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微积分初步 函数的导数与微分函数的不定积分与定积分 1函数 导数与微分 一 变量 常量与函数变量 在某一过程中取值会不断变化的量 常量 在某一过程中取值始终不变的量 函数 变量y按某种确定的关系随变量x的变化而变化 则称y是x的函数 x叫自变量 y叫因变量 写作 y f x 例 y 3x2 2x y 5sinx y ax y e2x复合函数 若y是z的函数y f z 而z又是x的函数z g x 则称y是x的复合函数 记作 y x f g x 例 y sin ax2 bx c y esin 2x 3 二 函数的导数 函数y f x 在x处的导数定义为 例 求函数y x2在x 1和x 3时的导数值 基本函数导数公式 导数的基本运算法则 设u u x v v x 例1 求y x3lnx的导数 解 例2求y sinx x的导数 解 二阶导数与高阶导数 前述函数的导数是y对x的一阶导数 若将一阶导数y 再次对x求导 则为二阶导数 同理 将二阶导再对x求导则为三阶导 三阶导的导数则为四阶导等 例求y x3 3x2的二阶导数 三 函数的极值 极值点处的切线一定是水平的 因而极值点的判定条件是 f x 0极大值点的条件是 f x 0 f x 0极小值点的条件是 f x 0 f x 0 例求函数y 4x3 3x2 5的极值点和极值 解 因y 12x2 6x令y 0得x1 0 x2 1 2此为其两个极值点 又y 24x 6 有y x1 6 0 y x2 6 0因而x1 0是极大值点 对应的极大值为y1 5x2 1 2是极小值点 对应的极小值为y2 19 4 四 函数的微分 例求函数y 5x sinx的微分 2不定积分 一 原函数前一节学了求函数y f x 的导数f x 现若已知一函数F x 的导数为f x 要求原函数F x 例因 x3 3x2 所以x3为3x2的原函数 sinx cosx sinx是cosx的原函数 F x F x c c为任意常数 函数f x 的原函数有任意多个 F x c 二 不定积分 定义 函数f x 的所有原函数F x c叫f x 的不定积分 记为 不定积分公式 不定积分运算法则 例1求 解 令u 1 x 微分得 du dx 有 例2求 解 令u ax b 微分得 du adx 有 例3求 解 令u x2 1 微分得 du 2xdx 有 例4求 解 令u e3x 微分得 du 3e3xdx 有 3定积分 定积分的主要性质 定积分的计算 牛顿 莱布尼茨公式 例1求 解 令u x2 1 微分得 du 2xdx 有 例2求
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