高中数学 2.2 直线的方程 2.2.1 直线方程的概念与直线的斜率学案 新人教B版必修2.doc

2.2.1直线方程的概念与直线的斜率1理解直线的斜率和倾斜角的概念，了解用代数的方法探索直线斜率的过程2掌握过两点的直线斜率的计算公式，并能在实际问题中应用3能利用数形结合与分类讨论思想求直线的斜率和倾斜角1直线方程的概念由于函数ykxb(k0)或yb都是_方程，因此，我们也可以说，方程ykxb的解与其图象上的点存在一一对应关系如果以一个方程的解为坐标的点都在某条直线上，且这条直线上点的坐标都是_，那么这个方程叫做_，这条直线叫做_直线的方程和方程的直线要同时满足两个条件：以一个方程的解为坐标的点都是某条直线上的点；反之，这条直线上点的坐标都是这个方程的解两个条件只要缺少一个，命题就是错误的【做一做11】在平面直角坐标系中，二、四象限角平分线所在的直线的方程为_【做一做12】给出下列四个命题：一条直线必是某个一次函数的图象；一次函数ykxb(k0)的图象必是一条不过原点的直线；若一条直线上所有点的坐标都是某个方程的解，则此方程叫做这条直线的方程；以一个二元方程的解为坐标的点都在某条直线上，则这条直线叫做此方程的直线其中正确命题的个数是()a0 b1 c2 d32直线的倾斜角和斜率(1)我们把直线ykxb中的系数k叫做这条直线的_(2)两点斜率公式：已知直线上两点p1(x1，y1)，p2(x2，y2)，则直线的斜率k_(x1x2)(3)倾斜角：x轴正向与_所成的角叫做这条直线的倾斜角，记为.当直线l与x轴_时，规定0，故的取值范围是_(4)斜率k与倾斜角的关系如图所示当倾斜角为锐角时，倾斜角越大，斜率越大，且均为正；当倾斜角为钝角时，倾斜角越大，斜率越大，且均为负但我们不能错误地认为倾斜角越大，斜率越大【做一做2】过点p(1,3)和q(0,5)的直线的斜率为()a2 b2 c d对直线斜率的全方位剖析剖析：(1)斜率公式的适用范围经过两点p(x1，y1)，q(x2，y2)的直线的斜率公式k，其适用范围是x1x2.说明如下：斜率公式可通过直线上任意两点的坐标表示斜率公式与两点的顺序无关，也就是说两点的纵、横坐标在公式中的次序可以同时调换(要一致)如果y2y1(x2x1)，则直线与x轴平行或重合，k0；如果x1x2，y1y2，则直线与x轴垂直，倾斜角90，斜率k不存在(2)从运动变化的观点看斜率公式由直线上两点的坐标求这条直线的斜率k与这两点在直线上的顺序无关，于是k(x1x2)如果令xx2x1，yy2y1，则x表示变量x的改变量，y表示相应的y的改变量，于是k(x0)(3)斜率的功能斜率是用来反映直线倾斜程度的一个量，它与倾斜角都反映倾斜程度，但倾斜角相对直观一些，而斜率较抽象，且倾斜角与斜率k有ktan 这一关系式结合图示说明如下：如图所示，直线pq，直线pm，且直线mq与y轴平行，由直线斜率公式：kpq，kpm，由图易知yy，kpmkpq.显然直线pm相对于x轴正方向比直线pq相对于x轴正方向倾斜程度要大比如某人从点p沿直线pq到达点q，相对于从点p沿直线pm到达点m来说，此人会感到沿直线pm走比沿直线pq走更费劲一般地，直线斜率为k，若有|k|越大，反映直线相对于x轴倾斜程度越大；反之|k|越小，反映直线相对于x轴倾斜程度越小若kabkac，此时直线ab与直线ac的倾斜角相同，即三点a，b，c共线，因此可以利用斜率解决三点共线问题；但kabkcd只能说明直线ab与直线cd倾斜角相同，不能说明a，b，c，d四点共线，因此要用斜率证明共线问题，而线段(或两条直线)必须有公共点才行题型一 概念辨析题【例1】下列四个命题：一条直线向上的方向与x轴正向所成的角，叫做这条直线的倾斜角；直线l的倾斜角要么是锐角，要么是钝角；已知直线l经过p1(x1，y1)，p2(x2，y2)两点，则直线l的斜率k；若直线l的方程是axbyc0，则直线l的斜率k.