数学人教版八年级上册11.3 多边形内角和(第1课时).3.1 多边形内角和教案.doc

11.3 多边形内角和(第1课时)一、内容和内容解析1内容多边形内角和公式2内容解析多边形内角和公式反映了多边形的“角”之间的数量关系，是多边形的基本性质多边形内角和公式是三角形内角和定理的应用、推广和深化，它源于三角形内角和定理又包含三角形内角和定理多边形内角和公式为多边形外角和公式、四边形及正多边形的有关角的学习提供基础知识和根据多边形内角和公式的探索是从具体的正方形、长方形(此时尚未引进矩形概念)的内角和研究出发，逐步深入地提出一般的问题，如，任意一个四边形的内角和是否也等于360？你能推导出五边形和六边形的内角和各是多少吗？你能发现多边形的内角和与边数的关系吗？进而获得一般结论，并加以推理论证，这个过程体现了从具体到抽象的研究问题的方法多边形内角和公式的探索与证明都涉及将多边形分割成若干个三角形的化归过程，即将多边形分割成若干个三角形，利用三角形内角和公式得出多边形内角和公式，这个过程体现了将复杂图形化为简单的基本单元的化归思想基于以上分析，确定本节课的教学重点：多边形内角和公式的探索与证明过程二、目标和目标解析1目标(1)探索并证明多边形内角和公式，体会化归思想和从具体到抽象的研究问题的方法(2)运用多边形内角和公式解决简单问题2目标解析达成目标(1)的标志：学生能在教师的启发引导下，从具体的、特殊的四边形内角和研究出发，利用三角形内角和公式，逐步探索四边形、五边形、六边形n边形内角和，并利用推理证明n边形内角和公式，体会从具体到抽象的研究问题方法在四边形、五边形、六边形n边形分割成若干个三角形的过程中，感悟化归思想达成目标(2)的标志：学生能将公式运用于简单的多边形内角和计算，能在多边形问题情境(如计算正多边形的每个内角的大小)中，自觉地联想用该公式解决问题三、教学问题诊断分析由具体的、特殊的多边形内角和到n边形内角和公式的获得，是一个多层次的探索过程，本质上是由具体到抽象以及逻辑推理的过程如何获得将多边形分割成三角形来解决问题的思路，如何确定分割后三角形的个数，这个过程不但结论具有多样性和变化性，而且需要关注的因素也较多边数、从一个顶点出发的对角线数、分割的三角形数、内角和等，学生把握这一过程会有一定难度教学的关键是引导学生弄清解决问题(推导)的层次；引导学生注意相关的因素(边数、从一个顶点出发的对角线数、三角形数)；引导学生观察相关因素之间的变化关系(即边数的变化引起从一个顶点出发的对角线数的变化、对角线数的变化又引起三角形个数的变化)，并使上述的直观化本节课的教学难点：获得将多边形分割成三角形来解决问题的思路，确定分割后的三角形的个数四、教学过程设计1探索四边形、五边形、六边形的内角和问题1 我们知道，三角形的内角和等于180，正方形、长方形的内角和都等于360那么，任意一个四边形的内角和是否等于360呢？能证明你的结论吗？图7DABC师生活动：教师引导学生分析问题解决的思路如何利用三角形的内角和求出四边形的内角和，进而发现：只需连接一条对角线，即可将一个四边形分割为两个三角形(图7)学生说出证明过程，教师板书设计意图：(1)从学生熟悉的、已知的特例出发，建立起四边形和三角形之间的联系，为提出一般问题做铺垫；(2)通过连接四边形的对角线，将四边形分割成两个三角形，得出四边形内角和等于两个三角形内角和之和，这个环节渗透了将复杂图形化为简单的基本单元的化归思想追问1：这里连接对角线起到什么作用？师生活动：学生回答：将四边形分割成两个三角形，进而将四边形的内角和问题转化为两个三角形内角和问题设计意图：让学生进一步感受对角线在探索四边形内角和中的作用，体会化归思想追问2：类比前面的过程，你能推导出五边形的内角和吗？