高考数学 6.7 数学归纳法课件.ppt

第七节数学归纳法 知识梳理 1 必会知识教材回扣填一填数学归纳法的定义及框图表示 1 定义 证明一个与正整数n有关的命题 可按下列步骤进行 归纳奠基 证明当n取 时命题成立 归纳递推 假设n k k n0 k n 时命题成立 证明当 时命题也成立 只要完成这两个步骤 就可以断定命题对从n0开始的所有正整数n都成立 第一个值n0 n0 n n k 1 2 框图表示 2 必用技法核心总结看一看 1 常用方法 比较法 综合法 分析法 放缩法 2 数学思想 归纳 递推思想 3 记忆口诀 数学归纳法记忆口诀 证明步骤程序化 首先验证再假定 从k向着k 1 推论过程须详尽 归纳原理来肯定 小题快练 1 思考辨析静心思考判一判 1 用数学归纳法证明问题时 第一步是验证当n 1时结论成立 2 所有与正整数有关的数学命题都必须用数学归纳法证明 3 不论是等式还是不等式 用数学归纳法证明时 由n k到n k 1时 项数都增加了一项 4 用数学归纳法证明等式 1 2 22 2n 2 2n 3 1 验证n 1时 左边式子应为1 2 22 23 解析 1 错误 用数学归纳法证明问题时 第一步是验证当n为初始值时结论成立 不一定是n 1 2 错误 不一定所有与正整数有关的数学命题都必须用数学归纳法证明 3 错误 不论是等式还是不等式 用数学归纳法证明时 由n k到n k 1时 项数的增加根据题目而定 4 正确 用数学归纳法证明等式 1 2 22 2n 2 2n 3 1 验证n 1时 左边式子应为1 2 22 23是正确的 答案 1 2 3 4 2 教材改编链接教材练一练 1 选修2 2p99习题b组t1改编 在应用数学归纳法证明凸n边形的对角线为n n 3 条时 第一步检验n等于 a 1b 2c 3d 4 解析 选c 三角形是边数最少的凸多边形 故第一步应检验n 3 2 选修2 2p96习题2 3a组t1 3 改编 用数学归纳法证明 1 2 22 2n 1 2n 1 n n 的过程中 第二步n k时等式成立 则当n k 1时 应得到 a 1 2 22 2k 2 2k 1 2k 1 1b 1 2 22 2k 2k 1 2k 1 2k 1c 1 2 22 2k 1 2k 1 2k 1 1d 1 2 22 2k 1 2k 2k 1 1 解析 选d 由条件知 左边从20 21到2n 1都是连续的 因此当n k 1时 左边应为1 2 22 2k 1 2k 而右边应为2k 1 1 3 真题小试感悟考题试一试 1 2015 天津模拟 用数学归纳法证明1 2 3 n3 则当n k 1时 左端应在n k的基础上加上 a k3 1b k 1 3c d k3 1 k3 2 k3 3 k 1 3 解析 选d 当n k时 等式左端 1 2 k3 当n k 1时 等式左端 1 2 k3 k3 1 k3 2 k3 3 k 1 3 故选d 2 2015 黄山模拟 已知n为正偶数 用数学归纳法证明时 若已假设n k k 2且k为偶数 时命题为真 则还需要用归纳假设再证 a n k 1时等式成立b n k 2时等式成立c n 2k 2时等式成立d n 2 k 2 时等式成立 解析 选b k为偶数 则k 2为偶数 故选b 考点1用数学归纳法证明等式 典例1 2015 银川模拟 求证 12 22 32 42 2n 1 2 2n 2 n 2n 1 n n 解题提示 根据数学归纳法证明等式的步骤进行证明 规范解答 当n 1时 左边 12 22 3 右边 3 等式成立 假设n k k 1 k n 时 等式成立 即12 22 32 42 2k 1 2 2k 2 k 2k 1 当n k 1时 12 22 32 42 2k 1 2 2k 2 2k 1 2 2k 2 2 k 2k 1 2k 1 2 2k 2 2 k 2k 1 4k 3 2k2 5k 3 k 1 2 k 1 1 所以n k 1时 等式也成立 由 得 等式对任何n n 都成立 互动探究 若把本例中等式改为 1 n2 12 2 n2 22 n n2 n2 n2 n 1 n 1 试用数学归纳法证明 证明 1 当n 1时 左边 1 12 12 0 右边 12 0 2 0 所以左边 右边 n 1时等式成立 2 假设n k k 1 k n 时等式成立 即1 k2 12 2 k2 22 k k2 k2 k2 k 1 k 1 所以当n k 1时 左边 1 k 1 2 12 2 k 1 2 22 k k 1 2 k2 k 1 k 1 2 k 1 2 1 k2 12 2 k2 22 k k2 k2 1 2k 1 2 2k 