福建省南平市光泽二中高三数学一轮复习 第四章第二节 同角三角函数的关系式及诱导公式课件 文 新人教A版.ppt

第二节同角三角函数的关系式及诱导公式 一 同角三角函数的基本关系式1 平方关系 sin2 cos2 1 2 商数关系 tan 二 诱导公式1 公式一sin 2k sin cos 2k cos tan 2k tan k z 2 公式二sin sin cos cos tan tan 3 公式三sin sin cos cos tan tan 4 公式四sin sin cos cos tan tan 5 公式五sin cos cos sin 6 公式六sin cos cos sin 1 同角三角函数的基本关系式的理解及应用 1 同角并不拘泥于角的形式 如 1 tan3x都成立 但是sin2 cos2 1就不一定成立 2 公式可以变形为以下形式 sin2 1 cos2 cos2 1 sin2 sin cos tan 4 三角恒等式证明问题要灵活运用公式 比如逆用 变形后用等 已知角 的一个三角函数值 求其他三角函数值时 如果应用平方关系求角的三角函数值 就要进行分类讨论 先确定角的终边所在象限 进一步确定三角函数值的符号 3 同角三角函数基本关系式及其等价形式 对于使等式两边都有意义的角来说都成立 即它们是三角恒等式 4 三角恒等式证明问题要灵活运用公式 比如逆用 变形后用等 已知角 的一个三角函数值 求其他三角函数值时 如果应用平方关系求角的三角函数值 就要进行分类讨论 先确定角的终边所在象限 进一步确定三角函数值的符号 2 诱导公式的记忆及应用 1 2k k z 的三角函数值等于 的同名三角函数值前面加上一个把看 成锐角时原函数的符号 的正弦 余弦 函数值等于 的余弦 正弦 函数值 前面加上一个把 看成锐角时原函数的符号 也可以把公式中的角统一为k k z 为任意角 的形式 概括为 奇变偶不变 符号看象限 2 诱导公式的作用是把任意角的三角函数转化为锐角三角函数 一般步骤为 上述过程体现了化归的思想方法 也说明了用诱导公式求任意角三角函数值的一般步骤 去负 脱周 化锐 1 2009年全国卷 sin585 的值为 解析 sin585 sin 360 225 sin 180 45 答案 a2 已知cos 且 是第四象限的角 则sin 2 a 等于 解析 法一 将所求式子的分子 分母同除以cos 化为tan 的代数式 然后代入求值 4 教材改编题 若cos 且sin 0 则tan 解析 法一 利用同角关系式 cos 0 为第二象限角 法二 运用三角函数的定义 cos 0 的终边在第二象限 取p 3 4 则 5 文 教材改编题 在 abc中 cosa 则sin b c 解析 a b c b c a sin b c sin a sina 给值求值 思路点拨 1 利用诱导公式 将条件化简 再平方可求 sin cos 从而 sin cos 2可求 结合 的范围 可得sin cos 2 先运用诱导公式化简 再因式分解 利用条件及 1 的结论 方法技巧 1 利用平方关系sin2 cos2 1可以实现角 的正弦 余弦的互化 利用可以实现角 的弦 切互化 2 应用公式时注意方程思想的运用 对于sin cos sin cos sin cos 这三个式子 结合平方关系知 可以知一求二 以上三式之间的关系 1 sin cos 2 1 2sin cos 2 sin cos 2 sin cos 2 2 3 sin cos 2 sin cos 2 4sin cos 3 1 的代换 1 sin2 cos2 sin2 cos2 n cos0 sin tan等 n z 4 已知tan m的条件下 求关于sin cos 的齐次式 各项次数相同的多项式叫做 齐次多项式 的问题 基本思路是化 弦 为 切 再代入tan 的值 化简三角函数式 思路点拨 先用诱导公式化简 再把每一个被开方式的分子 分母同乘以分子 或分母 将被开方式化为完全平方数 式 脱去根号 最后再整理即可 方法技巧 1 化简是一种不指定结果的恒等变形 其结果要求 项数尽可能少 次数尽可能低 尽量使根号内或分母中不含三角函数 式 能求值的尽量求值 2 化简前 注意分析角及式子的结构特点 选择恰当的公式和化简顺序 综合应用 思路点拨 先利用诱导公式 将条件化简 再利用平方关系 消去a 或b 得到b 或a 的某一三角函数值 进而求出a b c 思路点拨 锐角三角形abc中 任两角和必大于 这是其隐含的条件 再根据弦函数的单调性及诱导公式 比较sina与cosb cosa与sinc的大小 确定角 所在象限 问题即可获得解决 解析 abc为锐角三角形 a b a c 由a b 两边取正弦 有sina sin b cosb sina cosb 0 同理可得cosa sinc 0 故 是第四象限的角 sin 0 tan 0 y 1 1 1 1 答案 b 变式探究 3 已知 是一个三角形的三个内角 给出下面5个式子 1 sin sin 2 cos cos 3 cos cos 4 tan tan 5 tan tan 其值为常数的式子有 个 解析 依题意 sin sin sin 1 式为常数 cos cos cos 2 式为常数 cos cos 2cos 3 式不是常数 又tan tan tan 4 式不是常数 1 2 5 式为常数 共4个 答案 3 方法技巧 1 在 abc中 应熟悉以下几个常用结论的推导方法 1 若 abc为锐角三角形 则 sina cosb 2 若 abc为直角三角形 c为直角 则 sina cosb 3 若 abc为钝角三角形 c为钝角 则 sina cosb 2 三角形中的诱导公式 3 求角时 一般先求出该角的某一三角函数值 再确定该角的范围 最后求角 例1 2010年全国卷 记cos 80 k 那么tan100 例2 2008年浙江卷 若cos 2sin 则tan 类型忽视隐含条件致误 例 设 是三角形的一个内角 且sin cos 则tan 的值为 出错的主要原因 在于将sin cos 两边平方后 扩大了 的取值范围 导致增根 给值求值问题应注意隐含条件 解析 2012 6 360 148 cos2012 cos 6 360 148 cos 148 cos148 cos 180 32 cos32 sin 90 32 sin58 m 答案 c 5 文 是 tan 2cos 的 a 充分不必要条件b 必要不充分条件c 充要条件d 既不充分也不必要条件 答案 a 理 已知f x asin x bcos x 其中a b 都是非零常数 若f 2009 2009 则f 2012 等于 a 2009b 2012c 2009d 2012解析 f 2009 sin 2009 bcos 2009 asin bcos asin bcos 2009 asin bcos 2009 f 2012 asin 2012 bcos 2012 asin bcos 2009 答案 c 二 填空题6 sin11 cos11 sin168 的大小关系是 解析 cos11 sin 90 11 sin79 sin168 sin 180 168 sin12 由三角函数线 或正弦函数的单调性 易知 sin11 sin12 sin79 即sin11 sin168 cos11 答案 sin11 sin168 cos11 7 已知sin 2cos 则2sin2 3cos2 答案 18 abc中 a b 是 sina sinb 的 条件 解析 a b 0 由sina sinb有sina sin b 由sina sinb 可得a b 或a b 若 式成立 则a b 与在 abc中0 a b 矛盾 只有 式成立 答案 充要9 文 sin sin 2 sin 3 sin 2012 的值等于 理 sin21 sin22 sin23 sin288 sin289 解析 原式 sin21 sin22 sin245 cos2 90 46 cos2 90 1 sin21 cos21 sin22