高考数学总复习 10.2排列、组合及其应用课件 人教版.ppt

第二讲排列 组合及其应用 一 排列1 排列的定义一般地 从n个不同元素中取出m m n 个元素 按照一定的排成一列 叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列 顺序 注意 1 排列的定义包含两个基本内容 一是 取出不同元素 二是 按照一定顺序排列 前者容易理解 但要注意这n个元素必须是 不同 的 所取的元素是否合乎题意的要求 后者的 一定顺序 表示与位置有关 这里的位置应该视具体问题的性质和条件来决定 2 一般地 若交换某些元素或把某一个元素换一下位置 就会变成不同的排列 3 如何判断一个具体问题是不是排列问题 关键就是要看从n个不同元素中取出m m n 个元素后 再安排这m个元素时是有序还是无序 有序就是排列 无序就不是排列 n n 1 n 2 n m 1 3 排列应用题 1 直接法 把符合条件的排列 用排列数直接列式计算 a 优先法 对问题中的特殊元素或特殊位置首先考虑排列 然后根据题意排其他元素或位置 b 捆绑法 对于某些元素要求 相邻 的排列问题 可先将要求相邻的元素捆绑在一起看成一个元素 再与其他元素进行排列 同时对相邻元素进行内部排列 c 插空法 对于某些元素要求 不相邻 的排列问题 可以先安排好没有限制条件的元素 然后在排好的元素之间的空位和两端插入不能相邻的元素 2 间接法 先求出不考虑限制条件的排列数 再减去不符合条件的排列数 注意 解决有关排列应用题 要注意防止发生以下情况 没有仔细审题 盲目套用公式和方法 方法正确 但题目中的一些细节考虑不周 出现重复或遗漏情况 如分类标准不统一 不能用公式或常用方法解答时 不会用一一列举的方法来解决 二 组合1 组合的定义一般地 从n个不同的元素中取m m n 个元素一组 叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合 注意 1 组合定义中包含两个基本内容 一是 取出元素 二是 并成一组 并成一组 表示与顺序无关 如果两个组合中的元素完全相同 不管它们的顺序如何 都是相同的组合 并成 当两个组合中的元素不完全相同 即使只有一个元素不同 就是不同的组合 组合与排列问题的共同点是都要 从n个不同元素中 任取m个元素 不同点是前者是 不管顺序并成一组 而后者要 按照一定顺序排成一列 2 在组合定义中要注意给出的n个元素是互不相同的 且从n个元素中抽取m个元素是没有重复抽取的情况 3 区分某一问题是排列问题还是组合问题 关键看选出的元素与顺序是否有关 若交换某两个元素的位置对结果产生影响 则是排列问题 而交换任意两个元素的位置对结果没有影响 则是组合问题 3 组合应用题与排列一样 常见的组合问题分为纯数学题与组合应用题 组合应用题又分为无限制条件的组合问题和有限制条件的组合问题 解决组合应用题时常用的方法 技巧与解决排列应用题时的方法与技巧类似 解组合问题常见的思想方法有 枚举法 直接法 间接法 隔板法 利用对称思想法等 注意 求解排列组合应用题 要善于 分析 分辨 分类 分步 从多个角度考虑 分析 就是找出题目的条件 结论 找准解决问题的切入点 是从位置考虑还是从元素考虑 是从正面考虑还是从问题的对立面考虑 分辨 就是辨别是排列 与顺序有关 还是组合 与顺序无关 对某些元素的位置有无限制等 分类 就是把较复杂的应用题中的元素分成互相排斥的几类 然后逐类解决 这时常用分类计数原理 要注意 类 与 类 之间的不重不漏 分步 就是将问题分为互相联系的几步 而每一步都是简单的排列组合问题 然后逐步解决 这时常用分步计数原理 要注意 步 与 步 之间的独立性 连续性 整个解题过程遵循的基本原则有 特殊优先 的原则 先 