3.1.2导数的概念

课时提升作业变化率问题导数的概念(25分钟60分)一、选择题(每小题5分,共25分)1.一物体的运动满足函数s=3+2t,则在2,2.1这段时间内的平均速度是()A.0.41B.2C.0.3D.0.2【解析】选B.s=(3+22.1)-(3+22)=0.2,t=2.1-2=0.1,所以st=0.20.1=2.2.(2015宝鸡高二检测)如果函数f(x)=ax+b在区间1,2上的平均变化率为3,则a=()A.-3B.2C.3D.-2【解析】选C.根据平均变化率的定义,可知yx=(2a+b)-(a+b)2-1=a=3.3.(2015西安高二检测)如果质点A的运动满足函数:s(t)=-2t,则在t=3秒时的瞬时速度为()A.-23B.23C.-29D.29【解题指南】先求出st,再求出t=3秒时的瞬时速度.【解析】选D.s=s(3+t)-s(3)=-23+t+23=2t9+3t,st=29+3t,在t=3秒时的瞬时速度为limt0st=limt029+3t=29.【补偿训练】已知f(x)=x2-3x,则f (0)=()A.x-3B.(x)2-3xC.-3D.0【解析】选C.f(0)=limx0(0+x)2-3(0+x)-02+30x=limx0(x)2-3xx=limx0(x-3)=-3.4.质点M的运动规律为s=4t+4t2,则质点M在t=t0时的速度为()A.4+4t0B.0C.8t0+4D.4t0+4t02【解析】选C.s=s(t0+t)-s(t0)=4t2+4t+8t0t,st=4t+4+8t0,limt0st=limt0(4t+4+8t0)=4+8t0.5.(2015南京高二检测)f(x)在x=x0处可导,则limx0f(x0+x)-f(x0)x()A.与x0,x有关B.仅与x0有关,而与x无关C.仅与x有关,而与x0无关D.与x0,x均无关【解析】选B.式子limx0f(x0+x)-f(x0)x表示的意义是求f(x0),即求f(x)在x0处的导数,它仅与x0有关,与x无关.二、填空题(每小题5分,共15分)6.已知函数f(x)=2x-3,则f(5)=_.【解析】因为y=f(5+x)-f(5)=2(5+x)-3-(25-3)=2x,所以yx=2,所以f(5)=limx0yx=2.答案:27.函数y=1x2在x0到x0+x之间的平均变化率为_.【解析】因为y=1(x0+x)2-1x02,所以y=1x2在x0到x0+x之间的平均变化率为yx=1(x0+x)2-1x02x=-2x0+x(x0+x)2x02.答案:-2x0+x(x0+x)2x028.(2015广州高二检测)设函数f(x)在x=1处存在导数2,则limx0f(1+x)-f(1)3x=_.【解析】limx0f(1+x)-f(1)3x=13limx0f(1+x)-f(1)x=13f(1)=23.答案:23三、解答题(每小题10分,共20分)9.求函数y=x3在x0到x0+x之间的平均变化率,并计算当x0=1,x=12时平均变化率的值.【解题指南】利用概念求平均变化率,先求出表达式,再直接代入数据就可以得出相应的平均变化率.【解析】当自变量从x0变化到x0+x时,函数的平均变化率为f(x0+x)-f(x0)x=(x0+x)3-x03x=3x02+3x0x+(x)2.当x0=1,x=12时,平均变化率=312+3112+122=194.10.(2015乌鲁木齐高二检测)求函数f(x)=3x-2x在x=1处的导数.【解析】y=f(1+x)-f(1)=3(1+x)-21+x-1=2+3x-21+x=3x+2x1+x,yx=3x+2x1+xx=3+21+x,所以limx0yx=limx03+21+x=5,所以f(1)=5.(20分钟40分)一、选择题(每小题5分,共10分)1.函数y=x+1x在x=1处的导数是()A.2B.52C.1D.0【解析】选D.y=(x+1)+1x+1-1-1=x+-xx+1,yx=1-1x+1,limx0yx=limx01-1x+1=1-1=0,所以,函数y=x+1x在x=1处的导数为0.2.(2015厦门高二检测)设函数f(x)在点x0附近有定义,且有f(x0+x)-f(x0)=ax+b(x)2(a,b为常数),则()A.f(x)=aB.f(x)=bC.f(x0)=aD.f(x0)=b【解析】选C.因为f(x0)=limx0f(x0+x)-f(x0)x=limx0ax+b(x)2x=limx0(a+bx)=a.所以f(x0)=a.二、填空题(每小题5分,共10分)3.一个物体的运动满足函数s=2t2+at+1,该物体在t=1的瞬时速度为3,则a=_.【解析】s=2(1+t)2+a(1+t)+1-(2+a+1)=2t2+(4+a)t,由条件知limt0st=limt0(2t+4+a)=4+a=3,所以a=-1.答案:-14.(2015哈尔滨高二检测)f(x)在x=a处可导,则limh0f(a+3h)-f(a-h)2h=_f(a).【解题指南】将f(a+3h)-f(a-h)2h化简,其方向是依据导数的定义,将其化成符合导数定义的形式.【解析】limh0f(a+3h)-f(a-h)2h=limh0f(a+3h)-f(a)+f(a)-f(a-h)2h=32limh0f(a+3h)-f(a)3h+12limh0f(a)-f(a-h)h=32f(a)+12f(a)=2f(a).答案:2【补偿训练】若f(x)=A,求limh0f(x+h)-f(x-2h)h的值.【解析】原式=limh0f(x+h)-f(x)+f(x)-f(x-2h)h=limh0f(x+h)-f(x)h+2limh0f(x-2h)-f(x)-2h=A+2A=3A.三、解答题(每小题10分,共20分)5.(2015聊城高二检测)求函数y=x在x=1处的导数.【解析】y=1+x-1,yx=1+x-1x=11+x+1,所以limx0=11+x+1=12,即函数y=x在x=1处的导数为12.6.路灯距地面8m,一个身高1.6m的人以84m/min的速度在地面上从路灯在地面上的射影C沿某直线离开路灯,(1)求身影的长度y与人距路灯的距离x之间的关系式,(2)求人离开路灯第10秒时身影的瞬时变化率.【解析】(1)如图所示,设人从C点运动到B处的路程为x m,AB为身影长度,AB的长度为y m.由于CDBE,则ABAC=BECD