高考数学 玩转压轴题 专题3.15 探究向量关系式几何意义先分析.doc

专题3.15 探究向量关系式几何意义先分析【题型综述】探究向量关系问题解题策略：（1）“肯定顺推法”，将不确定性问题明朗化.其步骤为假设满足条件的元素向量关系存在，用向量的坐标运算，转化直线与圆锥曲线交点坐标的函数式，利用设而不求思想，列出关于待定系数的方程组，若方程组有实数解，则向量关系存在存在；否则，向量关系不存在.(2)反证法与验证法也是求解探索性问题常用的方法.【典例指引】类型一 探究向量式是否为定值例1 【2015高考四川，文20】如图，椭圆e：(ab0)的离心率是，点p(0，1)在短轴cd上，且1()求椭圆e的方程；()设o为坐标原点，过点p的动直线与椭圆交于a、b两点.是否存在常数，使得为定值？若存在，求的值；若不存在，请说明理由.adbcoxyp 类型二 探究向量式是否成立例2. 【2014高考湖南卷文第20题】如图5，为坐标原点，双曲线和椭圆均过点，且以的两个顶点和的两个焦点为顶点的四边形是面积为2的正方形.(1)求的方程；(2)是否存在直线，使得与交于两点，与只有一个公共点，且？证明你的结论.是,联立直线与椭圆可得,因为直线与椭圆只有一个交点,所以,化简可得,因此,于是,即,所以,综上不存在符合题目条件的直线.类型三 探究向量式成立的条件例3【2013年高考，天津卷理】设椭圆的左焦点为f, 离心率为, 过点f且与x轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为. () 求椭圆的方程; () 设a, b分别为椭圆的左右顶点, 是否存在过点f且斜率为k的直线与椭圆交于c, d两点，且, 若存在，求k的值，不存在，说明理由. =， 由已知得=8，解得.类型四 利用向量探究曲线过定点例4. (2012福建理19)如图，椭圆的左焦点为，右焦点为，离心率。过的直线交椭圆于两点，且的周长为8。（）求椭圆的方程。（）设动直线与椭圆有且只有一个公共点，且与直线相交于点。试探究： 在坐标平面内是否存在定点，使得以为直径的圆恒过点？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由。 (法3) 由得，动直线与椭圆有且只要一个交点，且=0，即，化简得 此时=，=，(,),由得(4，).假设平面内存在定点满足条件，由图形对称性知，点必在轴上,【扩展链接】1. 设圆锥曲线c的焦点f在x轴上，过焦点f且斜率为的直线交曲线于两点，若，则.2. 在圆锥曲线中，过焦点f不垂直于坐标轴的弦为，其垂直平分线和焦点所在的坐标轴交于，则.3.已知椭圆的两个焦点分别为和（），过点的直线与椭圆相交于两点，若，则直线一定过或.4.如果平面内有三点不共线，设.【同步训练】1已知椭圆c：+=1（ab0）的上下两个焦点分别为f1，f2，过点f1与y轴垂直的直线交椭圆c于m，n两点，mnf2的面积为，椭圆c的离心率为（1）求椭圆c的标准方程；（2）已知o为坐标原点，直线l：y=kx+m与y轴交于点p，与椭圆c交于a，b两个不同的点，若存在实数，使得+=4，求m的取值范围【思路点拨】（1）根据已知设椭圆的焦距2c，当y=c时，|mn|=|x1x2|=，由题意得，mnf2的面积为|mn|f1f2|=c|mn|=，又，解得a、b即可（2）设a（x1，y1），b（x2，y2），p（0，y0），分类讨论：当m=0时，利用椭圆的对称性即可得出；m0时，直线ab的方程与椭圆的方程联立得到0及根与系数的关系，再利用向量相等，代入计算即可得出（2）当m=0时，则p（0，0），由椭圆的对称性得，m=0时，存在实数，使得+=4，当m0时，由+=4，得，a、b、p三点共线，1+=4，=3设a（x1，y1），b（x2，y2）由，得（k2+4）x2+2mkx+m24=0，由已知得=4m2k24（k2+4）（m24）0，即k2m2+40且x1+x2=，x1x2=由得x1=3x23（x1+x2）2+4x1x2=0，m2k2+m2k24=0显然m2=1不成立，k2m2+40，即解得2m1或1m2综上所述，m的取值范围为（2，1）（1，2）02.已知f1，f2分别是椭圆c：+=1（ab0）的两个焦点，p（1，）是椭圆上一点，且|pf1|，|f1f2|，|pf2|成等差数列（1）求椭圆c的标准方程；（2）已知动直线l过点f2，且与椭圆c交于a、b两点，试问x轴上是否存在定点q，使得=恒成立？