福建省南平市光泽二中高三数学一轮复习 第二章第四节 指数与指数函数课件 文 新人教A版.pptVIP

第四节 指数与指数函数 一 根式 1 根式的概念 2 根式的性质 负数 相反数 二 有理数指数幂 1 幂的有关概念 1 正分数指数幂 a 0 m n n 且n 1 2 负分数指数幂 a 0 m n n 且n 1 3 0的正分数指数幂等于0 0的负分数指数幂无意义 2 有理数指数幂的运算性质 1 aras ar s a 0 r s q 2 ar s ars a 0 r s q 3 ab r arbr a 0 b 0 r q 三 指数函数的图象与性质 1 n与这两个式子虽然非常接近 但它们的意义不同 注意区别 2 指数函数f x ax a 0且a 1 且有性质 f x y f x f y f 1 a 0 因此满足该性质的函数原型就是指数函数 在解决有关抽象函数问题时 可以借助原型求解 3 指数函数的图象经过点 0 1 在此基础上 可以推出与指数函数有关的一些函数所经过的定点 例如函数y 3x 2 5所经过的定点为 2 6 4 指数函数定义是一个形式定义 如y 2ax就不是指数函数 5 函数y ax a 0且a 1 实质上和函数y ax a 0 且a 1 是同一个函数 而函数y a x a 0 且a 1 则不同于函数y ax a 0 且a 1 它是一个偶函数 图象关于y轴对称 6 口诀 同大异小 可用来比较ax与1的大小 1 教材改编题 下列各式正确的是 a 30 1b 3c 3m 2 9md 2 1 答案 c 2 化简 x 0 y 0 得 a 2x2yb 2xyc 4x2yd 2x2y 解析 16x8y4 2x2y 4 2x2 y 2x2y 答案 d 3 函数f x ax a 0 且a 1 对于任意的实数x y都有 a f xy f x f y b f xy f x f y c f x y f x f y d f x y f x f y 解析 f x y ax y ax ay f x f y 答案 c 4 已知a 30 2 b 0 2 3 c 3 0 2 则a b c的大小关系是 解析 由函数y 3x的单调性知3 0 23 所以b a c 答案 b a c 5 函数f x ax 2011 2011 a 0 且a 1 的图象恒过定点 解析 由于y ax a 0 且a 1 恒过定点 0 1 令x 2011 0 得x 2011 f 2011 a0 2011 2012 故f x 的图象恒过定点 2011 2012 答案 2011 2012 指数幂的求值与化简 思路点拨 指数幂或根式的化简与求值的一般思路 负指数化为正指数 根式化为分数指数幂 小数化为分数 再根据分数指数幂的运算性质运算 变式探究 1 化简下列各式 其中各字母均为正数 方法技巧 1 若题目中的式子既有根式又有分数指数幂 通常先化为分数指数幂 2 结果要求 1 若题目以根式形式给出 则结果用根式表示 2 若题目以分数指数幂的形式给出 则结果用分数指数幂表示 3 结果不能同时含有根号和分数指数幂 也不能既有分母又有负指数幂 3 注意运算的先后顺序 指数函数的图象与性质 1 作出函数的图象 2 由图象指出其单调区间 3 由图象指出 当x取什么值时有最值 解 1 法一 由函数解析式可得 其图象由两部分组成 一部分是将 的图象向 左平移一个单位长度 得 另一部分是由 向左平移一个单位长度 得 如图 从而得出 的图象 的图象向左平移1个单位长度 即可得 的图象 2 由图象知函数在 1 上是增函数 在 1 上是减函数 3 由图象知 当x 1时 无最小值 其值域为 0 1 变式探究 2 若直线y 2a与函数 的图象有两个公共点 则a的取值范围是 解析 数形结合 在同一直角坐标系中 分别作出y 2a与 的图象 从直观上分析 当a 1时 2a 2 易知此时 y 2a与 的图象只有一 个公共点 不合题意 当0 a 1时 如图 先作出 的图象 将 的图象向下平移一个单位长度 得 的图象 再利用绝对值变换 得 的图象 如图 从而当0 2a 1 直线y 2a与函数 y 的图象有两个公共点 方法技巧 抓住指数函数的图象 不仅可以直观准确把握指数函数的性质 而且利用图象的形象直观 使有些问题得到简捷的解法 综合应用 1 判断f x 的奇偶性 2 讨论f x 的单调性 3 当x 1 1 时 f x b恒成立 求b的取值范围 思路点拨 1 用奇偶性定义判断 2 利用单调性定义 或利用导数解决 3 恒成立问题可转化为探求f x 的最小值 解 1 函数的定义域为r 例3 理 已知定义在r上的奇函数f x 有最小正周期2 且x 0 1 时 1 求f x 在 1 1 上的解析式 2 判断f x 在 0 1 上的单调性 并给予证明 思路点拨 第 1 问 只需求出f x 在x 1 0 和x 0 x 1处的解析式即可 结合奇偶性的周期性可完成 第 2 问 令t 2 x 1 t 2 则 在 1 2 上为增函数 从而g t 在 1 2 上 为减函数 即f x 为 0 1 上的减函数 再由单调性定义可证 解 1 当x 1 0 时 x 0 1 f x 为奇函数 3 对于函数 1 求函数的定义域 值域 2 求函数的单调区间 解 1 设t x2 6x 17 由于函数y t t x2 6x 17的定义域是 故所求函数定义域为x r