三角函数复习详细整理(原创).doc

142专题三三角函数题型特征及分值：1高考中对三角函数的考查一般有四大类型：（1）利用三角函数的定义与三角变换求值 （如2008年四川卷3题）.（2）三角函数的图象、性质（单调性、奇偶性、周期性、对称性等）（如2008年四川卷5题）；（3）三角形相关的三角函数（以正余弦定理的运用为主）；（4）函数值域等综合问题（2008年四川卷17题）.2近几年对三角函数的考察中对三角变换的考查要求有所降低，同时对三角函数的图像与性质的考查有所加强，近几年每套试卷中一般有1至3道填空题或选择题(以三角变换求值、三角函数性质、图象为主，如四川卷2007年16题)和一个解答题（12分）（如四川卷2007年17题），总分值在2026分左右。 同时三角函数具有工具性作用，近年也常和其他章节综合出题（如：2008年四川卷10题与导数结合）.1.三角函数的求值知识网络：三角函数求值给值求值给值求角给角求值利用已知的某些角的三角函数值求另外一些角的三角函数值将非特殊角转化为特殊角且消掉非特殊角三角函数从而求解常见凑角形式常见公式， ，2. 三角函数图象与性质三角函数图象与性质正余弦、正余切三角函数值域及最值列表综合四个三角函数，的图象与性质，并挖掘, 了解加了绝对值后的情况图象变换由横向平移,伸缩;纵向伸缩,平移形成图像.注意:横向平移伸缩都是对本身单调、周期、奇偶性会用“五点法”画函数的简图，并能由图像写出解析式转化为单一三角函数,如:(其中)转化为代数函数：.换元法(换元后范围变化).二次函数法:例如.单调性法:例如.反函数法:例如求单调区间：化为单一函数，如,利用的单调区间的范围范围周期: ; 奇偶性:首先看定义域是否关于原点对称;再看与关系3.解斜三角形知识网络：余弦定理解斜三角形的一般步骤应用应用，是的外接圆半径 已知两角和一边已知两边和其中一边所对角（讨论解的情况）正弦定理已知两边及其交角已知三边求角三角形面积定理 解斜三角形解斜三角形的一般步骤由已知条件作图将已知表示于图上判断应用正弦还是余弦定理注意:已知a,b和A求解 当A为锐角: 无解； 一解；两解； 一解当A为钝角: 无解； 一解注意解是否唯一4.典型题型真题突破题型1：三角函数化简求值【例1】(2007年江西)若，则等于（）A B C D解题思路：,选A.【例2】(2007年陕西)已知，则的值为（ ）ABCD解题思路：=.选B.【例3】(2005年湖北) 若，则( )A（0，） B（，） C（，） D（，）解题思路：,故选C.【例4】(2007年浙江)已知，且，则的值是_解题思路:,两边平方得: .【例5】(2007年江苏)若，则_解题思路: , . -得: , +得: ., :.【例6】(2006年重庆)已知 ，则_.解题思路：.【例7】（2005年重庆）已知、均为锐角，且= 解题思路：,=0, ,.【例8】(1996年全国)的值是_解题思路：+.【例9】(2007年四川)已知3sinx B2x3sinx C2x=3sinx D与x的取值有关解题思路:由,时, 最小, ,选D.【例27】(2007年湖南)已知函数，（I）设是函数图象的一条对称轴，求的值（II）求函数的单调递增区间解题思路:（I）由题设知因为是函数图象的一条对称轴，所以，即（）,所以当为偶数时，当为奇数时，（II）当，即（）时，函数是增函数，故函数的单调递增区间是（）【例28】(2007年江西) 如图，函数的图象与轴交于点，且在该点处切线的斜率为（1）求和的值；（2）已知点，点是该函数图象上一点，点是的中点，当，时，求的值解题思路:（1）将，代入函数得，因为，所以又因为，所以，因此（2）因为点，是的中点，所以点的坐标为又因为点在的图象上，所以因为，所以，从而得或即或题型7：三角形相关问题 【例29】(2007年重庆)在中，则（）ABCD解题思路：，由正弦定理，选A.【例30】(2006年四川)设分别是的三个内角所对的边，则是的 ( )A.