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利率期限结构模型 2020 2 4 1 利率期限结构模型简介 利率期限结构相关符号表 在未来时间T到期的零息票债券在时间t的价格 即在未来时间T支付单位1的债券在时间t的价格 起息日为时间t 剩余到期期限为年的零息票债券利率 有 起息日为时间t 剩余到期期限为年的连续复合利率 有 2020 2 4 2 在时间t计算的 起息日为时间s 剩余到期期限为T s的远期利率 有 在时间t计算的 起息日为时间s的瞬时远期利率 有 即期利率 时间t计算的 剩余到期期限无限小时的零息票债券的连续符合内部收益率 有 2020 2 4 3 起息日为时间t 剩余到期期限为年的连续复合利率 有 贴现债券价格在时间t的预期瞬间收益 贴现债券价格在时间t的瞬时波动 标准布朗运动 瞬间远期利率的波动 有 贴现债券利率的波动 重组树中 在第i种状态下 剩余到期期限为T的贴现债券在时间n的均衡价格 注意 与的定义不同 此处T表示的是剩余到期期限 而非到期日 2020 2 4 4 利率期限结构的概念 利率 interestrate 是经济和金融领域的一个核心变量 它实质上是资金的价格 反映了资金的供求关系 利率期限结构 termstructureofinterestrates 又称收益率曲线 yieldcurve 是指在相同风险水平下 利率与到期期限之间的关系 或者说是理论上的零息债券利率曲线 2020 2 4 5 常见的利率期限结构有以下四种 贴现因子曲线 discountfactorcurve 零息票收益曲线 zero couponyieldcurve 常用 或 远期利率曲线 forwardratescurve 瞬时远期利率期限结构 instantaneousforwardtermstructure 常用 2020 2 4 6 利率期限结构模型 2020 2 4 7 静态利率期限结构模型 静态利率期限结构模型概述 静态利率期限结构模型以当天市场的债券价格信息为基础 构造利率曲线函数 利用所构造的利率曲线得到理论价格来逼近债券的市场价格 从而得出符合当天价格信息的利率期限结构 静态利率期限结构模型最为常见的有样条函数模型和节约型模型 样条函数模型主要包括多项式样条法 指数样条法和B样条法 节约型模型的主要代表是Nelson Siegel模型及其扩展模型 2020 2 4 8 通常 使用静态模型拟合利率期限结构的具体过程如下 首先 从市场上选出一组无违约风险的附息债券 设该组附息债券在时间t的市场价格为 在时间s的现金流入为 其中 j表示该组的第j支债券 由于期限结构指的是零息债券的收益率与其到期日间之关系 因此必须先调整 息票效应 CouponEffect 息票效应是指 对于剩余到期期限相同的债券来说 它们的到期收益率不仅与当前的利率期限结构有关 还与它们的票面利率水平有关 对于相同的即期利率期限结构而言 到期收益率是这些即期利率的加权平均 而权重是各个现金流的现值 2020 2 4 9 于是 假想出贴现函数或零息票债券利率的具体形式 其中和为参数向量 然后利用假想出的具体形式 来推导附息债券的理论价格 当推导出的理论价格与给定的市场价格最为接近时 就可以估计出由和构成的参数向量 即 其中 是从模型 或模型 推导出的附息债券理论价格 2020 2 4 10 显然 债券样本中长期品种的价格波动性应大于短期品种 而由此带来的结果是 以上述方法中表示长期债券的定价误差往往大于短期债券 这就是在进行收益率曲线拟合时无法避免的样本异方差特征 导致的结果往往是收益率曲线在远端出现 过度拟合 Overfitting 的情况 而在近端则无法很好地表现短期债的实际情况 为了解决这一问题 应该对短期债券赋予较高的权重 而对长期债券赋予较低的权重 从而允许长期债券存在较高的误差 在Bolder和Streliski 1999 的论文中 设定了如下的权重系数 而将参数的估计过程定义为 2020 2 4 11 