高考数学一轮总复习 第六篇 第5讲 数列的综合应用课件 理 湘教版.ppt

第5讲数列的综合应用 2014年高考会这样考 结合函数 不等式 方程 几何等知识 综合考查数列和式的相关性质 如和式的最值 单调性 不等关系式的证明等 考点梳理 解决等差数列与等比数列的综合问题 关键是理清两个数列的关系 如果同一数列中部分项成等差数列 部分项成等比数列 要把成等差数列或等比数列的项抽出来 研究这些项与序号之间的关系 如果两个数列通过运算综合在一起 要从分析运算入手 把两个数列分割开 弄清两个数列各自的特征 再进行求解 1 等差 等比数列的综合 1 现实生活中涉及银行利率 存款利息 企业股金 产品利润 人口增长 产值产量等问题 常常考虑用数列的知识去解决 2 利息 本金 利率 存期 如果涉及复利问题 常用等比数列模型解决 涉及分期付款问题时 由于一般采用复利计算利息的办法 所以也要借助等比数列模型解决 3 一般地 涉及递增率要用等比数列 涉及依次增加或者减少要用等差数列 有的问题是通过转化得到等差数列或等比数列的 在解决问题时要往这些方面去联系 4 在实际问题中建立数列模型时 一般有两种途径 一是从特例入手 归纳猜想 推广到一般结论 二是从一般入手 找到递推关系 再进行求解 2 等差 等比数列的实际应用 1 数列是自变量为正整数的一类函数 数列的通项公式相当于函数的解析式 我们可以用函数的观点来研究数列 例如要研究数列的单调性 周期性 可以通过研究其通项公式所对应函数的单调性 周期性来实现 但要注意数列与函数的不同 数列只能看作是自变量为正整数的一类函数 在解决问题时要注意这一特殊性 3 等差 等比数列与其他知识的综合 两点提醒 1 对等差 等比数列的概念 性质要有深刻的理解 有些数列题目条件已指明是等差 或等比 数列 但有的数列并没有指明 可以通过分析 转化为等差数列或等比数列 然后应用等差 等比数列的相关知识解决问题 2 等差数列和等比数列是两种最基本 最常见的数列 它们是研究数列性质的基础 它们与函数 方程 不等式 三角等内容有着广泛的联系 等差数列和等比数列在实际生活中也有着广泛的应用 随着高考对能力要求的进一步增加 这一部分内容也将受到越来越多的关注 助学 微博 a 4b 6c 8d 10解析由题意知 a a1a4 则 a2 2 2 a2 2 a2 4 解得 a2 6 答案b 考点自测 1 已知等差数列 an 的公差为2 若a1 a3 a4成等比数列 则a2的值为 答案d 2 若互不相等的实数a b c成等差数列 c a b成等比数列 且a 3b c 10 则a a 4b 2c 2d 4 a 25b 50c 75d 100解析由数列通项可知 当1 n 25 n n 时 an 0 当26 n 50 n n 时 an 0 因为a1 a26 0 a2 a27 0 所以s1 s2 s50都是正数 当51 n 100 n n 时 同理s51 s52 s100也都是正数 所以正数的个数是100 答案d 4 2011 江苏 设1 a1 a2 a7 其中a1 a3 a5 a7成公比为q的等比数列 a2 a4 a6成公差为1的等差数列 则q的最小值是 解析设年初的产量为a 则一月底为a 1 p 二月底为a 1 p 2 12月底为a 1 p 12 设年增长率为x 则一年底为a 1 x 所以a 1 x a 1 p 12 解得 x 1 p 12 1 答案 1 p 12 1 5 课本改编题 如果某种产品的产量月增长率为p 则年增长率为 例1 已知等差数列 an 的首项a1 2 公差d 0 且第1项 第3项 第11项分别是等比数列 bn 的前3项 1 求数列 an 与 bn 的通项公式 考向一等差 等比数列的综合应用 审题视点 1 由题设列出关于a1与d的方程 求d 再求q 2 写出n 2时 数列 cn 满足的等式 两式相减可求cn 对于等差 等比数列的综合问题 应重点分析等差 等比数列的通项 前n项和 以及等差 等比数列项之间的关系 往往用到转化与化归的思想方法 训练1 成等差数列的三个正数的和等于15 并且这三个数分别加上2 5 13后成为等比数列 bn 中的b3 b4 b5 1 求数列 bn 的通项公式 1 求数列 an 的通项公式 2 判断数列 an 的单调性 审题视点 1 将an看成一个未知数 解方程即可求出an 2 通过比较an和an 1的大小来判断数列 an 的单调性 考向二数列与函数的综合利用 例2 已知函数f x log2x logx2 0 x 1 数列 an 满足f 2an 2n n n 本题融数列 方程 函数单调性等知识为一体 结构巧妙 形式新颖 着重考查逻辑分析能力 训练2 2013 临沂联考 在数列 an 中 a1 1 且点 an an 1 在函数f x x 2的图象上 n n 1 证明数列 an 是等差数列 并求数列 an 的通项公式 1 求数列 an 的通项公式 2 设bn 1 an 2 a 1 an 若bn 1 bn对任意n n 恒成立 求实数a的取值范围 审题视点 1 利用an与sn之间关系求an 2 利用函数的单调性或分离参数求解 考向三数列与不等式的综合应用 1 以数列为背景的不等式恒成立问题 多与数列求和相联系 最后利用函数的单调性求解 2 以数列为背景的不等式证明问题 多与数列求和有关 有时利用放缩法证明 训练3 2013 湖州质量检测 已知等比数列 an 满足2a1 a3 3a2 且a3 2是a2 a4的等差中项 1 求数列 an 的通项公式 命题研究 通过近三年的高考试题分析 数列试题在高考中的位置逐步前移 考查难度也逐步降低 因此对数列应用题的考查也有所降低 数列应用题多以现实生活中的 增长率 贷款 等问题为背景命题 考查数列的通项 前n项和等知识 规范解答11 破解数列的实际应用问题 真题探究 本小题满分13分 2012 湖南 某公司一下属企业从事某种高科技产品的生产 该企业第一年年初有资金2000万元 将其投入生产 到当年年底资金增长了50 预计以后每年资金年增长率与第一年的相同 公司要求企业从第一年开始 每年年底上缴资金d万元 并将剩余资金全部投入下一年生产 设第n年年底企业上缴资金后的剩余资金为an万元 1 用d表示a1 a2 并写出an 1与an的关系式 2 若公司希望经过m m 3 年使企业的剩余资金为4000万元 试确定企业每年上缴资金d的值 用m表示 教你审题 第1步建立数学模型 求出a1 a2的值 第2步总结规律 写出an 1与an的关系式 第3步求an与d的函数关系式 第4步代入已知an 4000 求d 规范解答 1 由题意 阅卷老师手记 本题考查利用数列知识解决实际应用题 考查数学建模的能力和运算能力 难度偏大 考生在本题出现的错误主要有 1 对题理解不透 an 1与an的关系式求错 2 第 2 问计算出错 求解数列实际应用问题的一般步骤如下 第一步 建模 首先要认真审题 理解实际背景 理清数学关系 把应用问题抽象为数学中的数列问题 第二步 解模 利用所学的数列知识 解决数列模型中的相关问题 第三步 释模 把已解决的数列模型中的问题返回实际中去 与实际问题相对应 确定问题的结果 试一试 某家庭计划年初向银行贷款10万元用于买房 他们选择10年期贷款 偿还贷款的方式为 分10次等额归还 每年一次 并从借后次年年初开始归还 若10年期贷款的