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文档简介

1 包络定理 envelopetheorem 包络定理是比较静态研究的有用工具 记最优化问题 这里 a是一个参数 外生变量 x是一向量 我们称 a 为间接目标函数 该最大值问题是在a为某一固定值时寻找适当的x 使得函数f x a 达到最大 显然 若a的数值发生变化时 x 和目标函数的最大值f x a 也会随之而变化 判断a的数值变化时 a f x a a 变化的大小和方向 我们可以使用 由于先得到x a 非常麻烦 我们可以直接使用包络定理 2 包络定理的证明 记对应参数值a的最大值点为x a 假设它关于a可微 则有 由于x a 是上述最大化问题的解 所以一阶条件成立 因此 包络定理得证 不难看出 最小化问题亦然 3 包络定理图示 4 包络定理的一个推论 对于一个具有一般性的最优化问题 x是n维向量 a是m维参数 包络定理可以写为 含义 某参数对目标函数最大值 最大值函数 的影响 等于拉格朗日函数直接对该参数求偏导数 并在最优解处取值 2020 2 5 5 6 包络定理的一个推论 证明 我们构造拉格朗日函数 一阶条件为 如果我们得到最优解 则最大值函数 7 包络定理的一个推论 证明 对于最大值函数 两边关于ai求导 并在最优解处取值 可得 对于约束条件 两边关于ai求导 可得 代入上式 8 包络定理的应用之一 消费者选择理论 对于消费者选择问题 我们容易得到马歇尔需求函数 此时的效用函数值 间接效用函数 构造函数 利用包络定理 可得 罗伊恒等式 Roy sidentity 9 包络定理的应用之二 成本曲线问题 对于短期
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