（宜宾专版）2018届中考数学 第1编 教材知识梳理篇 第4章 图形的初步认识与三角形 第15讲 等腰三角形与直角三角形（精讲）试题.doc

第十五讲等腰三角形与直角三角形,考标完全解读)考点考试内容考试要求等腰三角形与直角三角形的定义等腰三角形的定义了解直角三角形的定义了解等腰三角形与直角三角形等腰三角形的性质及其判定理解等边三角形的性质及其判定理解直角三角形的性质及其判定理解,感受宜宾中考)1(宜宾中考)如图，在abc中，adbc于d.请你再添加一个条件，就可以确定abc是等腰三角形你添加的条件是_答案不唯一，如bdcd_2到三角形三个顶点的距离都相等的点是这个三角形的(d)a三条高的交点b三条角平分线的交点c三条中线的交点d三条边的垂直平分线的交点3如图，在abc中，ad平分bac，bead，be交ad的延长线于点e，点f在ab上，且efac.求证：点f是ab的中点证明：ad平分bac，baecae.efac，aefcae，aefbae，afef.又bead，baeabe90，befaef90，又aefbae，abebef，bfef，afbf，点f为ab中点,核心知识梳理)等腰三角形的性质和判定1性质： (1)等腰三角形两腰_相等_(定义) (2)等腰三角形两角底角_相等_(等边对等角)(3)等腰三角形底边上的中线，底边上的高和顶角的平分线_互相重合_(简称“三线合一”)2判定： (1)有_两边相等_的三角形是等腰三角形 (2)有_两角相等_的三角形是等腰三角形等边三角形的性质和判定3等边三角形的性质：(具有等腰三角形的所有性质，结合定义更特殊). (1)等边三角形的内角都_相等_，且为_60_. (2)等边三角形每条边上的中线、高线和所对角的平分线_互相重合_(简称“三线合一”)(3)等边三角形是_轴对称_图形，它有_三_条对称轴，对称轴是每条边上的中线、高线或所对角的平分线所在直线4等边三角形的判定：(首先考虑判断三角形是等腰三角形) (1)_三边_相等的三角形是等边三角形(定义)(2)三个内角都_相等_的三角形是等边三角形. (3)有一个角是60的_等腰_三角形是等边三角形直角三角形的性质和判定5直角三角形的性质(1)直角三角形的两个锐角_互余_(2)在直角三角形中，30角所对的直角边等于斜边的_一半_(3)直角三角形斜边上的中线等于斜边的_一半_(4)直角三角形两直角边a，b的平方和等于斜边c的平方，即a2b2c2.6直角三角形的判定判定1：有一个角为_90_的三角形是直角三角形判定2：一个三角形，如果一边上的中线等于这条边的_一半_，那么这个三角形是以这条边为斜边的直角三角形判定3：若_a2b2c2_，则以a，b，c为边的三角形，是以c为斜边的直角三角形(勾股定理的逆定理)线段垂直平分线的定理及逆定理7线段垂直平分线的性质定理：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离_相等_【温馨提示】它是证明两条线段相等的重要的方法之一，在证明线段相等时，不要再证明两个三角形全等了，方便了证明的过程8线段的垂直平分线的性质定理的逆定理：到线段两个端点距离_相等_的点在这条线段的垂直平分线上【温馨提示】(1)关于线段垂直平分线性质定理的逆定理实际就是线段垂直平分线的判定定理；区分线段垂直平分线性质定理和判定定理的区别的关键在于区分它们的题设和结论；(2)要想证明一条直线是一条线段的垂直平分线，只要证明这条直线上任意一点到这条线段的两个端点距离相等即可,重点难点解析)等腰三角形的应用【例1】阅读理解：如图，在abc的边ab上取一点p，连接cp，可以把abc分成两个三角形，如果这两个三角形都是等腰三角形，我们就称点p是abc的边ab上的和谐点解决问题：(1)如图，abc中，acb90，试找出边ab上的和谐点p，并说明理由；(2)已知a40，abc的顶点b在射线l上(图)，点p是边ab上的和谐点，请在图中画出所有符合条件的b点，并写出相应的b的度数【解析】(1)由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，找出和谐点为斜边的中点；(2)由a为等腰三角形的顶角和底角分类讨论得出符合条件的点b有3个【答案】解：(1)ab边上的和谐点为ab的中点理由如下：p是ab的中点，pcabpapb，acp和bcp是等腰三角形；(2)当aacp40时，则cpb404080.如答图.若cpcb1，则cpb1cb1p80.若b2pb2c，则b2pcb2cp80，cb2p180808020.若pcb3p，则pb3cpb3c50；当aapc40时，如答图，cpb4180apc18040140，cb4p20；当acpapc70时，如答图，cpb5180apc18070110，cb5p35.综上所述，符合条件的cbp的度数为35，50，80，20.