其中正确命题的个数是()a3 b2 c1 d0反思：斜率与倾斜角是直线中最基本的概念，正确理解斜率与倾斜角的概念是解答本题的基础，要注意直线的斜率与倾斜角的对应关系，还有斜率公式是有使用范围的，直线与x轴垂直时斜率不存在题型二 求直线的斜率【例2】已知直线l经过两点a(2,1)，b(t,4)，求直线l的斜率分析：点b的坐标中含参数t，注意分类讨论反思：应用斜率公式表示直线斜率时，一定注意x1x2的条件，遇到参数时要根据参数的取值进行讨论题型三 斜率公式的综合应用【例3】求证：a(1,5)，b(0,2)，c(1,1)三点共线分析：根据过同一点的两条直线，若它们的斜率相等，则两直线必重合，从而证明三点共线反思：通过本题可归纳出：若斜率kab，kac存在，则kabkaca，b，c三点共线，当然也可以用|ab|bc|ac|来证，最后需指出的是当证明四点共线时，一定要注意看是否有公共点【例4】已知直线l：yax2和两点a(1,4)，b(3,1)，当直线l与线段ab相交时，求实数a的取值范围分析：过定点的动直线与线段相交，可借助图形加以解决反思：通过本题的解决，要掌握斜率与倾斜角之间的关系，还要注意数形结合思想的利用【例5】已知实数x，y满足y2x8，且2x3，求的最大值和最小值分析：根据的几何意义，本题即是求直线y2x8(2x3)上的点与原点连线的斜率的最值反思：利用斜率公式解决代数问题的关键是：根据题目中代数式的特征，看是否可写成(x1x2)的形式，从而联想其几何意义(即直线的斜率)，再利用几何图形的直观性来分析解决问题题型四 易错辨析【例6】设直线l过原点，其倾斜角为，将直线l绕坐标原点沿逆时针方向旋转30，得到直线l1，则直线l1的倾斜角为()a30b150c150d当0150时为30，当150180时为150错解：直线l按逆时针旋转，结合倾斜角的定义及旋转角的概念可知l1的倾斜角为30.答案：a错因分析：没有考虑到30会越过180，这样就不满足倾斜角的范围0，)了1过点p(2，m)和点q(m,4)的直线的斜率为1，则m的值为()a1 b4 c1或3 d1或42若两直线l1，l2的倾斜角分别为1，2，则下列四个命题中正确的是()a若12，则两直线的斜率k1k2b若12，则两直线的斜率k1k2c若两直线的斜率k1k2，则12d若两直线的斜率k1k2，则123若直线l经过第二、四象限，则直线l倾斜角的范围是_4若三点a(2,2)，b(a,0)，c(0,4)共线，则a的值等于_5已知点a(3,4)，在坐标轴上有一点b，使直线ab的斜率等于2，把直线方程写成一次函数形式，并求出点b的坐标答案：基础知识梳理1二元一次这个方程的解这条直线的方程这个方程的直线【做一做11】yx【做一做12】a由直线方程的定义可知，均不正确又y5表示一条直线，但它却不是一次函数，原因是一次函数ykxb中的k0，也不正确当一次函数ykxb(k0)中的b0时，其图象经过原点，可知也不正确2(1)斜率(2)(3)直线向上的方向平行或重合0180【做一做2】b典型例题领悟【例1】c根据倾斜角定义知，正确；倾斜角范围为0，)，不正确；当x1x2时，直线p1p2的斜率k不存在，不能用公式k求解，不正确；当b0时，直线斜率不存在，不正确故选c.【例2】解：(1)当t2时，直线l与x轴垂直，直线l的斜率不存在(2)当t2时，直线l的斜率k，综上所述，当t2时，直线l的斜率不存在；当t2时，直线l的斜率k.【例3】证明：利用斜率公式计算出ab和ac两条直线的斜率，kab3，kac3.kabkac，又过同一点a，a，b，c三点共线【例4】解：如图所示，直线l过定点c(0,2)，kcb，kca2，kla.当直线l与线段ab相交时，kcbklkca，a2.【例5】解：如图，由已知，点p(x，y)在线段ab上运动，其中a(2,4)，b(3,2)，而，其几何意义为直线op的斜率由图可知kobkopkoa，而kob，koa2.故所求的的最大值为2，最小值为.【例6】d正解：要分类讨论，旋转30后，看30是否在0180范围内若在，则l1的倾斜角为30；若不在，则l1的倾斜角为30180150.随堂练习巩固1a由斜率公式，有1，得m24m.m1.2d390180如图所示，直