充要条件 B.充分而不必要条件 C.必要而充分条件 D.既不充分又不必要条件解题思路:由正弦定理，选A.【例31】(2007年全国卷2)在中，已知内角，边设内角，周长为（1）求函数的解析式和定义域；（2）求的最大值解题思路：（1）的内角和，由得应用正弦定理，知因为，所以，（2）因为，所以，当，即时，取得最大值【例32】（2007年浙江）已知的周长为，且（I）求边的长；（II）若的面积为，求角的度数解题思路：（I）由题意及正弦定理，得，两式相减，得（II）由的面积，得，由余弦定理，得 ，所以题型8：函数值域及综合运用评注:三角形相关问题是三角函数章节的热点考点,一般用正、余弦定理进行解决,用正弦定理将边或角的比例关系进行相互转化;余弦定理将余弦相关问题转化为边的关系进而转化为边的比例关系进行解决.同时,要注意且的条件.【例33】 (2006年全国卷2 )若f(sinx)3cos2x，则f(cosx)（ ）A.3cos2x B.3sin2x C.3cos2x D.3sin2x解题思路：3+cos2x，选C.【例34】(2006年安徽)设，对于函数，下列结论正确的( ) A有最大值而无最小值 B有最小值而无最大值 C有最大值且有最小值 D既无最大值又无最小值解题思路 单调递减, , .选B.【例35】(2005年浙江)已知k4，则函数的最小值是( )A. 1 B. 1 C. 2k1 D.2k1解题思路：为关于的二次函数，对称轴，关于的二次函数处于二次函数的单调递减区间，,选A.【例36】(1990年全国)函数的最大值是 .解题思路：令, ,由开口向上的局部二次函数的最大值在端点处知.【例37】(2007年陕西)设函数，其中向量，且的图象经过点（）求实数的值；（）求函数的最小值及此时值的集合解题思路：（），由已知，得（）由（）得，当时，的最小值为，由，得值的集合为【例38】(07山西)已知向量是否存在实数，是若存在，则求出x的值；若不存在，则证明之.解题思路： 评析:三角函数最值常见三种类型:(1)转化为单一三角函数,形式为: (其中)的三角函数最值采用这种方法.(2)转化为代数函数：A.换元法(换元后注意自变量范围变化)如:出现与整体形式时,可像【例36】一样换元转化为二次函数;B.二次函数法:形式为 (平方项与一次项、常数项组合时)可由转化为关于的二次函数，一定要注意的范围C.单调性法:例如C.反函数法:例如.(3)转化为的形式：如：，多项式全为二次项与常数项组合时，用倍角公式降次后变为的形式解决.5.90-07年高考真题演练51三角函数化简求值.一.选择题1 (07全国卷1) 是第四象限角，则（ ）A B C D2 (07全国卷2 ) （ ）AB CD3(07海南)若，则的值为（）ABCD4(06福建)已知则等于 ( )A.B. C. D.5（05全国卷1）当时，函数的最小值为( )A.2 B. C.4D.6(94全国)设是第二象限的角,则必有( ) A. B. C. D. 7.(95全国)已知是三象限角，且sin4cos4，那么sin2等于( )AB CD8.(96全国)若0a，则arcsincos(a)arccossin(a)等于( )A. B. C. D.9. （92全国4）方程sin4xcos5x-cos4xsin5x的一个解是：() A.10 B.20 C.50 D.7010.(98全国1）sin600的值是( )A. B. C. D. 11.(01全国) 若0，sin cos = ，sin cos = b，则( )A.ab B.ab C.ab1 D.ab212.(05全国)设0x2,且=sinx-cosx, 则( )A.0x B.x C.x D.x13.(05全国)( )A.tanx B.tan2x C.1 D.14.(90全国)方程sin2x=sinx在区间(0,2)内的解的个数是( )A.1 B.2 C.3 D.415.