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第三节函数的奇偶性与周期性 总纲目录 教材研读 1 函数的奇偶性 考点突破 2 奇 偶 函数的性质 3 周期性 考点二函数周期性的判断与应用 考点一函数奇偶性 考点三函数性质的综合问题 1 函数的奇偶性 教材研读 2 奇 偶 函数的性质 1 奇 偶 函数的定义域关于原点对称 2 奇函数在关于原点对称的区间上的单调性 相同 偶函数在关于原点对称的区间上的单调性 相反 3 在公共定义域内 i 两个奇函数的和是 奇函数 两个奇函数的积是 偶函数 ii 两个偶函数的和 积都是 偶函数 iii 一个奇函数 一个偶函数的积是 奇函数 4 若函数f x 是奇函数且在x 0处有定义 则f 0 0 与函数奇偶性有关的结论 1 如果函数f x 是偶函数 那么f x f x 2 既是奇函数又是偶函数的函数只有一种类型 即f x 0 x d 其中定义域d是关于原点对称的非空数集 3 偶函数在关于原点对称的区间上有相同的最大 小 值 取最值时的自变量互为相反数 奇函数在关于原点对称的区间上的最值互为相反数 取最值时的自变量也互为相反数 3 周期性 1 周期函数 对于函数y f x 如果存在一个非零常数t 使得当x取定义域内的任何值时 都有f x t f x 那么就称函数y f x 为周期函数 称t为这个函数的周期 2 最小正周期 如果在周期函数f x 的所有周期中存在一个最小的正数 那么这个最小正数就叫做f x 的最小正周期 有关周期函数的几个常用结论周期函数y f x 满足 1 若f x a f x a 则函数的周期为2 a 2 若f x a f x 则函数的周期为2 a 3 若f x a 则函数的周期为2 a 4 若f x a 则函数的周期为2 a 5 若函数f x 的图象关于直线x a与x b对称 则函数f x 的周期为2 b a 6 若函数f x 的图象既关于点 a 0 对称 又关于点 b 0 对称 则函数f x 的周期是2 b a 7 若函数f x 的图象既关于直线x a对称 又关于点 b 0 对称 则函数f x 的周期是4 b a 8 若函数f x 是偶函数 其图象关于直线x a对称 则其周期为2 a 9 若函数f x 是奇函数 其图象关于直线x a对称 则其周期为4 a 1 2018北京东城期末 下列函数中为偶函数的是 a y x 2 2b y lnx c y x cosxd y e x 答案d偶函数需具备 定义域关于原点对称 满足f x f x 只有d项符合 故选d d 2 2017北京朝阳期中 下列四个函数中 在其定义域上既是奇函数又是单调递增函数的是 a y x 1b y tanxc y x3d y 答案ca y x 1是非奇非偶函数 不符合题意 b y tanx是奇函数 但在定义域上不是单调函数 不符合题意 c y x3是奇函数 在定义域上为增函数 符合题意 d y 是奇函数 在定义域上不是单调函数 不符合题意 故选c c 3 2016北京东城二模 已知函数g x f x x是偶函数 且f 3 4 则f 3 a 4b 2c 0d 4 答案b g x f x x是偶函数 g x g x b g 3 f 3 3 4 3 1 g 3 f 3 3 1 f 3 2 4 2018北京海淀期中 已知函数f x 是定义在r上的周期为2的奇函数 当0 x 1时 f x 则f f 0 答案 2 解析 函数f x 是定义在r上的奇函数 f 0 0 f f 函数f x 的周期为2 f f 2 f f 0 2 2 5 若函数f x ax2 bx 3a b是偶函数 定义域为 a 1 2a 则a b 答案 0 解析因为偶函数的定义域关于原点对称 所以a 1 2a 解得a 由函数f x x2 bx b 1为偶函数 结合偶函数图象的特点 图略 易得b 0 6 2015北京东城一模 已知函数f x 是定义在r上的奇函数 当x0时 f x 的解析式为 不等式f x 0的解集为 答案f x x2 4 2 0 2 解析当x 0时 x 0 f x x2 4 又f x f x f x x2 4 当x0时 f x x2 42 x 2 不等式f x 0的解集为 2 0 2 考点一函数奇偶性命题角度一函数奇偶性的判断 考点突破 典例1 1 2017北京西城期末 下列函数中 定义域为r的奇函数是 a y x2 1b y tanxc y 2xd y x sinx 2 2017北京石景山一模 下列函数中为偶函数的是 a f x 2x b f x xsinxc f x excosxd f x x2 sinx 答案 1 d 2 b 解析 1 a y x2 1是偶函数 不满足条件 b y tanx是奇函数 但函数的定义域不是r 不满足条件 c y 2x为增函数 为非奇非偶函数 不满足条件 d y x sinx是r上的奇函数 满足条件 故选d 