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22.2二次函数与一元二次方程（第一学时）宜昌高新区白洋中学 余学军一、教学目标 知识与技能：1、经历探索二次函数与一元二次方程的关系的过程，体会方程与函数之间的关系.2、理解二次函数图象与x轴（横轴）交点的个数与一元二次方程的根的个数之间的关系.过程与方法： 经历类比、发现、归纳的探索过程，体会函数与方程相互转化的数学思想和数形结合的数学思想。情感与态度：培养良好的合作意识，体验探究的乐趣，学会用辨证的观点看问题。二、学情分析 在这之前学生已学过一元二次方程的有关知识，有了对二次函数的初步认识，但没有深刻认识数形结合思想，通过对本节课的学习真正深层次的了解数形结合思想与转化思想，加深对二次函数图象的认识。三、重点难点 重点：经历“类比-观察-发现-归纳”而得出二次函数与一元二次方程的关系的探索过程。难点：准确理解二次函数的图像和某些直线的交点坐标与一元二次方程的根之间的关系。四、教学流程图示复习回顾以旧引新实际问题解读初探数形结合深入探究练习反馈巩固新知形成检测拓展延伸课堂小结评述收获课后作业查缺补遗五、教学过程 【导入】旧知回顾 1、如何求一次函数y=x-2与x轴的交点坐标？2、一次函数y=-3x+3与y=x-2的交点坐标又怎么求？结论：一次函数ykxb的图象与x轴的交点的横坐标就是一元一次方程kxb0的根，两个一次函数图像的交点的横坐标就是联立所得一元一次方程的解。过渡：那么二次函数与一元二次方程的关系又如何呢？设计意图：通过两道练习和学生一起回顾一次函数与一元一次方程的关系，知道联立求交点的数学思想，为本课的教学起到铺垫的作用。【问题一】实际问题，新知初探例、如图以40m/s的速度将小球沿与地面成50角的方向击出时，小球的飞行路线将是一条抛物线。如果不考虑空气阻力，小球的飞行高度h与飞行时间t之间具有函数关系式h=20t 5t。（1）小球的飞行高度能否达到15m？如果能，需要多少飞行时间？（2）小球的飞行高度能否达到20m？如果能，需要多少飞行时间？（3）小球的飞行高度能否达到20.5m？为什么？（4）小球从飞出到落地要用多少时间？列方程解出后，结合示意图设问加深理解：为什么在两个时间球的高度为15m？为什么只在一个时间求得高度为20m？为什么两个时间球的高度为0m？归纳：我们发现，对于二次函数h= 20t5t2中，已知h的值，求时间t？其实就是把函数值h换成常数，求所得一元二次方程的解。解决问题主要看列出的方程是否有合乎实际的解。【自由讨论】（1）已知二次函数y=-x2+4x的值为3，求自变量x的值，可以看作是解哪一个一元二次方程?（2）反过来，解方程 -x2+4x=2（即x2-4x+2=0），又可以看作是已知哪个二次函数的值为几，求自变量x的值。设计意图：由现实中的实际问题入手给学生创设熟悉的问题情境，让学生拥有学有价值数学的成功体验，通过集中引导分析、互动交流，初步探求二次函数与一元二次方程的关系，认识到方程ax2+ bx + c =0 的根就是当二次函数y = ax2+ bx + c的函数值为0时自变量的值，方程ax2+ bx + c =k的根就是当二次函数y = ax2+ bx + c的函数值为k时自变量的值。这里设置的自由讨论的两道小题，旨在初步渗透数形结合的思想方法，是对上述实际问题解决方法的自然延伸。【问题二】深入探究 （1）问题：观察图象，二次函数 y=x+x-2 与直线y=0(x轴)有交点吗？有几个？从图象可以看出交点坐标吗？类比之前复习回顾中的方法，应该怎样求呢？（2）小组合作探究：二次函数y=x2-6x+9和 y=x2-x+1与x轴有公共点吗？如果有，如何求公共点的横坐标？你能指出对应的一元二次方程吗？请看图填表。二次函数与x轴交点横坐标与x轴交点的个数一元二次方程方程根的情况方程的根方程根的个数y=x2+x-2-2，12x2+x-2=00，方程有两个不相等实数根x=-2，x=12y=x2-6x+9y=x2-x+1归纳：1、二次函数y = ax2+ bx + c与x轴交点横坐标即为方程ax2+ bx + c =0 的根。2、抛物线y = ax2+ bx + c与x轴的交点个数由方程ax2+ bx + c =0 的决定。设计意图：在本环节，首先引导学生用类比的方法研究二次函数 y=x2+x-2 与直线y=0(x轴)的交点与方程x2+x-2=0的关系，获得初步的认识和体验，在此基础上，再通过小组合作探究的形式，类比研究另外两个二次函数y=x2-6x+9和 y=x2-x+1图象与x轴交点个数、交点坐标与相应一元二次方程的关系，揭示数与形之间的内在联系，逐步从特殊推向一般，进而归纳出：二次函数y = ax2+ bx + c与x轴交点横坐标即为方程ax2+ bx + c =0 的根。抛物线y = ax2+ bx + c与x轴的交点个数由方程ax2+ bx + c =0 的决定。【练习反馈】巩固新知 第1题1、抢答：看图说话，下列二次函数与直线y=0（x轴）有几个交点？当y=0时相应方程的根的情况（即的情况）如何？2、不画图像，判断下列函数与x轴交点情况：13第3题（1）y =x +4x -5（2）y =x -4x+4（3）y =2x +3x+53、已知二次函数 y = -x2+2x+m的部分图象如图所示，则方程-x2+2x+m=0的解为 ；设计意图：这一环节设计的三道小题用于巩固二次函数与一元二次方程的关系的核心知识点，难度不大，学生较易解答，对于学生练习中出现的错误，老师可及时反馈，点评校正。 【课堂小结】谈谈收获，总结归纳二次函数与一元二次方程的关系当二次函数y=ax2+bx+c中y取定值，求x的值时，二次函数就变为一元二次方程。二次函数与x轴的交点没有交点b2-4ac0b2-4ac=0b2-4ac0一个交点两个交点二次函数y=ax2+bx+c与x轴的交点的横坐标就是一元二次方程ax2+bx+c=0的解设计意图：让学生回顾本节所学知识，总结归纳，老师再进行补充，以便让学生更好的理解所学，应用所学。【课堂检测】形成测试1、方程x-5x +6=0有 个根，它们是 ，所以函数y=x-5x+6 的图象与x轴有 个交点，其交点坐标为 ；2、如图，你能直观地看出哪些方程的根？3、抛物线y=kx2-7x-7的图象与x轴有交点，求k的取值范围？【拓展延伸】4、已知抛物线y=0.5x2-x+3和直线y= -2x+4.5 。（1）它们有几个交点？怎么求交点坐标？（2）若抛物线y=0.5x2-x+3与直线y= -2x+m只有一个公共点，求m的值。设计意图：这里共设置四道小题用于形成性检测和提升训练，通过前三道小题检测学生对本课知识的一般化