多项式样条法 多项式样条函数假设折现因子是到期期限s的多项式分段连续函数 在运用此函数时 仔细选择多项式的阶数是至关重要的 阶数的多少决定了利率曲线的平滑程度和拟合程度 同时也影响到待估参数的数量 本书将多项式样条函数的阶数定为3 这是因为 当多项式样条函数为二阶时 的二阶导数是离散的 当阶数过高 四阶或五阶 时 验证三阶或四阶导数是否连续的难度将增大 待估参数的数量也将增大 2020 2 4 12 一般选用如下形式的多项式样条函数 注意 对于即期贴现率函数来说 显然有 另外 为了保证分段函数的平滑性以及在分段点的平滑过渡 必须保证贴现函数在整个定义域内连续且一 二阶可导 还需要满足如下约束条件 其中的一阶导数和二阶导数 2020 2 4 13 例如 考虑30年期的贴现率函数 可以用三次多项式分段拟合如下 其中 函数必须满足以下的7个约束条件 2020 2 4 14 从而 我们可以将互相独立的参数缩减到5个 2020 2 4 15 指数样条法 指数样条函数是VasicekandFong 1982 提出的 与在多项式样条函数部分所述的原因相同 也采用三阶指数形式样条函数 其形式为 模型中 除了u也是一个参数 并且有明显的经济含义 VasicekandFong 1982 证明了如下等式 即 u可以被认为是当前的起息日为未来无限远时的瞬间远期利率 2020 2 4 16 同样 指数样条法也必须满足如下约束条件 其中 的一阶导数和二阶导数 选择样条函数的分段数量和取样条分界点在指数样条法中也同样十分重要 其方法可以参见多项式样条法 并且 指数样条模型也容易导致远期利率曲线不稳定 不同于多项式样条法的是 其参数估计必须采用非线性最优化 2020 2 4 17 Nelson Siegel模型及其扩展形式 Nelson Siegel模型可以由一个公式来说明 该公式的形式与那些描述动态利率的普通微分方程的解的表达式十分类似 该公式为 其中 表示即期计算的 在未来时间时发生的瞬间远期利率 均为待估参数 利用 可以得到 2020 2 4 18 这就是Nelson Siegel模型的基本表达形式 当固定时 通过的不同组合 利用这个模型 可以推出四种不同形状的零息票债券收益曲线 递增 递减 水平和倒置 但是 这个模型无法推导出形状更为复杂的收益曲线 例如V形收益曲线和驼峰收益曲线 为了克服上述缺点 Svensson 1994 将上述模型扩展如下 于是 可以得到 2020 2 4 19 2020 2 4 20 动态利率期限结构模型 动态利率期限模型包括均衡模型和套利模型 均衡模型是一种由均衡分析方法得出的模型 它从假设一些经济变量开始 推出短期无风险利率的一个过程 然后寻找该过程对债券价格和期权价格的含义 均衡模型利用以下三步来为利率或有要求权定价 利用已建立好的因子模型来推导出理论零息票债券收益率曲线 利用参考债券的市场价格来校准模型并推出模型的参数值 最后 利用已确定的参数来为金融衍生品定价 套利模型由无套利分析方法得出 它是利用市场上的价格信息来推导出利率随机微分方程的形式的 2020 2 4 21 均衡模型 根据状态变量集中随机变量的个数 可以将利率期限结构模型区分为单因素和两 多 因素模型两大类 2020 2 4 22 一般单因素模型 2020 2 4 23 对取不同的形式 得到了不同的模型 其一般形式如下 表21 1单因素模型总结 2020 2 4 24 Vasicek模型 假设短期利率的历史数据服从Ornstein Uhlenbeck过程 即 在风险中性测度Q条件下 得到利率变化的过程为 其中 2020 2 4 25 通过求解偏微分方程或鞅方法 可以推导出在时间T到期的贴现债券在时间t的价格为 其中 于是 根据公式 可以推导出起息时间为t 剩余到期期限为的贴现债券的利率 从而得出时间t的收益率曲线 2020 2 4 26 2020 2 4 27 贴现债券利率的波动率由下式给出 2020 2 4 28 CIR模型 CIR模型假设短期利率的风险中性过程为 于是 