1 k 2k 1 k2 k 1 k 1 2k 1 k k 1 k k 1 2 2k 1 k k 1 k2 3k 2 k 1 2k k 2 即n k 1时等式成立 根据 1 与 2 可知等式对n n 都成立 规律方法 数学归纳法证明等式的思路和注意点 1 思路 用数学归纳法证明等式问题 要 先看项 弄清等式两边的构成规律 等式两边各有多少项 初始值n0是多少 2 注意点 由n k时等式成立 推出n k 1时等式成立 一要找出等式两边的变化 差异 明确变形目标 二要充分利用归纳假设 进行合理变形 正确写出证明过程 不利用归纳假设的证明 就不是数学归纳法 变式训练 求证 n 1 n 2 n n 2n 1 3 5 2n 1 n n 证明 1 当n 1时 等式左边 2 右边 21 1 2 所以等式成立 2 假设当n k k n 时 等式成立 即 k 1 k 2 k k 2k 1 3 5 2k 1 当n k 1时 左边 k 2 k 3 2k 2k 1 2k 2 2 k 1 k 2 k 3 k k 2k 1 2 2k 1 3 5 2k 1 2k 1 2k 1 1 3 5 2k 1 2k 1 这就是说当n k 1时 等式成立 根据 1 2 知 对n n 原等式成立 加固训练 用数学归纳法证明 对任意的n n 证明 1 当n 1时 左边 右边 左边 右边 等式成立 2 假设当n k k n 且k 1 时等式成立 即有所以当n k 1时 等式也成立 由 1 2 可知 对一切n n 等式都成立 考点2用数学归纳法证明不等式 典例2 2015 哈尔滨模拟 等比数列 an 的前n项和为sn 已知任意的n n 点 n sn 均在函数y bx r b 0且b 1 b r均为常数 的图象上 1 求r的值 2 当b 2时 记bn 2log2an 1 n n 证明 对任意的n n 不等式 解题提示 1 由等比数列的定义及前n项和与通项的关系求r的值 2 与自然数有关的命题可用数学归纳法求解 规范解答 1 由题意 sn bn r 当n 2时 sn 1 bn 1 r 所以an sn sn 1 bn 1 b 1 由于b 0且b 1 所以n 2时 an 是以b为公比的等比数列 又a1 b r a2 b b 1 b 即 b 解得r 1 2 由 1 知an 2n 1 因此bn 2n n n 所证不等式为 当n 1时 左式 右式 左式 右式 所以结论成立 假设n k时结论成立 要证当n k 1时结论成立 只需证即证由基本不等式故成立 所以 当n k 1时 结论成立 由 可知 n n 时 不等式 一题多解 本题 2 还可如下证明 由 1 知an 2n 1 bn 2log2an 1 2n 规律方法 数学归纳法证明不等式的适用范围及关键 1 适用范围 当遇到与正整数n有关的不等式证明时 若用其他办法不容易证 则可考虑应用数学归纳法 2 关键 由n k时命题成立证n k 1时命题也成立 在归纳假设使用后可运用比较法 综合法 分析法 放缩法等来加以证明 充分应用基本不等式 不等式的性质等放缩技巧 使问题得以简化 变式训练 2015 延吉模拟 用数学归纳法证明 n n n 2 证明 1 当n 2时 命题成立 2 假设n k k 2 k n 时命题成立 即1 当n k 1时 1 命题成立 由 1 2 知原不等式在n n n 2时均成立 加固训练 求证 当n 1 n n 时 1 2 n 解析 1 当n 1时 左边 右边 命题成立 当n 2时 左边 1 2 命题成立 2 假设当n k k 2 k n 时命题成立 即 1 2 k 则当n k 1时 有左边 1 2 k k 1 1 2 k 1 1 2 k k 1 1 1 k2 1 k 1 1 因为当k 2时 1 1 所以左边 k2 1 k 1 k2 2k 1 k 1 2 这就是说当n k 1时 命题成立 由 1 2 可知当n 1 n n 时原命题成立 考点3归纳 猜想 证明知 考情通过近三年的高考试题分析 观察 归纳 猜想 证明 的思维模式成为高考命题的热点之一 从考查题型看 数学归纳法常与数列 函数等知识结合在一起考查 常以解答题的形式出现 具有一定的综合性和难度 属于中高档题 明 角度命题角度1 与函数有关的证明 典例3 已知函数f x x3 g x x 1 求函数h x f x g x 的零点个数 并说明理由 2 设数列 an n n 满足a1 a a 0 f an 1 g an 证明 存在常数m 使得对于任意的n n 都有an m 解题提示 首先利用函数的性质和零点的确定方法确定零点 再利用归纳猜想得到an x0 x0为h x 的正零点 和an