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3 2空间向量的应用3 2 1直线的方向向量与平面的法向量 第3章空间向量与立体几何 学习导航 第3章空间向量与立体几何 1 直线l的方向向量我们把直线l上的向量e e 0 以及与e共线的非零向量叫做 2 法向量如果表示非零向量n的有向线段所在直线垂直于平面 那么称向量n垂直于平面 记作 此时 我们把向量n叫做平面 的 直线l的方向向量 n 法向量 1 下列说法中不正确的是 填序号 平面 的一个法向量垂直于与平面 共面的所有向量 一个平面的所有法向量互相平行 如果两个平面的法向量垂直 那么这两个平面也垂直 如果a b与平面 共面且n a n b 那么n就是平面 的一个法向量 2 在正方体ABCD A1B1C1D1的所有棱 面对角线 体对角线所对应的向量中 是平面A1B1CD的法向量的是 3 设l1的方向向量a 1 2 2 l2的方向向量b 2 3 m 若l1 l2 则m 4 已知A 1 0 0 B 0 1 0 C 0 0 1 则平面ABC的一个单位法向量是 2 直线的方向向量的应用 设a b分别是直线l1 l2的方向向量 根据下列条件判断直线l1 l2的位置关系 1 a 1 2 1 b 3 6 3 2 a 1 2 2 b 2 3 2 解 1 因为 3 6 3 3 1 2 1 所以b 3a 所以l1 l2 2 因为a b 1 2 2 2 3 2 1 2 2 3 2 2 0 所以a b 所以l1 l2 方法归纳 利用直线的方向向量可以判断两条直线的平行 垂直关系 设直线l1 l2的方向向量分别为a b 则 l1 l2 或l1与l2重合 a b a kb l1 l2 a b 0 1 在空间直角坐标系中 已知点A 2 4 0 B 1 3 3 P是线段AB上的一点 且满足AP PB 1 2试求点P的坐标 求给定坐标系下的平面的法向量 已知平面 经过三点A 1 2 3 B 2 0 1 C 3 2 0 试求平面 的一个法向量 链接教材P90T2 方法归纳 用待定系数法求平面的法向量 关键是在平面内找两个不共线向量 设出平面的法向量 列出方程组 求出的三个坐标不是具体的值 而是比例关系 取其中一组解 非零向量 即可 2 已知三点A 1 1 0 B 1 0 1 C 0 1 1 则平面ABC的单位法向量为 正三棱柱ABC A1B1C1的所有棱长都为2 D为CC1的中点 试建立适当的坐标系 求平面A1AD的一个法向量 链接教材P88例1 先建系再求法向量 方法归纳 平面的法向量就是平面法线的方向向量 因此可以先确定平面的法线 再取它的方向向量 也可以直接设定向量与平面内的两条相交直线垂直 从而得到平面的法向量 3 已知正方体AC1的棱长为1 试建立适当
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