（91全国）已知sin，并且是第二象限的角，那么tan的值是：()A. B. C.D. 二.填空题16. (97全国)= _17.(07北京)2002年在北京召开的国际数学家大会，会标是以我国古代数学家赵爽的弦图为基础设计的弦图是由四个全等直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形（如图）如果小正方形的面积为1，大正方形的面积为25，直角三角形中较小的锐角为，那么的值等于_18.(07江苏)某时钟的秒针端点到中心点的距离为，秒针均匀地绕点旋转，当时间时，点与钟面上标的点重合将两点间的距离表示成的函数，则_其中19.(06陕西)cos43cos77+sin43cos167的值为 20.(06上海)如果，且是第四象限的角，那么_21.(06江苏)_22.（05 全国卷2 ）设为第四象限的角，若，则_；23.（91全国）argtan()argtan()的值是_24.（92全国 ）sin15sin75的值是_ 25.(94全国)已知sin+cos=,(0,),则cot的值是_三.解答题26.(95全国)求sin220+cos250+sin20cos50的值.27.(06四川)已知是三角形三内角，向量，且（）求角；（）若，求.28.(07安徽)已知为的最小正周期，且求的值29.(06北京)已知函数，（）求的定义域；（）设是第四象限的角，且，求的值.30.(06安徽)已知（）求的值；（）求的值。 31.(05福建) 已知 （I）求的值（）求的值.32.（92全国 ）已知，cos(），sin()，求sin2的值。52三角函数图象、性质一.选择题1(07北京)已知，那么角是（）A第一或第二象限角B第二或第三象限角C第三或第四象限角D第一或第四象限角2.(05全国卷2 ）已知函数在内是减函数，则（ ）A.0arccosx成立的的取值范围是（ ）A BC D0， 6. (99全国)若，则 （ ）A. B. C. D. 7.(2000全国)已知，那么下列命题成立的是（ ）A.若、是第一象限角，则 B.若、是第二象限角，则C.若、是第三象限角，则 D.若、是第四象限角，则8.(01全国)若，则在( )A. 第一、二象限 B. 第一、三象限 C. 第一、四象限 D. 第二、四象限9.（92全国 ）若0a0,0,0函数，且的最大值为2，其图象相邻两对称轴的距离为2，并过点（1，2）.（1）求;（2）计算+ +.46.（05全国卷1）设函数图像的一条对称轴是直线（）求；（）求函数的单调增区间；（）证明直线于函数的图像不相切47.(2000全国)已知函数,（I）当函数y取得最大值时，求自变量的集合；（II）该函数的图象可由的图象经过怎样的平移和伸缩变换得到？5.3.三角形相关问题一.选择题.1.(06安徽)如果的三个内角的余弦值分别等于的三个内角的正弦值，则( )A和都是锐角三角形 B和都是钝角三角形C是钝角三角形，是锐角三角形D是锐角三角形，是钝角三角形2.(06湖北)若的内角满足，则 ( ) A. B C D3. (06全国卷1)的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，若a、b、c成等比数列，且，则( ) A B C D4.(06全国卷1)用长度分别为2、3、4、5、6（单位：）的5根细木棒围成一个三角形（允许连接，但不允许折断），能够得到的三角形的最大面积为( ) A B C D5.(06山东)在ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c,A=,a=,b=1，则c= ( )A.1 B.2 C.1 D.6.（05全国卷1）在中，已知，给出以下四个论断：其中正确的是( )A.B.C. D.7.(05全国卷2 ）锐角三角形的内角、满足，则有( )A. B. C. D.8.