高考数学一轮总复习 第二篇 第8讲 函数与方程课件 理 湘教版.ppt

第8讲函数与方程 2014年高考会这样考 1 考查具体函数的零点的取值范围和零点个数 2 利用函数零点求解参数的取值范围 3 利用二分法求方程的近似解 4 考查函数零点 方程的根和两函数图象交点横坐标之间的等价转化思想和数形结合思想 考点梳理 1 函数零点的定义 对于函数y f x 我们把方程 的实数根又叫做函数y f x 的零点 2 几个等价关系 方程f x 0有实数根 函数y f x 的图象与x轴有交点 函数y f x 有 1 函数的零点 f x 0 零点 3 函数零点的判定 零点存在性定理 如果函数y f x 在区间 a b 上的图象是 不断的一条曲线 并且有 那么 函数y f x 在区间 内有零点 即存在c a b 使得f c 0 这个c也就是方程f x 0的根 连续 f a f b 0 a b 2 二次函数y ax2 bx c a 0 零点的分布 1 二分法的定义对于在区间 a b 上连续不断且 的函数y f x 通过不断地把函数f x 的零点所在的区间 使区间的两个端点逐步逼近 进而得到零点近似值的方法叫做二分法 2 给定精确度 用二分法求函数f x 零点近似值的步骤如下 确定区间 a b 验证f a f b 0 给定精确度 求区间 a b 的中点c 3 二分法求方程的近似解 f a f b 0 一分为二 零点 计算f c i 若f c 0 则c就是函数的零点 ii 若f a f c 0 则令b c 此时零点x0 a c iii 若f c f b 0 则令a c 此时零点x0 c b 判断是否达到精确度 即 若 a b 则得到零点近似值a 或b 否则重复 一个口诀用二分法求函数零点近似值的口诀为 定区间 找中点 中值计算两边看 同号去 异号算 零点落在异号间 周而复始怎么办 精确度上来判断 两个防范 助学 微博 1 函数y f x 的零点即方程f x 0的实根 是数不是点 2 若函数y f x 在闭区间 a b 上的图象是连续不间断的 并且在区间端点的函数值符号相反 即f a f b 0 f x 在区间 a b 上照样存在零点 而且有两个 所以说零点存在性定理的条件是充分条件 但并不必要 三种方法函数零点个数的判断方法 1 直接求零点 令f x 0 如果能求出解 则有几个解就有几个零点 2 零点存在性定理 利用定理不仅要求函数在区间 a b 上是连续不断的曲线 且f a f b 0 还必须结合函数的图象与性质 如单调性 奇偶性 才能确定函数有多少个零点 3 利用图象交点的个数 画出两个函数的图象 看其交点的个数 其中交点的横坐标有几个不同的值 就有几个不同的零点 a b c d 答案b 考点自测 1 人湘教版教材习题改编 如图所示的函数图象与x轴均有交点 其中不能用二分法求图中交点横坐标的是 2 2012 湖北 函数f x xcosx2在区间 0 4 上的零点个数为 a 4b 5c 6d 7答案c 3 2011 新课标全国 在下列区间中 函数f x ex 4x 3的零点所在的区间为 答案c a f x1 0c f x1 0 f x2 0 f x2 0答案b 解析函数f x x2 x a在 0 1 上递增 由已知条件f 0 f 1 0 即a a 2 0 解得 2 a 0 答案 2 0 5 已知函数f x x2 x a在区间 0 1 上有零点 则实数a的取值范围是 a 0b 1c 2d 3 审题视点 函数零点的个数 f x 0解的个数 函数图象与x轴交点的个数 解析法一 函数y 2x与y x3 2在r上都是增函数 故f x 2x x3 2在r上是增函数 又f 0 1 f 1 1 即f 0 f 1 0 故f x 在 0 1 内有唯一零点 考向一函数零点与零点个数的判断 例1 2012 天津 函数f x 2x x3 2在区间 0 1 内的零点个数是 法二令f x 0 即2x x3 2 0 则2x 2 x3 在同一坐标系中分别画出y 2x 2和y x3的图象 由图可知两个图象在区间 0 1 内只有一个交点 函数f x 2x x3 2在区间 0 1 内有一个零点 故选b 答案b 