北京市窦店中学九年级数学上册《22.3 圆的对称性》课件 北京课改版.ppt

22 3圆的对称性 一 轴对称 1 若将一等腰三角形沿着底边上的高对折 将会发生什么结果 如果以这个等腰三角形的顶点为圆心 腰长为半径作圆 得到的圆是否是轴对称图形呢 二 新课 1 结论 圆是轴对称图形 它有无数条对称轴 经过圆心每一条直线都是它的对称轴 强调 1 对称轴是直线 不能说每一条直径都是它的对称轴 2 圆的对称轴有无数条 判断 任意一条直径都是圆的对称轴 1 任意作一个圆和这个圆的任意一条直径cd 2 作一条和直径cd的垂线的弦 ab与cd相交于点e 问题 把圆沿着直径cd所在的直线对折 你发现哪些点 线段 圆弧重合 三 新知识在你们动手实验中产生 归纳得出 垂径定理 垂直于弦的直径平分这条弦 并且平分弦所对的弧 垂径定理的几何语言 cd ab 垂径定理的逆定理 ab是 o的一条弦 且am bm 你能发现图中有哪些等量关系 与同伴说说你的想法和理由 过点m作直径cd 右图是轴对称图形吗 如果是 其对称轴是什么 我们发现图中有 由 cd是直径 am bm 平分弦 不是直径 的直径垂直于弦 并且平分弦所对的两条弧 你可以写出相应的结论吗 垂径定理的逆定理 如图 在下列五个条件中 只要具备其中两个条件 就可推出其余三个结论 驶向胜利的彼岸 cd是直径 am bm cd ab 观察下列哪些图形满足 垂直于弦的直径 的条件 为什么 b a d c o a b d o a b d o a b c d o 图5 a b c d o 图6 o a b c d 图7 图8 图9 图10 例1如图 两个圆都以点o为圆心 小圆的弦cd与大圆的弦ab在同一条直线上 你认为ac与bd的大小有什么关系 为什么 例2一条排水管的截面如图所示 排水管的半径ob 10 水面宽ab 16 求截面圆心o到水面的距离oc 思路 例3已知 如图 线段ab与 o交于c d两点 且oa ob 求证 ac bd 思路 作om ab 垂足为m cm dm oa ob am bm ac bd 圆心到圆的一条弦的距离叫做弦心距 小结 1 画弦心距是圆中常见的辅助线 2 半径 r 半弦 弦心距 d 组成的直角三角形是研究与圆有关问题的主要思路 它们之间的关系 1 已知 0的半径为13 一条弦的ab的弦心距为5 则这条弦的弦长等于 24 c 五 目标训练 3 过 o内一点m的最长弦长为10cm 最短弦长为8cm 那么om长为 a 3b 6cmc cmd 9cm 4 如图 o的直径为10 弦ab长为8 m是弦ab上的动点 则om的长的取值范围是 a 3 om 5b 4 om 5c 3 om 5d 4 om 5 a a 五 目标训练 5 已知 o的半径为10 弦ab cd ab 12 cd 16 则ab和cd的距离为 6 如图 已知ab ac为弦 om ab于点m on ac于点n bc 4 求mn的长 2或14 思路 由垂径定理可得m n分别是ab ac的中点 所以mn bc 2 五 目标训练 本节课主要内容 1 圆的轴对称性 2 垂径定理 2 垂径定理的应用 1 作图 2 计算和证明 3 解题的主要方法 六 总结回顾 2 半径 r 半弦 弦心距 d 组成的直角三角形是研究与圆有关问题的主要思路 它们之间的关系 1 画弦心距是圆中常见的辅助线 作法 连结ab 作ab的垂直平分线cd 交弧ab于点e 点e就是所求弧ab的中点 c d a b e 做一做 提高你的能力 变式一 求弧ab的四等分点 c d a b e f g m n 变式一 求弧ab的四等分点 c d a b f g 错在哪里 1 作ab的垂直平分线cd 2 作at bt的垂直平分线ef gh 强调 等分弧时一定要作弧所对的弦的垂直平分线 变式二 你能确定弧ab的圆心吗 o a b c a b 方法 只要在圆弧上任意取三点 得到三条弦 画其中两条弦的垂直平分线 交点即为圆弧的圆心 判断 1 垂直于弦的直线平分弦 并且平分弦所对的弧 2 弦所对的两弧中点的连线 垂直于弦 并且经过圆心 3 圆的不与直径垂直的弦必不被这条直径平分 4 平分弦的直径垂直于弦 并且平分弦所对的两条弧 5 圆内两条非直径的弦不能互相平分 垂径定理的应用 例1如图 一条公路的转变处是一段圆弧 即图中弧cd 点o是弧cd的圆心 其中cd 600m e为弧cd上的一点 且oe cd垂足为f ef 90m 求这段弯路的半径 驶向胜利的彼岸 解 连接oc 老师提示 注意闪烁的三角形的特点 赵州石拱桥 1 1300多年前 我国隋朝建造的赵州石拱桥 如图 的桥拱是圆弧形 它的跨度 弧所对是弦的长 为37 4m 拱高 弧的中点到弦的距离 也叫弓形高 为7 2m 求桥拱的半径 精确到0 1m 驶向胜利的彼岸 赵州石拱桥 驶向胜利的彼岸 解 如图 用表示桥拱 所在圆的圆心为o 半径为rm 经过圆心o作弦ab的垂线od d为垂足 与相交于点c 根据垂径定理 d是ab的中点 c是的中点 cd就是拱高 由题设 在rt oad中 由勾股定理 得 解得r 27 9 m 答 赵州石拱桥的桥拱半径约为27 9m 垂径定理的应用 在直径为650mm的圆柱形油槽内装入一些油后 截面如图所示 若油面宽ab 600mm 求油的最大深度 驶向胜利的彼岸 d c 船能过拱桥吗 2 如图 某地有一圆弧形拱桥 桥下水面宽为7 2米 拱顶高出水面2 4米 现有一艘宽3米 船舱顶部为长方形并高出水面2米的货船要经过这里 此货船能顺利通过这座拱桥吗 相信自己能独立完成解答 驶向胜利的彼岸 船能过拱桥吗 解 如图 用表示桥拱 所在圆的圆心为o 半径为rm 经过圆心o作弦ab的垂线od d为垂足 与相交于点c 根据垂径定理 d是ab的中点 c是的中点 cd就是拱高 由题设得 驶向胜利的彼岸 在rt oad中 由勾股定理 得 解得r 3 9 m 在rt onh中 由勾股定理 得 此货船能顺利通过这座拱桥 小结 1 有时并未直接给出 圆的直径垂直于弦 这样的条件 而是给出下图所示条件 我们可以得到他们具有和垂直与弦的直径一样的性质 b a d c o a b d o a b d o 图11 图12 图13 圆的半径垂直于弦 圆心到弦的垂线段 弦心距 过圆心的直线垂直于弦 2 在圆中接有关弦的问题 常常需要做一条辅助线 垂直与弦的直径或半径或弦心距 从而利用 垂直与弦的直径平分弦 并且平分这条弦所对的两条弧 圆的这条非常重要的性质 讨论 1 过圆心 2 垂直于弦 3 平分弦 4 平分弦所对优弧 5 平分弦所对的劣弧 3 1 2 4 5 2 3 1 4 5 1 4 3 2