（05江西）在OAB中，O为坐标原点，则OAB的面积达到最大值时，（ ）A B C D9.（04全国卷2）在中，则边上的高为（ ）A. B. C. D.10.（04全国卷4）ABC中，a、b、c分别为A、B、C的对边.如果a、b、c成等差数列，B=30，ABC的面积为，那么b=（ ）ABCD11.（98全国）一个直角三角形三内角的正弦值成正比列，其最小内角为 ）A.arccos B.arcsin C.arccos D.arcsin二.填空题12.(07湖南)在中，角所对的边分别为，若，b=，则 13.(07北京)在中，若，则_14.(06北京)在ABC 中，若角C、 B 、A 满足sin A: sinB: sinC =5:7:8. 则B 的大小是_15.(06全国卷2)已知ABC的三个内角A、B、C成等差数列，且AB1，BC4，则边BC上的中线AD的长为 16.(06江苏)在ABC中，已知BC12，A60，B45，则AC17.(05上海)在中，若，则的面积S=_三.解答题18.(06全国卷1)的三个内角为，求当A为何值时，取得最大值，并求出这个最大值。BDCA图319.(06湖南)如图3,D是直角ABC斜边BC上一点,AB=AD,记CAD=,ABC=.(1)证明 ;（2）若AC=DC,求的值.20.(07全国卷1)设锐角三角形的内角的对边分别为，（）求的大小；（）求的取值范围21.(07福建)在中，（）求角的大小；（）若最大边的边长为，求最小边的边长22.(07上海) 在中，分别是三个内角的对边若，求的面积 23.(07海南)如图，测量河对岸的塔高时，可以选与塔底在同一水平面内的两个侧点与现测得，并在点测得塔顶的仰角为，求塔高24.(07山东)在中，角的对边分别为（1）求；（2）若，且，求25.(07广东)已知三个顶点的直角坐标分别为，（1）若，求的值；（2）若，求的值26.(06江西)如图，已知ABC是边长为1的正三角形，M、N分别是边AB、AC上的点，线段MN经过ABC的中心G，设MGAa（）（1）试将AGM、AGN的面积（分别记为S1与S2）.表示为a的函数（2）求y的最大值与最小值.27.(06上海)如图，当甲船位于A处时获悉，在其正东方向相距20海里的B处有一艘渔船遇险等待营救甲船立即前往救援，同时把消息告知在甲船的南偏西30，相距10海里C处的乙船，试问乙船应朝北偏东多少度的方向沿直线前往B处救援（角度精确到）？28.（97全国）已知的三个内角A,B,C满足：AC2B，求的值。29.（98全国）在ABC中，a,b,c分别是角A,B,C的对边，设a+c=2b，A-C=，求的值。30.(05湖北 18）在ABC中，已知，AC边上的中线BD=，求sinA的值31.（05天津）在中，所对的边长分别为，设满足条件和，求和的值32.(04全国)已知锐角三角形ABC中，sin(AB)，sin(AB)求证：tanA2tanB；()设AB3，求AB边上的高33.(05全国) 中，内角.的对边分别为.，已知.成等比数列，且（1）求的值。（2）若，求的值34.（04北京）在中，求的值和的面积5.4函数值域及综合运用1.（05全国卷1）当时，函数的最小值为( ) A.2 B. C.4 D.2.(90全国)函数的值域是( )A.-2,4B.-2,0,4 C.-2,0,2,4 D.-4,-2,0,43.(06江西)已知函数,则的值域是( )A. B. C. D. 4.(06浙江)函数y=sin2+4sinx,x的值域是( )A.-, B.-, C. D.5.(06福建)已知函数在区间上的最小值是，则的最小值等于( ) A . B.C. 2D.36.（05江西）在OAB中，O为坐标原点，则OAB的面积达到最大值时， ( )ABCD7.（04广东）当时,函数的最小值是( ) A. 4 B. C.2 D. 8.(94全国)函数y=arccos(sinx)()的值域( )A. B.0, )C. D. 9.(96全国)当，函数的 ( )A.