高中数学《1.3.12 函数的最大值、最小值》课件 新人教A版必修1.ppt

第2课时函数的最大值 最小值 随着社会经济的高速发展 工厂 企业一个个应运而生 现在 我们国家又提出创建节约型社会 假如你是下面这个工厂的厂长 你认为应该如何设计厂区 1 函数的最大值 1 定义 一般地 设函数y f x 的定义域为i 如果存在实数m满足 对于任意的x i 都有f x m 存在x0 使得f x0 m 那么 称m是函数y f x 的最大值 2 几何意义 函数y f x 的最大值是图象点的纵坐标 最高 i 温馨提示 定义中m首先是一个函数值 它是值域的一个元素 如函数f x x2 x r 的最大值为0 有f 0 0 注意对 存在 一词的理解 对于定义域内全部元素 都有f x m成立 任意 是说对每一个值都必须满足不等式 2 函数的最小值 1 定义 一般地 设函数y f x 的定义域为i 如果存在实数m满足 对于任意的x i 都有f x m 存在x0 使得f x0 m 那么 称m是函数y f x 的最小值 2 几何意义 函数y f x 的最小值是图象点的纵坐标 最低 i 3 函数的最值 1 定义 函数的最大值和最小值统称为函数的最值 2 几何意义 函数y f x 的最值是图象最高点或最低点的纵坐标 3 说明 函数的最值是在内的性质 整个定义域 3 函数y x2 2x在 1 2 上的最大值为 a 1b 2c 1d 不存在答案 a 思路分析 本题为分段函数 应借助于函数图象找出变化趋势 从而确定最值 解 f x 的图象如下图 则x 0时 f x 单调递增 当01时 f x 单调递减 故当x 1时 f x 取最大值为4 温馨提示 求分段函数的最值 应把握好变化趋势 找出一个最值 并不是每一段上都求 思路分析 先用定义研究函数在区间上的单调性 再求最值 温馨提示 运用函数单调性求最值是求函数最值的重要方法 特别是当函数图象不好作或作不出来时 单调性几乎成为首选方法 类型三二次函数的最值 例3 求f x x2 2ax 1在区间 0 2 上的最大值和最小值 思路分析 解答本题可先求出f x 的对称轴x a 然后就a与区间 0 2 的关系进行讨论 分别求出f x 的最大值和最小值 当0 a 2 即对称轴x a在区间 0 2 内时 求函数的最大值 应再细分为0 a 1和1 a 2讨论 解 f x x a 2 1 a2 对称轴为x a 1 当a2时 由图 可知 f x min f 2 3 4a f x max f 0 1 温馨提示 1 求函数在某区间上的最值 一般应先判定函数在该区间的单调性 2 求二次函数的最值时 应判断它的开口方向 对称轴与区间的关系 若含有字母 要根据对称轴和区间的关系对字母进行讨论 解题时要注意数形结合 注意 两看 一看开口方向 二看对称轴与所给区间的相对位置关系 求函数f x x2 2 6a2 x 3a2在区间 0 1 上的最小值m a 和最大值m a 已知函数y f x 对任意实数x y都有f x y f x f y 1 并且当x 0时 f x 1 f 3 4 1 证明f x 为r上的增函数 2 求函数f x 在区间 1 2 上的最大值与最小值 1 证明 设x1 x2 r 且x10 f x2 x1 1 f x2 x1 1 0 f x2 f x1 0 即f x1 f x2 所以函数f x 在r上是增函数 2 解 f x y f x f y 1 f 2 2f 1 1 f 3 f 2 f 1 1 3f 1 2 又 f 3 4 3f 1 2 4 f 1 2 f 2 2f 1 1 3 而函数f x 在r上为增函数 f x 在 1 2 上的最小值为f 1 2 最大值为f 2 3 2 二次函数在闭区间上的最值问题二次函数在闭区间上的最值问题 由它的单调性来确定 而它的单调性又由二次函数的开口方向和对称轴位置 在区间上 在区间左边 还是在区间右边 来决定 当开口方向和对称轴位置不确定时 则需要进行分类讨论 学科与科技根据人类消耗的能源结构比例图 右图 的图象 简要说明近150年来人类消耗的能源结构变化情况 并对未来100年能源结构的变化趋势作出预测 由图象可以看出近150年来人类消耗木材比例一直减少 消耗的煤炭比例先逐渐增多 到1940年左右达到最大值 以后又逐渐变少 从1880年左右开始消耗石油 到1990年左右所占比例达到最大值 以后又逐渐减少 天然气从1900年左右开始应用于能源 所占比例一直在逐渐增大 核能从1980年左右