若存在，求出点q的坐标；若不存在，请说明理由【思路点拨】（1）根据椭圆的性质及等差数列性质得出a=c，把p点坐标代入椭圆方程列方程组解出a，b得出椭圆方程；（2）设q（m，0），讨论直线l的斜率，求出a，b坐标，列方程解出m 3.在平面直角坐标系xoy中，椭圆c：+=1（ab0）的一个焦点为f1（，0），m（1，y）（y0）为椭圆上的一点，mof1的面积为（1）求椭圆c的标准方程；（2）若点t在圆x2+y2=1上，是否存在过点 a（2，0）的直线l交椭圆c于点 b，使=（+）？若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由【思路点拨】（1）由已知列式c=，得a2，b2即可；（2）设直线l的方程为：y=k（x2），a（x1，y1），b（x2，y2）由得（1+4k2）x216k2x+16k24=0，x1+x2=，y1+y2=k（x1+x2）4k=，=（+）=，得t（）代入 圆c1，可得化为176k424k25=0可求得k 4.已知椭圆的两个焦点为，是椭圆上一点，若，（1）求椭圆的方程；（2）直线l过右焦点（不与x轴重合）且与椭圆相交于不同的两点a，b，在x轴上是否存在一个定点p（x0，0），使得的值为定值？若存在，写出p点的坐标（不必求出定值）；若不存在，说明理由【思路点拨】（1）根据椭圆的定义及勾股定理即可求得a=3，c=，b2=a2c2=4，即可求得椭圆方程；（2）方法一：设直线l：x=my+，代入椭圆方程，利用韦达定理及向量数量积的坐标运算，=t 则（4x0236）m2+9x0218x0+29=t（4m2+9），比较系数，即可求得x0=，在x轴上存在一个定点p（，0），使得的值为定值（）；方法二：分类讨论，当直线l的斜率存在时，设直线l：y=k（x），代入椭圆方程，利用韦达定理及向量数量积的坐标运算，令=t 则（9x0218x0+29）k2+4x0236=t（4+9k2），9x0218x0+29=9 t且4x0236=4t，即可求得x0=，此时t的值为 解法二：当直线与x轴不垂直时，设直线l方程为：y=k（x），代入椭圆方程并消元整理得：（9k2+4）x218k2x+45k236=0设a（x1，y1），b（x2，y2），则是方程的两个解，由韦达定理得：x1+x2=，x1x2=， y1y2=k2（x1）（x2）=k2（ x1x2（x1+x2）+5）=，=（x1x0，y1）（x2x0，y2）=（ x1x0）（ x2x0）+y1y2=x1x2x0（x1+x2）+x02+y1y2，=，令=t 则（9x0218x0+29）k2+4x0236=t（4+9k2），9x0218x0+29=9 t且 4x0236=4t，解得：x0=，此时t的值为，当直线l与x轴垂直时，l的方程为：x=，代入椭圆方程解得：a（，），b（，），=（，）（，）=，当直线l与x轴垂直时，也为定值，综上，在x轴上存在一个定点p（，0），使得的值为定值（）5.如图已知椭圆c：+=1（ab0）的离心率为，以椭圆的左顶点t为圆心作圆t：（x+2）2+y2=r2（r0），设圆t与椭圆c交于点m，n（1）求椭圆c的方程；（2）求的最小值，并求此时圆t的方程【思路点拨】（1）运用椭圆的离心率公式和顶点坐标，结合a，b，c的关系，可得椭圆方程；（2）设m（m，n），由对称性可得n（m，n），代入椭圆方程，再由向量数量积的坐标表示，转化为关于m的二次函数，配方，结合椭圆的范围，可得最小值，进而得到m的坐标，可得圆的方程 6.已知椭圆的离心率，以上顶点和右焦点为直径端点的圆与直线x+y2=0相切（1）求椭圆的标准方程；（2）对于直线l：y=x+m和点q（0，3），椭圆c上是否存在不同的两点a与b关于直线l对称，且3=32，若存在实数m的值，若不存在，说明理由【思路点拨】（1）由椭圆的离心率，得b=c，写出以上顶点和右焦点为直径端点的圆的方程，再由点到直线的距离列式求得b，c的值，结合隐含条件求得a，则椭圆方程可求；（2）由题意设a（x1，y1），b（x2，y2），直线ab方程为：y=x+n联立消y整理可得：3x24nx+2n22=0，由0解得n的范围再由根与系数的关系结合中点坐标公式求得直线ab之中点坐标，代入直线ab，再由点p在直线l上求得m的范围，最后由3=32求得m的值（2）由题意设a（x1，y1），b（x2，y2），直线ab方程为：y=x+n联立消y整理可得：3x24nx+2n22=0，由=（4n）212（2n22）=248n20，解得，设直线ab之中点为p（x0，y0），则，由点p在直线ab上得：，又点p在直线l上，则又，=，解得：或m=1综合，知m的值为7.