最大值是1，最小值是1 B.最大值是1，最小值是C.最大值是2，最小值是2 D.最大值是2，最小值是110.(97全国)函数y=cos2x-3cosx+2的最小值为( )A.2B.6 C. D.611.(07年四川)如图，l1、l2、l3是同一平面内的三条平行直线，l1与l2间的距离是1， l2与l3间的距离是2，正三角形ABC的三顶点分别在l1、l2、l3上，则ABC的边长是( ) A. B. C. D.12.(05上海)函数的图像与直线又且仅有两个不同的交点，则的取值范围是_13.(95全国)函数的最小值是_14.(07湖北)已知的面积为，且满足，设和的夹角为（I）求的取值范围；（II）求函数的最大值与最小值15.(06上海)求函数的值域和最小正周期16.(06广东)已知函数（）求的最小正周期；（）求的最大值和最小值；（）若，求的值.17.(05广东)化简,并求函数的值域和最小正周期.18.（05重庆）若函数的最大值为2，试确定常数a的值.19.（04广东）已知成公比为2的等比数列(也成等比数列. 求的值.6.08年高考真题演练61三角函数化简求值.1.（08山东5）已知cos（-）+sin=（ ）A.-B. C.- D. S2.(08四川3)（ ）A. B. C. D.3.（08上海6）函数f(x)= 的最大值是 4.（08天津17）（本小题满分12分）已知.（）求的值；（）求的值.5.(08四川17)（本小题满分12分）求函数的最大值与最小值6.(08江苏15)如图，在平面直角坐标系中，以轴为始边做两个锐角,，它们的终边分别与单位圆相交于A,B 两点，已知A,B 的横坐标分别为（）求tan()的值；（）求的值7.（08广东16）（满分13分）已知函数，的最大值是1，其图像经过点（1）求的解析式；（2）已知，且，求的值62三角函数图象、性质1.（08湖北5）将函数y=3sin（x-）的图象F按向量（，3）平移得到图象F,若F的一条对称轴是直线x=,则的一个可能取值是( ) A. B. C. D. 2.(08四川5)设，若，则的取值范围是( )A.B.C.D.3.（08安徽5）将函数的图象按向量平移后所得的图象关于点中心对称，则向量的坐标可能为（ ）ABCD4.（08全国1.8）为得到函数的图像，只需将函数的图像（ ）A向左平移个长度单位 B向右平移个长度单位C向左平移个长度单位D向右平移个长度单位5.（08天津3）设函数，则是（ ）A.最小正周期为的奇函数 B.最小正周期为的偶函数 C.最小正周期为的奇函数 D. 最小正周期为的偶函数6. (08江苏1)的最小正周期为，其中，则= 7.（08广东12）已知函数，则的最小正周期是_ 8.(08陕西17)（本小题满分12分）已知函数（）求函数的最小正周期及最值；（）令，判断函数的奇偶性，并说明理由9.(08上海18)（本题满分15分）已知函数f(x)=sin2x,g(x)=cos,直线x=t(tR)与函数f(x)、g(x)的图像分别交于M、N两点.(1)当t= 时，求MN的值；(2)求MN在t时的最大值.10.（08山东17）已知函数f(x)为偶函数，且函数yf(x)图象的两相邻对称轴间的距离为（）求f（）的值；（）将函数yf(x)的图象向右平移个单位后，再将得到的图象上各点的横坐标舒畅长到原来的4倍，纵坐标不变，得到函数yg(x)的图象，求g(x)的单调递减区间.6.3.三角形相关问题1.(08福建10)在ABC中，角ABC的对边分别为a、b、c,若(a2+c2-b2)tanB=,则角B的值为（）A. B. C.或 D. 或2.(08陕西3)的内角的对边分别为，若，则等于（ ）A B2C D3. (08江苏13)若AB=2, AC=BC ，则的最大值 4.（08山东15）已知a，b，c为ABC的三个内角A，B，C的对边，向量m（），n（cosA,sinA）.若mn，且acosB+bcosA=csin