2 四个函数的定义域均为r 对于a 易判断是奇函数 对于b f x x sin x x sinx f x 是偶函数 对于c f x e x cos x e x cosx 既不是奇函数也不是偶函数 对于d f x x 2 sin x x2 sinx 既不是奇函数也不是偶函数 方法技巧判断函数奇偶性的常用方法 1 定义法 首先判断定义域是否关于原点对称 然后判断f x 与f x 的关系 2 图象法 若图象关于原点对称 则函数为奇函数 若图象关于y轴对称 则函数为偶函数 3 性质法 奇 奇 是奇 奇 奇 奇 奇 是偶 偶 偶 是偶 偶 偶 偶 偶 是偶 奇 偶 是奇 奇 偶 是奇 命题角度二函数奇偶性的应用典例2已知函数f x 在区间 0 上是增函数 函数g x f x 若g lgx g 1 则x的取值范围是 a 0 10 b 10 c d 10 d 答案d 解析 g x f x g x f x f x g x g x 为偶函数 又 f x 在 0 上为增函数 g x 在 0 上为减函数 在 0 上为增函数 当 x 越大时 g x 越大 若g lgx g 1 则 lgx 1 lgx 1或lgx10或0 x 故选d 1 1 2018北京海淀期中 下列函数中 既是偶函数又在 0 上单调递增的是 a f x x2b f x 3 xc f x ln x d f x x sinx 1 1 2018北京海淀期中 下列函数中 既是偶函数又在 0 上单调递增的是 a f x x2b f x 3 xc f x ln x d f x x sinx 答案c符合偶函数的只有a c 函数f x x2在 0 上单调递减 故选c c 1 2 2015北京海淀一模 已知函数f x 是奇函数 且当x 0时 f x ex 则f 1 a b c ed e 答案d 函数f x 是奇函数 f 1 f 1 e d 1 3函数f x 1 是r上的奇函数 x1 x2 r x1 x2 f x1 f x2 0 则f 1 x 0的解集是 a 0 b 0 c 2 d 2 答案c由于函数f x 1 是r上的奇函数 故有f x 1 f x 1 令x 0 则有f 1 f 1 于是有f 1 0 x1 x2 r x1 x2 f x1 f x2 1 解得x 2 故选c c 答案 1 d 2 1008 解析 1 因为f x 是周期为3的周期函数 所以f f f 4 2 1 故选d 2 f x 2 f x 函数f x 的周期t 2 又当x 0 2 时 f x 2x x2 所以f 0 0 f 1 1 所以f 0 f 2 f 4 f 2016 0 f 1 f 3 f 5 f 2015 1 故f 0 f 1 f 2 f 2016 1008 规律总结判断函数周期性的几个常用结论若对于函数f x 定义域内的任意一个x都有 1 f x a f x a 0 则函数f x 必为周期函数 2 a 是它的一个周期 2 f x a a 0 f x 0 则函数f x 必为周期函数 2 a 是它的一个周期 3 f x a a 0 f x 0 则函数f x 必为周期函数 2 a 是它的一个周期 2 1已知f x 是定义在r上的偶函数 并且满足f x 2 当2 x 3时 f x x 则f 105 5 答案2 5 解析由f x 2 得f x 4 f x 2 2 f x f x 是以4为周期的周期函数 f 105 5 f 26 4 1 5 f 1 5 f 2 5 4 f 2 5 f x 为偶函数 且当2 x 3时 f x x f 105 5 f 2 5 f 2 5 2 5 2 5 考点三函数性质的综合问题 典例4 2016北京东城 上 期中 定义在r上的函数f x 满足f x f x 对于任意x1 x2 0 0 x2 x1 则 a f 1 f 2 f 3 b f 3 f 1 f 2 c f 2 f 1 f 3 d f 3 f 2 f 1 答案d 解析由f x f x 得f x 为偶函数 所以f 2 f 2 f 1 f 1 对于任意x1 x2 0 0 所以当x 0时 f x 为减函数 所以f 3 f 2 f 1 即f 3 f 2 f 1 故选d d 方法技巧 1 利用函数性质求值的关键是利用函数的奇偶性 对称性以及函数的周期性将自变量转化到指定区间内 然后代入函数解析式求值 2 利用函数性质解不等式问题 主要利用函数的奇偶性与单调性等将函数值的大小关系转化为自变量之间的大小关系求解 3 1 2016广东广州模拟 已知f x 在r上是奇函数 且满足f x 4 f x 当x 0 2 时 f x 2x2 则f 7 a 2b 2c 98d 98 答案a因为f x 4 f x 所以函数f x 的周期为4 所以f 7 f 7 8 f 1 又因为f x 为奇函数 且当x 0 2 时 f x 2
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