高考数学总复习 第八章第3课时 圆的方程课件.ppt

第3课时圆的方程 第八章平面解析几何 基础梳理1 圆的方程 1 标准方程 x a 2 y b 2 r2 其中 为圆心 r为半径 a b 2 一般方程 x2 y2 dx ey f 0 d2 e2 4f 0 其中圆心为 半径为 a b r 思考探究二元二次方程ax2 bxy cy2 dx ey f 0表示圆的条件是什么 提示 a c 0 b 0 d2 e2 4af 0 2 点与圆的位置关系点与圆的位置关系可以利用点与圆心间的距离跟半径r的大小关系的比较来判断 点p在圆m外 点p在圆m上 点p在圆m内 点p在圆外 点p在圆上 点p在圆内 课前热身1 2011 高考四川卷改编 圆x2 y2 4x 6y 0的圆心坐标是 答案 2 3 2 2011 高考辽宁卷 已知圆c经过a 5 1 b 1 3 两点 圆心在x轴上 则圆c的方程为 答案 x 2 2 y2 10 3 若方程x2 y2 4x 2y 5k 0表示圆 则k的取值范围是 答案 1 4 圆的方程为x2 y2 kx 2y k2 0 当圆面积最大时 圆心坐标为 答案 0 1 考点1求圆的方程 于是r2 2b2 2 所求圆的方程是 x 1 2 y 1 2 2 或 x 1 2 y 1 2 2 2 求圆的方程有两类方法 几何法 即通过研究圆的性质 直线和圆 圆和圆的位置关系 进而求得圆的基本量 圆心 半径 和方程 代数法 即用 待定系数法 求圆的方程 其一般步骤是 a 根据题意选择方程的形式 标准形式或一般形式 本例题中涉及圆心及切线 故设标准形式较简单 b 利用条件列出关于a b r或d e f的方程组 c 解出a b r或d e f 代入所设的标准方程或一般方程 变式训练1 根据下列条件求圆的方程 1 圆心c 2 1 且截直线y x 1所得弦长为2 2 圆心在直线y 4x上 且与直线l x y 1 0相切于点p 3 2 又直线y x 1被圆截得的弦长为2 2 2 即2 2 解得r 2 所求圆的方程为 x 2 2 y 1 2 4 考点2与圆有关的最值问题已知点p x y 是圆 x 2 2 y2 1上任意一点 1 求p点到直线3x 4y 12 0的距离的最大值和最小值 思路分析 根据几何意义 借助于平面几何知识 利用数形结合求解 形如t ax by的最值问题 可转化为动直线截距的最值问题 形如m x a 2 y b 2的最值问题 可转化为两点间的距离平方的最值问题等 解析 平面区域c1 x2 y2 2 x y 即 x 1 2 y 1 2 2 其表示的区域为图中的4个半圆和一个正方形 变式训练2 已知两点a 1 0 b 0 2 点p是圆 x 1 2 y2 1上任意一点 则 pab的面积的最大值与最小值是 考点3与圆有关的轨迹问题已知线段ab的端点b的坐标是 4 3 端点a在圆 x 1 2 y2 4上运动 求线段ab的中点m的轨迹方程 解 设点m的坐标是 x y 点a的坐标是 x0 y0 由于点b的坐标是 4 3 且m是线段ab的中点 名师点评 若一动点p运动是由另一动点q运动而引起 而q点又在已知曲线上运动 要求p点轨迹 可把p点转移到q点 再利用q点在已知曲线上 可求p点轨迹方程 这种求轨迹方程方法叫相关点法 解 以o1o2的中点o为原点 o1o2所在直线为x轴 建立如右图所示的坐标系 则o1 2 0 o2 2 0 方法技巧1 利用圆的标准方程能直接求出圆心和半径 比较点到圆心的距离与半径的大小 能得出点与圆的位置关系 求圆的标准方程就是求出圆心的坐标与圆的半径 借助弦心距 弦 半径之间的关系计算 可大大简化计算的过程与难度 2 点与圆的位置关系有三种情形 点在圆内 点在圆上 点在圆外 其判断方法是 看点到圆心的距离d与圆半径r的关系 dr时 点在圆外 3 当二元二次方程ax2 bxy cy2 dx ey f 0具有条件 1 a c 0 2 b 0 3 d2 e2 4af 0时 它才表示圆 条件 1 和 2 是此方程表示圆的必要条件 但不充分 条件 1 2 3 合起来是此方程表示圆的充要条件 4 圆的方程中有三个独立系数 因此必须具备三个独立条件才能确定一个圆 确定系数的方法可用待定系数法 5 研究与圆有关的最值问题时 可借助图形的性质 利用数形结合求解 研究圆上的点到定点 或到定直线 的距离的最值问题 一般在点与定点的连线 点与直线的垂线 过圆心时寻找 解决这类问题除可充分利用圆的几何性质外 还可考虑圆的参数方程进行三角代换 利用三角函数有界性求解 失误防范1 圆的标准方程 x a 2 y b 2 r2 应用时半径用错 易看成r2为半径 圆的一般方程在应用时 易写错圆心坐标和半径 2 在应用圆的性质解题时 易理解错误造成解题出错 要熟记有关性质 命题预测圆的标准方程和一般方程 江苏考纲对其的能级要求为c 说明对其的考查要求达到最高 从近几年的江苏高考试题来看 求圆的方程及含考的圆的相关问题和待定系数法及方程思想的应用是考查的热点 预测2013年高考可能仍将延续前几年的考向 但圆的几何性质 圆与其它曲线综合的命题趋势较强 2013年应给予高度关注 典例透析 2011 高考重庆卷改编 在圆x2 y2 2x 6y 0内 过点e 0 1 的最长弦和最短弦分别为ac和bd 则四边形abcd的面积为 得分技巧 解决本题的关键 1 理解过圆内一定点的最长弦是过这一点的直径 最短弦是过这一点且和直径垂直的弦 2 正确地