师生活动：学生先独立思考，再分组讨论，然后代表汇报学生类比四边形内角和的研究过程，得出从五边形的一个顶点出发可以作2条对角线，将五边形分割成3个三角形(如图8)进而得出五边形内角和为(52)180540教师进一步启发学生从顶点或边两个角度解释(从顶点的角度：所取顶点与相邻的两个顶点无法连成对角线，所以少了两个三角形；从边的角度：所取顶点与它所在的两条边不能构成三角形，所以少了两个三角形)，进而可以得出五边形内角和为(52)180540设计意图：将研究方法进行迁移，明确边数、从一个顶点作出的对角线条数、分割的三角形数、五边形内角和之间的关系，为进一步探究六边形内角和奠定基础 图8图9追问3：如图9，从六边形的一个顶点出发，可以作_条对角线，它们将六边形分为_个三角形，六边形的内角和等于180_师生活动：学生类比四边形、五边形内角和的研究过程回答追问3设计意图：让学生进一步体会将六边形分割成几个三角形的化归过程，明确相关因素(边数、对角线条数、三角形数)对六边形内角和的影响，为从具体的多边形抽象到一般的n边形的内角和的研究奠定基础2探索并证明n边形的内角和公式A5AnA1A2A3A4A6图10问题2 你能从四边形、五边形、六边形的内角和的研究过程获得启发，发现多边形的内角和与边数的关系吗？能证明你发现的结论吗？师生活动：学生独立思考后，回答出 n边形的内角和等于(n2)180，然后师生共同分析证明思路证明过程如下：从n边形的一个顶点出发，可以作(n3)条对角线，它们将n边形分为(n2)个三角形，这(n2)个三角形的内角和就是A1A2An的和，所以n边形的内角和等于(n2)180设计意图：让学生体会从具体到抽象的研究问题方法，感悟化归思想的作用追问1：通过前面的探究，填写下面表格：边数从某顶点出发的对角线条数三角形数内角和345n师生活动：师生共同填写表格，得出规律：多边形的边数增加1，内角和就增加180设计意图：通过填写表格，回顾n边形内角和的探索思路追问2：前面我们通过从一个顶点出发作对角线，将多边形分割成几个三角形，进而探究出n边形的内角和，那么，是否还有其它分割多边形的方法呢？师生活动：学生自主探究，小组讨论交流，并让小组代表板演并讲解思路学生可能有以下几种解法：解法1：如图11，在n边形内任取一点O，连结OA1，OA2，OA3，OAn，则n边形被分成了n个三角形，这n个三角形的内角和为n180，以O为公共顶点的n个角的和是360，所以n边形的内角和是n180360，即(n2)180解法2：如图12，在A1A2上任取一点P，连结PA3，PA4，PA5，PAn，则 n边形被分成了(n1)个三角形，这(n1)个三角形的内角和为(n1)180，以P为公共顶点的(n1)个角的和是180，所以n边形的内角和是(n1)180180，即(n2)180A5AnA1A2A3A4A6OA5AnA1A2A3A4A6P图11图12设计意图：让学生尝试用不同的方法分割多边形，把n边形问题转化为熟悉的三角形问题，再次体会化归思想的作用，进一步加深对n边形内角和公式推理过程的理解3巩固多边形内角和公式例1 (1)十边形的内角和为_度(2)已知一个多边形的内角和为1 080，则它的边数为_师生活动：学生独立完成，并口头说明理由设计意图：让学生从正反两个方面运用公式，解决与多边形内角和有关的简单运算问题例2 如果一个四边形的一组对角互补，那么另一组对角有什么关系？DABC图13师生活动：教师提出问题，学生画出图形(图13)，并根据图形将文字语言翻译成符号语言，明确题中已知AC180，所求的是BD的度数，在这里要用到四边形内角和等于360完成解题过程后，教师引导学生得出结论：如果四边形的一组对角互补，那么另一组对角也互补设计意图：让学生理解文字语言，并会将文字语言转化为图形语言和符号语言，进一步巩固多边形内角和公式，利用公式解决具体问题练习1 图14中的x_，图15中的x_140图14xx120图157580x2一个多边形的各个内角都等于120，它是几边形设计意图：通过练习，巩固多边形的内角和公式，训练学生思维的灵活性4小结教师与学生一起回顾本节课所学的主要内容，并请学生回答以下问题：(1)本节课学习了哪些主要内容？(2)我们是怎样得到多边形内角和公式的？(3)在探究多边形内角和公式中，连接对角线起到什么作用？设计意图：引导学生从知识内容和学习过程两个方面总结自己的收获，通过建立知识之间的联系，凸显将复杂图形化为简单的基本单元的化归思想，强调从具体到抽象研究问题的方法5布置作业教科书习题11.3第2，4，5题五、