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3 1 2用二分法求方程的近似解 2 问题1 算一算 在一个风雨交加的夜里 从某水库闸房到防洪指挥部的电话线路发生了故障 这上一条10km长的线路 如何迅速查出故障所在 要把故障可能发生的范围缩小到50 100m左右 即一两根电线杆附近 要检查多少次 方法分析 7次 查找线路电线 水管 气管等管道线路故障 定义 每次取中点 将区间一分为二 再经比较 按需要留下其中一个小区间的方法叫二分法 也叫对分法 常用于 实验设计 资料查询 是方程求根的常用方法 温故知新 若函数f x 在闭区间 a b 上的图像是连续曲线 并且在闭区间 a b 端点的函数值符号相反 即f a f b 0 则f x 在 a b 上至少有一个零点 即方程f x 0在 a b 上至少有一个实数解 判断零点存在的方法 定理 说明 若方程f x 0在区间 a b 只有一解 则必有f a f b 0 实例体验 1 f x y x o 1 2 3 4 5 假设 在区间 1 5 上 f x 的图像是一条连续的曲线 且f 1 0 f 5 0即f 1 f 5 0 我们依如下方法可以求得方程f x 0的一个解 取 1 5 的一个中点2 因为f 2 0 f 5 0 即f 2 f 5 0 所以在区间 2 5 内有方程的解 于是再取 2 5 的中点3 5 如果取到某个区间的中点x0 恰好使f x0 0 则x0就是所求的一个解 如果区间中点的函数总不为0 那么 不断重复上述操作 动手实践 例1 借助计算器或计算机用二分法求方程的近似解 精确到0 1 动手练 书本p91练习2 算法图 利用二分法求方程实数解的过程 选定初始区间 取区间的中点 中点函数值为0 m n 结束 是 否 是 1 初始区间是一个两端函数值符号相反的区间 2 m 的意思是取新区间 其中一个端点是原区间端点 另一个端点是原区间的中点 3 n 的意思是方程的解满足要求的精确度 中点函数值为0 中点函数值为0 中点函数值为0 中点函数值为0 中点函数值为0 中点函数值为0 中点函数值为0 中点函数值为0 中点函数值为0 中点函数值为0 中点函数值为0 是 是 结束 是 关于二分法的适用范围和精确度 1 用二分法求函数的零点近似值的方法仅对函数的变号零点适合 对函数的不变号零点不使用 2 若起始区间是长度是1 则经过n次二分法以后 精确度为 估计达到精确度至少需要使用二分法的次数 满足 的最小自然数n 3 作业 教材第92页a组第3 4
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