t x2 6x 17 x 3 2 8 8 又y x是减函数 t 8 又y t 0 故函数值域为 0 2 函数t x2 6x 17在 3 上是增函数 即当3 x1 t2 即y1 y2 所以函数y x2 6x 17在 3 上是减函数 同理可知 y x2 6x 17在 3 上是增函数 3 当a 1时 函数y af x 与y f x 的单调性相同 当00 且a 1 是奇函数 例1 2009年山东卷 函数y 的图象大致为 答案 a 例2 设f x 2x 1 c b a 且f c f a f b 则下列关系中一定成立的是 a 2c 2bb 2c 2ac 2c 2a 2d 2c 2a 2 解析 数形结合 先作出f x 2x 1 的图象 如图知f x 在 0 上是减函数 在 0 上是增函数 cf a f b c0 01 由f c f a 即 2c 1 2a 1 1 2c 2a 1 2c 2a 2 故选c 答案 c 类型忽视对参数的分类讨论致误 例 已知指数函数f x ax a 0 且a 1 在区间 1 2 上的最大值与最小值的差为 则a 正解 当01时 函数f x ax在 1 2 上为增函数 最小值为f 1 a 最大值为f 2 a2 从而a2 a 解得a 或a 0 舍去 综上 a 或a 分析 本题在求解过程中极易忽视对底数a的讨论 认为f x min f 1 f x max f 2 由a2 a 求得a 或a 0 舍 认为a 1 因此 当指数函数 或对数函数 的底数含有参数时 一定要先对参数进行讨论 再确定单调性 进而解决有关问题 一 选择题 1 函数f x 的定义域是 a 0 b 0 c 0 d 解析 因1 2x 0 即2x 1 x 0 答案 a 2 设函数f x 若f x 1 则x的取值范围是 a 1 b 2 c 1 2 d 1 2 解析 当x 0时 f x 1 即2 x 1 1 2 x 2 故 x 1 也即x0时 f x 1 即x 1 所以x 2 综上所述x的取值范围 1 2 答案 d 3 函数y 0 a 1 的图象的大致形状是 只有d正确 答案 d 4 设函数f x a x a 0 且a 1 f 2 4 则 a f 2 f 1 b f 1 f 2 c f 1 f 2 d f 2 f 2 解析 f 2 4 a 2 4 a 1 2 a f x x 2 x f 2 22 4 f 1 21 答案 a 5 2010年安徽省巢湖市模拟 定义运算a b 则函数f x 1 2x的图象是 解析 f x 1 2x a项合题意 答案 a 二 填空题 6 下列各等式中 正确的有 写出正确答案的序号 解析 明显错误 中 n是偶数时 正数的n次方根有两个 故 也不正确 答案 7 文 函数y 1 x的值域是 解析 因1 x r 所以 1 x 0 即函数值域为 0 答案 0 理 若函数f x ax x a a 0且a 1 有两个零点 则实数a的取值范围是 解析 设函数y ax a 0且a 1 与函数y x a 则函数y ax x a a 0且a 1 有两个零点 就是函数y ax a 0且a 1 与y x a有两个交点 由图象知当01时 因y ax a 1 图象过 0 1 点 而y x a所过的点一定在 0 1 上方 所以两图象一定有两个交点 即a 1 答案 1 8 设y f x 是定义在实数集r上的函数 满足条件y f x 1 为偶函数 且当x 1时 f x 2x 1 则f f f 的大小关系为 解析 由y f x 1 是偶函数 得f 1 x f 1 x f x f 2 x f x 的图象关于直线x 1对称 f f 2 f 又x 1时 f x 2x 1是增函数 0f f 即f f f 答案 f f f 9 定义区间 x1 x2 x1 x2 的长度为x2 x1 已知函数y 2 x 的定义域为 a b 值域为 1 2 则区间 a b 的长度的最大值与最小值的差为 解析 因y 2 x 是偶函数 当 a b 在函数的单调增区间 0 1 或减函数 1 0 上时 值域为 1 2 这时区间长度最短 当 a b 在函数关于原点对称的区间 1 1 时 值域为 1 2 这时区间长度最长 故长度的最大值与最小值的差为1 答案 1 三 解答题 10 设f x ax b同时满足条件f 0 2和对任意x r都有f x 1 2f x 1成立 1 求f x 的解析式 2 设函数g x 的定义域为 2 2 且在定义域内g x f x 且函数h x 的图象与g x 的图象关于直线y x对称 求h x 3 求函数y g x h x 的值域 解 1 由f 0 2 得b 1 由f x 1 2f x 1 得ax a 2 0 由ax 0得a 2 所以f x 2x 1 2 由题意知 当x 2 2 时 g x f x 2x 1 设点p x y 是函数h x 的图象上任意一点 它关于直线y x对称的点为p y x 依题意点p y x 在函数g x 的图象上 即x 2y 1 所以y log2 x 1 即h x log2 x 1 x 5 3 由已知得 y log2 x 1 2x 1 且两个函数的公共定义域是 2 所以函数y g x h x log2 x 1 2x 1 x 2 由于函数g x 2x 1与h x log2 x 1 在区间 2 上均为增函数 当x 时 y 2 1 当x 2时 y 5 所以函数y g x h x