a 并用数学归纳法证明 规范解答 1 由h x x3 x 知 x 0 而h 0 0 且h 1 10 则x 0为h x 的一个零点 且h x 在 1 2 内有零点 因此 h x 至少有两个零点 由h x x x2 1 记 x x2 1 则 x 2x 当x 0 时 x 0 从而 x 在 0 上单调递增 则 x 在 0 内至多只有一个零点 因此h x 在 0 内也至多只有一个零点 综上所述 h x 有且只有两个零点 2 记h x 的正零点为x0 即当a x0时 由a1 a 即a1 x0 而因此a2 x0 由此猜测 an x0 下面用数学归纳法证明 当n 1时 a1 x0显然成立 假设当n k k 1 k n 时 ak x0成立 则当n k 1时 由ak 1 x0 因此 当n k 1时 ak 1 x0成立 故对任意的n n an x0成立 当a x0时 由 1 知 h x 在 x0 上单调递增 则h a h x0 0 即a3 a 从而即a2 a 由此猜测 an a 下面用数学归纳法证明 当n 1时 a1 a显然成立 假设当n k k 1 k n 时 ak a成立 则当n k 1时 由ak 1 a 因此 当n k 1时 ak 1 a成立 故对任意的n n an a成立 综上所述 存在常数m max x0 a 使得对于任意的n n 都有an m 易错警示 解答本题有三点容易出错 1 在第一问中求函数零点的个数时 很容易出现判断不对 2 在 2 中的猜想很多学生不会变形找不到猜想的结论 3 在利用数学归纳法证明n k 1时 很容易忘记用归纳假设 而导致证明错误 命题角度2 与数列有关的问题 典例4 2014 广东高考 设数列an的前n项和为sn 满足sn 2nan 1 3n2 4n n n 且s3 15 1 求a1 a2 a3的值 2 求数列 an 的通项公式 解题提示 1 取n 1 n 2 结合s3 15列方程组求a1 a2 a3 2 利用an sn sn 1 n 2 先猜出an 再用数学归纳法给出证明 规范解答 1 由已知得解得a1 3 a2 5 a3 7 2 猜测an 2n 1 由sn 2nan 1 3n2 4n得sn 1 2 n 1 an 3 n 1 2 4 n 1 n 2 当n 2时 an sn sn 1 所以两式相减 整理得an 2nan 1 2 n 1 an 6n 1 an 1 建立an与an 1的递推关系 n n 因为当n 1时 a1 3 假设ak 2k 1成立 那么n k 1时 综上对于n n 有an 2n 1 所以数列 an 的通项公式为an 2n 1 悟 技法1 归纳 猜想 证明 的一般步骤 1 计算 根据条件 计算若干项 2 归纳猜想 通过观察 分析 综合 联想 猜想出一般结论 3 证明 用数学归纳法证明 2 与 归纳 猜想 证明 相关的常用题型的处理策略 1 与函数有关的证明 由已知条件验证前几个特殊值正确得出猜想 充分利用已知条件并用数学归纳法证明 2 与数列有关的证明 利用已知条件 当直接证明遇阻时 可考虑应用数学归纳法 通 一类1 2015 昆明模拟 设n为正整数 f n 1 经计算得f 2 f 4 2 f 8 f 16 3 f 32 观察上述结果 可推测出一般结论 解析 选c f 2 f 4 f 22 f 8 f 23 f 16 f 24 f 32 f 25 由此可推知f 2n 故选c 2 2015 济宁模拟 在数列 an 中 a1 且sn n 2n 1 an 通过求a2 a3 a4 猜想an的表达式为 解析 选c 由a1 sn n 2n 1 an 求得a2 3 2014 重庆高考 设a1 1 an 1 b n n 1 若b 1 求a2 a3及数列an的通项公式 2 若b 1 问 是否存在实数c使得a2n c a2n 1对所有n n 成立 证明你的结论 解析 1 方法一 a2 2 a3 1 再由题设条件知 an 1 1 2 an 1 2 1 从而 an 1 2 是首项为0 公差为1的等差数列 故 an 1 2 n 1 即an 1 n n 方法二 a2 2 a3 1 可写为因此猜想an 1 下面用数学归纳法证明上式 当n 1时结论显然成立 假设n k k 1 k n 时结论成立 即ak 1 则ak 1 这就是说 当n k 1时结论成立 所以an 1 n n 2 设f x 则an 1 f an 令c f c 即c 解得c 下面用数学归纳法证明命题a2n c a2n 1 1 当n 1时 a2 f 1 0 a3 f 2 1 所以a2 a3 1 结论成立 假设n k时结论成立 即a2kf a2k 1 f 1 a2 即1