已知椭圆c：+=1（ab0）的左、右顶点分别为a、b，且长轴长为8，t为椭圆上一点，直线ta、tb的斜率之积为（1）求椭圆c的方程；（2）设o为原点，过点m（0，2）的动直线与椭圆c交于p、q两点，求+的取值范围【思路点拨】（1）求得直线ta，tb的斜率，由=，即可求得椭圆c的方程；（2）设直线pq方程，代入椭圆方程，利用韦达定理及向量数量积的坐标，求函数的单调性，即可求得+的取值范围 =20+（8分）20+，（10分）当直线pq斜率不存在时+的值为20，综上所述+的取值范围为20，（12分）8.已知抛物线e：x2=4y的焦点为f，过点f的直线l交抛物线于a，b两点（1）若点m在线段ab上运动，原点o关于点m的对称点为c，求四边形oacb面积的最小值；（2）过a，b分别作抛物线e的切线l1，l2，若l1与l2交于点p，求的值【思路点拨】（1）由题意设直线ab的方程，代入抛物线方程，利用韦达定理及弦长公式，根据函数的单调性即可求得四边形oacb面积的最小值；（2）求导，利用点斜式方程，求得求得切线l1，l2的方程，联立求得p点坐标，根据向量的坐标运算，即可求得的值 9.已知点p（4，4），圆c：（xm）2+y2=5（m3）与椭圆e：+=1（ab0）有一个公共点a（3，1），f1、f2分别是椭圆的左、右焦点，直线pf1与圆c相切（1）求m的值与椭圆e的方程；（2）设q为椭圆e上的一个动点，求的取值范围【思路点拨】（1）先利用点a在圆上求出m，再利用直线pf1与圆c相切求出直线pf1与的方程以及c，再利用点a在椭圆上求出2a，即可求出椭圆e的方程；（2）先把用点q的坐标表示出来，再利用q为椭圆e上的一个动点以及基本不等式即可求出的取值范围（2），设q（x，y），即x2+（3y）2=18，而x2+（3y）22|x|3y|，186xy18则（x+3y）2=x2+（3y）2+6xy=18+6xy的取值范围是0，36x+3y的取值范围是6，6x+3y6的范围只：12，0即的取值范围是12，010.若椭圆e1：与椭圆e2：满足，则称这两个椭圆相似，m叫相似比若椭圆m1与椭圆相似且过点（1）求椭圆m1的标准方程；（2）过点p（2，0）作斜率不为零的直线l与椭圆m1交于不同两点a、b，f为椭圆m1的右焦点，直线af、bf分别交椭圆m1于点g、h，设，求1+2的取值范围【思路点拨】（1）根据题意，设椭圆m1的标准方程为，由“椭圆相似”的性质分析可得，解可得a2、b2的值，代入椭圆的方程即可得答案；（2）设直线l的斜率为k，以及a、b、g、h的坐标，可以表示、的坐标，分“ag与x轴不垂直”和“ag与x轴垂直”两种情况，求出直线ag的方程，联立直线与椭圆的方程，由根与系数的关系的分析可得1+2范围，即可得答案得，1=32x1，当ag与x轴垂直时，点a的横坐标为1，1=1，2=32x1成立，同理可得2=32x2，设直线l的方程为y=k（x+2），代入椭圆方程，得（2k2+1）x2+8k2x+8k22=0，则，得，由得，即1+2范围为（6，10）11.已知椭圆c：（ab0）的离心率为，左、右焦点分别为圆f1、f2，m是c上一点，|mf1|=2，且|=2（1）求椭圆c的方程；（2）当过点p（4，1）的动直线l与椭圆c相交于不同两点a、b时，线段ab上取点q，且q满足|=|，证明点q总在某定直线上，并求出该定直线的方程【思路点拨】（1）由已知得a=2c，且f1mf2=60，由余弦定理求出c=1，即可求得a，结合隐含条件求得b，则椭圆c的方程可求；（2）设直线l的方程为y=kx+（14k），代入椭圆方程，得（3+4k2）x2+（8k32k2）x+64k232k8=0，利用根与系数的关系结合已知向量等式即可证明点q总在某定直线上，并求出该定直线方程证明：（2）由题意可得直线l的斜率存在设直线l的方程为y1=k（x4），即y=kx+（14k），代入椭圆方程，整理得（3+4k2）x2+（8k32k2）x+64k232k8=0，设a（x1，y1），b（x2，y2），则，设q（x0，y0），由|=|，得：（4x1）（x0x2）=（x1x0）（4x2）（考虑线段在x轴上的射影即可），8x0=（4+x0）（x1+x2）2x1x2，于是，整理得3x02=（4x0）k，又k=，代入式得3x0+y03=0，点q总在直线3x+y3=0上12.如图，椭圆e：，点p（0，1）在短轴cd上，且（1） 求椭圆