对函数零点个数的判断可从以下几个方面考虑 1 结合函数图象 2 根据零点存在定理求某些点的函数值 3 利用函数的单调性判断函数的零点是否唯一 解法一 函数y lnx与y 2x 6均是增函数 故函数f x lnx 2x 6在 0 上是增函数 又f 2 ln2 20 即f 2 f 3 0 所以f x lnx 2x 6在 2 3 有唯一零点 训练1 求函数f x lnx 2x 6的零点个数 法二在同一坐标系中画出函数y lnx与y 6 2x的图象 如图所示 由图可知两图象只有一个交点 故函数f x lnx 2x 6只有一个零点 有且仅有一个零点 有两个零点且均比 1大 2 若函数f x 4x x2 a有4个零点 求实数a的取值范围 审题视点 设出二次方程对应的函数 可画出相应的示意图 然后用函数性质加以限制 解 1 若函数f x x2 2mx 3m 4有且仅有一个零点 则 4m2 4 3m 4 0 即m2 3m 4 0 解得m 4或m 1 考向二有关二次函数的零点问题 例2 1 m为何值时 f x x2 2mx 3m 4 若f x 有两个零点且均比 1大 设两零点分别为x1 x2 则x1 x2 2m x1 x2 3m 4 2 若f x 4x x2 a有4个零点 即 4x x2 a 0有四个根 即 4x x2 a有四个根 令g x 4x x2 h x a 作出g x h x 的图象 如图所示 由图象可知要使 4x x2 a有四个根 则g x 与h x 的图象应有4个交点 故需满足0 a 4 即 4 a 0 a的取值范围是 4 0 本题重点考查方程的根的分布问题 熟知方程的根对于二次函数性质所具有的意义是正确解此题的关键 用二次函数的性质对方程的根进行限制时 条件不严谨是解答本题的易错点 1 若方程有两根 其中一根在区间 1 0 内 另一根在区间 1 2 内 求m的范围 2 若方程两根均在区间 0 1 内 求m的范围 训练2 已知关于x的二次方程x2 2mx 2m 1 0 1 若y g x m有零点 求m的取值范围 2 确定m的取值范围 使得g x f x 0有两个相异实根 审题视点 1 y g x m有零点即y g x 与y m的图象有交点 所以可以结合图象求解 2 g x f x 0有两个相异实根 y f x 与y g x 的图象有两个不同交点 所以可利用它们的图象求解 考向三函数零点性质的应用 f x x2 2ex m 1 x e 2 m 1 e2 其图象的对称轴为x e 开口向下 最大值为m 1 e2 故当m 1 e2 2e 即m e2 2e 1时 g x 与f x 有两个交点 即g x f x 0有两个相异实根 m的取值范围是 e2 2e 1 求函数零点的值 判断函数零点的范围及零点的个数以及已知函数零点求参数范围等问题 都可利用方程来求解 但当方程不易甚至不可能解出时 可构造两个函数 利用数形结合的方法进行求解 1 求实数a的取值范围 训练3 已知函数f x ax3 2ax 3a 4在区间 1 1 上有一个零点 命题研究 通过近三年的高考题分析 重点考查函数的零点 方程的根和两函数图象交点横坐标之间的等价转化思想和数形结合思想 题型为选择题或填空题 若求函数零点的问题 难度较易 若利用零点的存在求相关参数的值的问题 难度稍大 方法优化3 如何解决有关函数零点的问题 教你审题 f x logax x b在 0 上单调递增且值域为r 则f x 必有唯一零点x x0 根据x0 n n 1 利用零点存在的判定条件来推算n的取值 一般解法 设f x0 0 因为f x logax x b 又3logaa 3 b 4 b 0 综上 x0 2 3 又因为x0 n n 1 故n 2 真题探究 2011 山东 已知函数f x logax x b a 0 且a 1 当2 a 3 b 4时 函数f x 的零点x0 n n 1 n n 则n 优美解法 如图所示 在直角坐标系下分别作出y log2x y log3x及y 3 x y 4 x的图象 显然所有可能的交点构成图中的阴影区域 不含边界 其中各点的横坐标均落于 2 3 之内 又因为x0 n n 1 n n 故n 2 答案 2 反思 1