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含字母系数的一元二次方程常见错解剖析河北省滦平县第二中学（068250）许志儒一元二次方程是初中代数的重要内容，然而很多同学由于受思维定势的影响，往往会忽视含有字母系数的一元二次方程中的隐含条件，致使解答陷入误区。具体表现主要有以下几方面：一、忽视二次项系数导致字母系数取值范围扩大 例1. 已知关于x的一元二次方程有实根，求a的取值范围。错解：因为方程有实根，所以0即解得剖析：由一元二次方程的定义知：。而上述解题过程恰恰忽略了这一点，正确解法应为： 依题意得： 解得且（注：例1等价于：已知关于x的方程有两个实数根，求a的取值范围）二、忽视0导致错解 例2. 已知：是方程的两实根，求的最大值。错解：由根与系数的关系得：所以 所以当时，有最大值19。剖析：当时，原方程变为，此时0，方程无实根！错因是忽略了0这一重要前提，由于方程有两实根，故0，即：解得所以当时，有最大值18。三、忽视“方程有实根”的含义，导致字母系数取值范围缩小 例3. 已知关于x的方程，当k为何值时，方程有实数根？错解：因为方程有实数根，所以0 即解得，又因为所以且剖析：“方程有实根”在此题中应理解为：方程有一个实数根或有二个实数根，故此题应分一元一次方程与一元二次方程两种情况讨论。（1）当k0时，原方程变为一元一次方程，其实根为，故k可取0。（2）当时，原方程为一元二次方程，须满足0，即且，综合（1）、（2）知：。四、忽视对一元二次方程两根的具体分析导致字母系数取值范围扩大 例4. 若二次方程的两实根都大于2，则m的取值范围为_。错解：设方程两实根为，则所以依题意得解得剖析：当m0时，原方程为，其根为，显然不合题意，错因在于：由，且得成立；反之，由则不一定有且成立。正解：设方程的两实根为，则依题意得解得 例5. 已知方程的两实根中仅有一根为负数，求a的取值范围。错解：设方程两实根为，因两根中仅有一根为负数，故另一根为0或正数，故有：解得或剖析：当且时有成立；反之当时则不能保证两根中必有一个为负数！正确解法应分两种情况：（1）当时，有即（2）当时，有解得或，综合（1）、（2）知：或五、忽视题目中的隐含条件导致错解 例6. 已知a、b是方程的两个根且a、b是某直角三角形的两条直角边，其斜边长等于1，求k的值。错解：因为a、b是方程的两个根所以又由已知得：所以即解得剖析：由于a，b既是方程的两根，又是直角三角形的两直角边，所以，从而，当时 ，故 不合题意，舍去。当 时，故k的值为。注：通过以上几例错解剖析，提醒同学们在掌握一元二次方程有关基本知识、基本技能和基本解题思路的同时，要注意挖掘题目中的隐含条件，并对所解答案进行分析，并判断其合理性，学会数学反思，同时要注重分类讨论思想在解题中的合理运用。（初三）年级初中学科数学版本期数内容标题含字母系数的一元二次方程常见错解剖析分类索引号G.622.4
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