贴现债券价格可以表示为 其中 2020 2 4 29 贴现债券利率的波动率由下式给出 2020 2 4 30 套利模型 在套利模型中 假设在时间T到期的贴现债券在时间t的价格的相对变化满足如下Ito过程 其中 为贴现债券价格在时间t的预期瞬间收益 为贴现债券价格在时间t的瞬时波动 W为标准布朗运动 将方程 21 28 在等价鞅测度下写成如下形式 其中 为在另一个概率测度下的标准布朗运动 2020 2 4 31 根据Ito引例解上面随机微分方程 stochasticdifferentialequation 得到 可以从方程中消除短期利率 过程如下 首先 利用条件 得到 上面两式相除 得 上式表明 债券的价格仅取决于当前的期限结构以及波动性结构 2020 2 4 32 根据 21 32 式 还可以推出到期期限为T的贴现债券在时间t的利率 以及在时间t计算的 起息日为时间T的瞬时远期利率 由 可以推得 其中 为瞬间远期利率的波动 它满足 由 21 36 式 还可以得到 2020 2 4 33 图21 3重组树 图21 4非重组树 2020 2 4 34 离散时间形式的Ho Lee模型 基本假设HoandLee 1986 假定市场满足离散状态时间框架下的标准完全资本市场假设 市场无摩擦 即 无税收 无交易成本 所有的证券都完全可分 市场在离散时间点出清 市场完全 即 对任意期限n 存在贴现债券 对任意的时间点n 存在有限个状态 2020 2 4 35 二项式过程 HoandLee 1986 假定利率期限结构移动遵循二项式过程随时间变化 即 其中 定义为在第i种状态下 剩余到期期限为T的贴现债券在时间n的均衡价格 当利率上升时 该价值向运动 当利率下降时 该价值向运动 2020 2 4 36 干扰函数 定义干扰函数和如下 如果利率下降 则债券的价值向上移动到 如果利率上升 那么债券的价值向下移动到 其中 2020 2 4 37 风险中性概率 无套利条件对每个结点 n i 给出了其扰动函数的约束 其中 n i 0 与到期期限T 初始贴现债券价格无关 但可能与时间n 状态i有关 称为隐含二项式概率 根据干扰函数的定义 上式可写为 2020 2 4 38 隐含二项式概率为CoxRossandRubinstein 1979 模型中的风险中性概率 RiskNeutralProbability 于是 其中 2020 2 4 39 对重组树的要求 在定义了干扰函数之后 就可以用公式来明确对重组树的要求了 图21 6利率期限结构的二项式过程 2 2020 2 4 40 当状态先上移后下移时 有 又因为 故有 2020 2 4 41 当状态先下移后上移时 同样可以得到 比较 21 42 式和 21 43 式 得 又由于 故有 2020 2 4 42 上式可简化为一个一阶线性差分方程 其中 于是 和均为常数 求解上述一阶线性差分方程 得 故 2020 2 4 43 为风险中性概率 由 21 48 式 可以推导出 2020 2 4 44 利率期限结构 在第i种状态下剩余到期期限为T的贴现债券的时间n的价格用初始利率期限结构表示如下 将 21 46 式和 21 47 式代入上式 得 特别的 当T 1时 债券价格为 2020 2 4 45 于是 短期利率为 设隐含二项概率为q 则是关于i的一个二项分布 均值为 方差为 2020 2 4 46 连续时间形式的Ho Lee模型 连续时间形式的Ho Lee模型实际上是单因素HJM模型的一个特例 它假设为瞬间远期利率的波动与t和T无关 即 于是 短期利率由下式给出 贴现债券价格由下式给出 2020 2 4 47 贴现债券利率由下式给出 瞬时远期利率由下式给出 贴现债券的波动方程由下式给出 贴现债券利率的波动方程由下式给出 2020 2 4 48 模型的另一种表达 Ho Lee模型的连续时间等价形式为 在风险中性测度条件下 上式可以写成 从而有 2020 2 4 49 由于近似等于 这说明 短期利率未来运动的平均方向近似等于瞬时远期利率曲线的斜率 于是