【针对训练】1阅读下列材料：我们定义：若一个四边形的一条对角线把四边形分成两个等腰三角形，则称这条对角线叫这个四边形的和谐线，这个四边形叫做和谐四边形如正方形，菱形都是和谐四边形结合阅读材料，完成下列问题：如图，等腰rtabd中，bad90.若点c为平面上一点，ac为凸四边形abcd的和谐线，且abbc，请画出图形并求出abc的度数解：ac是四边形abcd的和谐线，acd是等腰三角形，在等腰rtabd中，abad，abadbc，如图，当adac时，abacbc，acdadc，abc是正三角形，abc60.如图，当adcd时，abadbccd.bad90，四边形abcd是正方形，abc90；如图，当accd时，过点c作cead于e，过点b作bfce于f.accd，cead，aead，acedce.badaefbfe90，四边形abfe是矩形bfae.abadbc，bfbc，bcf30.abbc，acbbac.abce，bacace，acbbacbcf15，abc150，综上所述，abc的度数为60或90或150.等边三角形的性质和判定【例2】图中所示的遮阳伞，伞柄垂直于地面，其示意图如图.当伞收紧时，点p与点a重合；当伞慢慢撑开时，动点p由a向b移动；当点p到过点b时，伞张得最开已知伞在撑开的过程中，总有pmpncmcn6.0 dm，cecf18.0 dm，bc2.0 dm.(1)求ap长的取值范围；(2)当cpn60时，求ap的值【解析】(1)根据题意，得accnpn，进一步求得ab的长，即可求得ap的取值范围；(2)根据等边pcn的判定和性质即可求解【答案】解：(1)bc2.0 dm，accnpn12 dm，ab12210(dm)，ap的取值范围为：0 dmap10 dm.(2)cnpn，cpn60，pcn等边三角形，cp6 dm.apacpc1266(dm)即当cpn60时，ap6 dm. 【针对训练】2(2017南充中考)如图，等边oab的边长为2，则点b的坐标为(d)a(1，1) b(，1)c(，) d(1，)3如图，abc为等边三角形，bd平分abc，debc.求证：(1)ade是等边三角形；(2)aeab.证明：(1)abc为等边三角形，aabcacb60.debc，aedabc60，adeacb60，aaedade，ade是等边三角形；(2)ade是等边三角形，adae.abc为等边三角形，abac.bd平分abc，d是ac的中点(三线合一)，adacab，aeab.直角三角形的性质及应用【例3】如图，一位同学做了一个斜面装置进行科学实验，abc是该装置左视图，acb90，b15，为了加固斜面，在斜面ab的中点d处连结一条支撑杆cd，量得cd6.(1)求斜坡ab长和adc的度数；(2)该同学想用彩纸装饰实验装置中的abc的表面，请你计算abc的面积【解析】(1)根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得ab2cd，然后根据等腰三角形的性质即可得到结论；(2)过c作ceab于e，根据直角三角形的性质得到cecd3，由三角形的面积公式即可得到结论【答案】解：(1)acb90，d是ab的中点，ab2cd2612.cdbd，adc2b30；(2)过c作ceab于e，adc30，cecd3，sabc12318.【针对训练】4如图，在abc中，acb90，a15，d是边ab的中点，deab交ac于点e.求：(1)cde的度数；(2)ceea.解：(1)在abc中，acb90，d是边ab的中点，cdadbd，dcaa15，bdcadca30.edab，edb90，cde903060；(2)连结be.d为ab中点，deab，beae，ebaa15，bec151530，cosbeccos30.aebe，.线段中垂线的定理及逆定理【例4】如图，在abc中，ad平分bac，deac，efad交bc延长线于f.求证：facb.【解析】根据角平分线的性质和平行线的性质，可得aeed，则ef是ad的垂直平分线，又fadcadfac，fdabbad，即可证得【答案】证明：ad平分bac，badcad.deac，edacad.edaead，aeed.又efad，ef是ad的垂直平分线，afdf，fadfda.又fadcadfac，fdabbad，facb.【针对训练】5(德州中考)如图，在abc中，b55，c30，分别以点a和点c为圆心，大于ac的长为半径画弧，两弧相交于点m，n，作直线mn，交bc于点d，连接ad，则bad的度数为(a)a65 b60 c55 d45,当堂过关检测)1.(2017荆州中考)如图，在abc中，abac，a30，ab的垂直平分线l交ac于点d，则cbd的度数为(b)a30 b45 c50 d75,(第1题图),(第2题图)2(2017滨州中考)如图，在abc中，abac，d为bc上一点，且dadc，bdba，则b的大小为(b)a40 b36 c30