高中数学《3.2.2 函数模型的应用实例》课件 新人教A版必修1.ppt

3 2 2函数模型的应用实例 某商场销售一批名牌衬衫 平均每天可售出20件 每件盈利40元 为了扩大销售 增加盈利 尽快减少库存 商场决定采取适当降价措施 经调查发现 如果每件衬衫每降价1元 商场平均每天多售出2件 于是商场经理决定每件衬衫降价15元 经理的决定正确吗 1 函数模型应用的两个方面 1 利用已知函数模型解决问题 2 建立恰当的函数模型 并利用所得函数模型解释有关现象 对某些发展趋势进行预测 2 应用函数模型解决问题的基本过程 1 某林区的森林蓄积量每一年比上一年平均增长10 4 那么经过x年可增长到原来的y倍 则函数y f x 的图象大致为 解析 设原来的蓄积量为a 则a 1 10 4 x a y y 1 104x 故选d 答案 d 2 某物体一天中的温度t是时间t的函数 t t t3 3t 60 t 0表示时间12 00 其后t取值为正 则上午8时的温度是 解析 由12 00时 t 0 且12 00以后t为正值 可知12 00以前t为负值 即上午8时应t 4 故t 4 4 3 3 4 60 8 答案 8 3 某种储蓄的月利率是0 8 按复利计 存入100元本金后 本息和y 元 与所存月数x之间的函数关系式为 解析 因为月利率是0 8 所以存入1个月后本息和为100 1 0 8 存入2个月后本息和为100 1 0 8 100 1 0 8 0 8 100 1 0 8 2 故存入x个月后本息和为100 1 0 8 x x n 答案 y 100 1 0 8 x x n 4 2009 浙江 理 某地区居民生活用电分为高峰和低谷两个时间段进行分时计价 该地区的电网销售电价表如下 若某家庭5月份的高峰时间段用电量为200千瓦时 低谷时间段用电量为100千瓦时 则按这种计费方式该家庭本月应付的电费为 元 用数字作答 答案 148 4 5 某商店卖西瓜 6kg以上 含6kg 每千克4角 6kg以下每千克6角 请表示出西瓜质量x kg 与销售金额y的函数关系 并画出图象 思路分析 税金 销售额 税率 不少于 问题需建立不等式求解 温馨提示 要注意在细心阅读与准确理解题意的基础上 引入函数符号 将题目中的文字语言转化为符号语言 列出数量关系即建立出函数模型 1 从药物释放开始 每立方米空气中的含药量y 毫克 与时间t 小时 之间的函数关系式为 2 据测定 当空气中每立方米的含药量降低到0 25毫克以下时 学生方可进入教室 那么从药物释放开始 至少需要经过 小时后 学生才能回到教室 思路分析 由图象知 此函数为分段函数 利用待定系数法求解 温馨提示 1 图象 图表 题目 先由已知条件确定函数的类型 然后写出函数解析式 2 解决此类题目 要注意函数定义域的变化 即表示的是函数的整个图象 还是其一部分 还是上面的某些点 以免出现漏解或增解的情况 类型三数据拟合型应用问题 例3 某个体经营者把开始六个月试销a b两种商品的逐月投资与所获纯利润列成下表 该经营者准备下月投入12万元经营这两种产品 但不知投入a b两种商品各多少万元才合算 请你帮助制定一个资金投入方案 使得该经营者能获得最大利润 并按你的方案求出该经营者下月可获得的最大纯利润 结果保留两位有效数字 思路分析 只给数据 没明确函数关系 这样就需要准确地画出散点图 然后根据图形状态 选择合适的函数模型来解决实际问题 解 以投资额为横坐标 纯利润为纵坐标 在平面直角坐标系中画出散点图 如下图 1 和 2 即该经营者下月把12万元中的3 2万元投资a种商品 8 8万元投资b种商品 可获得最大利润约为4 1万元 温馨提示 根据题中给出的数据 画出散点图 然后观察散点图 选择合适的函数模型 并求解新的问题 这是本节新的解题思路 请同学们在用待定系数法求解析式时 选择其他的数据点 观察结果的差异 如图 用宽度为1m的矩形铁皮 弯起两边 制作成横截面积为矩形的水槽 试问 怎样设计才能使水槽的流量最大 心理学家发现 学生对概念的接受能力y与提出概念所用的时间x 单位 分 之间满足函数关系式y 0 1x2 2 6x 43 0 x 30 y值越大 表示接受能力越强 1 x在什么范围内 学生的接受能力逐步增强 x在什么范围内 学生的接受能力逐步降低 2 第10分钟时 学生的接受能力是多少 3 第几分钟时 学生的接受能力最强 解 1 y 0 1x2 2 6x 43 0 1 x 13 2 59 9 所以 当0 x 13时 学生的接受能力逐步增强 当13 x 30时 学生的接受能力逐步下降 2 当x 10时 y 0 1 10 13 2 59 9 59 当第10分钟时 学生的接受能力为59 3 当x 13时 y取得最大值 所以 在第13分钟时 学生的接受能力最强 2 某地西红柿从2月1日起开始上市 通过市场调查 得到西红柿种植成本q 单位为 元 102kg 与上市时间t 单位 天 的数据如表 根据表中数据 从下列函数中选取一个函数描述西红柿种植成本q与上市时间t的变化关系 q at b q at2 bt c q a bt q a logbt 利用你选取的函数 求西红柿种植成本最低时的上市天数及最低种植成本 1 通过建立实际问题的数学模型来解决问题的方法称为数学模型方法 简称数学建模 在函数模型中 二次函数模型占有重要的地位 根据实际问题建立函数解析式后 可利用配方法 判别式法 换元法 函数的单调性等方法来求函数的最值 从而解决实际问题中的最大 最省等问题 2 解决函数应用题的关键有两点 一是实际问题数学化 读题是解决问题的起点 要读懂整个题目有几层意思 每层意思是什么 要解决什么实际问题 与其相关的因素有哪些等等 即在理解的基础上 通过列表 画图 引入变量 建立直角坐标系等手段把实际问题翻译成数学问题 把文字语言翻译成数学符号语言 二是对得到的函数模型进行解答 得出数学问题的解 数学建模数学建模是利用数学方法解决实际问题的一种实践 即通过抽象 简化 假设 引进变量等处理过程后 将实际问题用数学方式表达 建立起数学模型 然后运用先进的数学方法及计算机技术进行求解 我们也可以这样直观地理解这个概念 数学建模是一个让纯粹数学家 指只懂数学不懂数学在实际中的应用的数学家 变成物理学家 生物学家 经济学家甚至心理学家等等的过程 数学模型一般是实际事物的一种数学简化 它常常是以某种意义上接近实际事物的抽象形式存在的 但它和真实的事物有着本质的区别 要描述一个实际现象可以有很多种方式 比如录音 录像 比喻 传言等等 为了使描述更具科学性 逻辑性 客观性和可重复性 人们采用一种普遍认为比较严格的语言来描述各种现象 这种语言就是数学 使用数学语言描述的事物就称为数学模型 有时候我们需要做一些实验 但这些实验往往用抽象出来的数学模型作为实际物体的代替而进行相应的实验 实验本身也是实际操作的一种理论替代 应用数学去解决各类实际问题时 建立数学模型是十分关键的一步 同时也是十分困难的一步 建立数学模型的过程 是把错综复杂的实际问题简化 抽象为合理的数学结构的过程 要通过调查 收集数据资料 观察和研究实际对象的固有特征和内在规律 抓住问题的主要矛盾 建立起反映实际问题的数量关系 然后利用数学的