州市高三9月一模】已知数列中，（）（1）求证：；（2）求证：是等差数列；（3）设，记数列的前项和为，求证： 【答案】(1)证明见解析；（2）证明见解析；（3）证明见解析.（2）由，得，所以，即，即，所以，数列是等差数列（3）由（2）知，因此，当时，即时，所以时，显然，只需证明，即可当时， 【对点训练】【2018届浙江省部分市学校高三上学期9+1联考】已知数列满足： ， ， .（1）证明： ；（2）证明： ；（3）证明： .【答案】(1)证明见解析