分类 后 分步 的原则 先 取 后 排 的原则 1 全国高考 某同学有同样的画册2本 同样的集邮册3本 从中取出4本赠送给4位朋友 每位朋友1本 则不同的赠送方法共有 a 4种b 10种c 18种d 20种 答案 b 2 2012襄阳调研 5名学生与两名教师站成一排照相 两名教师之间恰好有两名学生的不同站法有 a 120种b 240种c 480种d 960种答案 d 答案 c 答案 28 5 从集合 o p q r s 与 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 中各任取2个元素排成一排 字母和数字均不能重复 每排中字母o q和数字0至多只出现一个的不同排法种数是 用数字作答 答案 8424 题后总结 解有关排列数 组合数的方程或不等式时 应首先应用排列数 组合数的性质和计算公式进行变形与化简 求出方程或不等式的解后 要进行检验 有4名男生 5名女生 全体排成一行 问下列情形各有多少种不同的排法 1 甲不在中间也不在两端 2 甲 乙两人必须排在两端 3 男 女生分别排在一起 4 男女相间 5 甲 乙 丙三人从左到右顺序保持一定 6 甲不在排头 乙不在排尾 7 去掉1名女生后男女生相间排列 题后总结 排列问题常见的限制条件及对策 1 有特殊元素或特殊位置 先满足特殊元素或特殊位置的要求 再考虑其他元素或位置 2 元素必须相邻的排列 将必须相邻的元素捆绑 作为一个整体 但要注意其内部元素的顺序 3 元素不相邻的排列 先排其他元素 然后 插空 4 元素有顺序限制的排列 利用除法 消去顺序 活学活用 1 给定数字0 1 2 3 5 9 每个数字最多用一次 1 可能组成多少个四位数 2 可能组成多少个四位奇数 3 可能组成多少个四位偶数 4 可能组成多少个自然数 12分 按下列要求分配6本不同的书 各有多少种不同的分配方式 1 分成三份 1份1本 1份2本 1份3本 2 甲 乙 丙三人中 一人得1本 一人得2本 一人得3本 3 平均分成三份 每份2本 4 平均分配给甲 乙 丙三人 每人2本 5 分成三份 1份4本 另外两份各一本 6 甲 乙 丙三人中 一人得4本 另外两人每人得1本 7 甲得1本 乙得1本 丙得4本 题后总结 1 解决排列组合应用题 当正面情况较复杂时 要考虑采用间接法 此法在处理 至少 等问题 以几何为背景的排列组合问题时经常用到 2 当有两个特殊位置时 若一个位置安排的元素影响到另一个位置的元素时 应分类讨论 将复杂问题分解成若干个简单的基本问题后应用两个计数原理来解决 活学活用 2 有编号分别为1 2 3 4的四个盒子和四个小球 把小球全部放入盒子 问 1 共有多少种放法 2 恰有2个盒子内不放球 有多少种放法 解 1 1号小球可放入任意一个盒子内 有4种放法 同理 2 3 4号小球也各有4种放法 故共有44 256种放法 2 恰有2个盒子内不放球 也就是把4个小球只放入2个盒子内 有两类放法 易错点1 相邻与不相邻问题方法不当致误 错因分析 本题易出现的错误是没有理解 甲 乙 丙3人不能相邻 的含义 得到 甲 乙 丙3人互不相邻 的情况 使结果中遗漏甲 乙 丙3人中有两人相邻的情况 状元笔记 如何处理相邻与不相邻问题处理 相邻 问题的基本方法是 捆绑法 即把相邻的若干个特殊元素 捆绑 为一个大元素 然后再与其余 普通元素 全排列 最后再 松绑 将特殊元素在这些位置上全排列 处理 不相邻 相间 问题的基本方法是 插空法 即某些元素不能相邻时或某些元素要在某特殊位置时可采用插空法 即先安排好没有限制条件的元素 然后再把有限制条件的元素按要求插入到排好的元素之间 纠错体验 1 3位男生和3位女生共6位同学站成一排 若男生甲不站两端 3位女生中有且只有两位女生相邻 则不同排法的种