高考数学复习课件 3.3 利用导数研究函数的极值 理 新人教版.ppt

1 设函数f x 在点x0附近有定义 如果对x0附近的所有的点 都有 我们就说f x0 是函数f x 的一个极大值 如果对x0附近的所有的点 都有 我们就说f x0 是函数f x 的一个极小值 极大值与极小值统称极值 2 一般地 求函数y f x 的极值的方法如下 解方程f x 0 当f x0 0时 f x f x0 f x f x0 1 如果在x0附近的左侧f x 0 右侧f x 0 那么f x0 是 值 2 如果在x0附近的左侧 右侧 那么f x0 是极小值 3 一般地 求f x 在 a b 上的最大值与最小值的步骤如下 1 求函数y f x 在 内的极值 2 将函数y f x 的 与端点处的函数值f a f b 比较 其中最大的一个是 最小的一个是 极大 f x 0 f x 0 a b 各个极值 最大值 最小值 1 下列命题中 正确的是 a 导数为0的点一定是极值点b 如果在点x0附近的左侧f x 0 右侧f x 0 那么f x0 是极大值c 如果在点x0附近的左侧f x 0 右侧f x 0 那么f x0 是极小值d 如果在点x0附近的右侧f x 0 左侧f x 0 那么f x0 是极大值解析 根据极值的定义可知b正确 答案 b 2 下列函数存在极值的是 答案b 3 函数f x 的定义域为 a b 导函数f x 在 a b 内的图象如图 则函数f x 在开区间 a b 内有极小值点 a 1个b 2个c 3个d 4个 解析 设导数f x 的图象与x轴交点的横坐标 除原点 从左到右分别为x1 x2 x3 从图象知 在 a x1 x2 0 0 x3 上f x 0 在 x1 x2 x3 b 上f x 0 即在 a x1 上f x 递增 在 x1 x2 上递减 在 x2 x3 上递增 在 x3 b 上递减 函数f x 在开区间 a b 内有极小值点只有一点x2 答案 a 4 函数y xe x的极大值为 解析 y e x xe x 1 x e x 当x 1时函数递增 当x 1时函数递减 所以x 1时 函数取极大值 从以下几点正确理解函数极值的概念 1 函数f x 在点x0及其附近有定义是指在点x0及其左右区域都有意义 2 极值点是函数f x 定义域中的内点 因而端点绝不是函数的极值点 3 极值是一个局部概念 是仅对某一点的左右两侧区域而言的 4 连续函数f x 在其定义域上的极值点可能不止一个 也可能没有极值点 函数的极大值与极小值没有必然的大小联系 函数的一个极小值也不一定比它的一个极大值小 5 函数f x 在极值点处不一定存在导数 例如函数y x x 0是函数的极小值点 但在x 0处不存在导数 6 可导函数的极值点一定是使它的导数为零的点 反之使函数的导数为零的点 不一定是该函数的极值点 因此使导数为零的点仅是该点为极值点的必要条件 其充分条件是这个点两侧的导数异号 7 函数的极值是在局部范围内讨论问题 是一个局部概念 函数的最值是对整个定义域而言 是在整体范围内讨论问题 是一个整体性的概念 8 闭区间上的连续函数一定有最值 开区间内的可导函数不一定有最值 若有唯一的极值 则此极值必是函数的最值 9 函数在其定义区间上的最大值 最小值最多各有一个 而函数的极值则可能不止一个 也可能没有极值 10 如果函数不在闭区间 a b 上可导 则确定函数的最值时 不仅比较使该函数的导数为零的点与端点处的值 还要比较函数在定义域内各不可导的点处的值 11 在解决实际应用问题时 如果函数在区间内只有一个极值点 那么要根据实际意义判断是最大值还是最小值即可 不必再与端点的函数值进行比较 考点一函数的极值与导数 即时巩固详解为教师用书独有 关键提示 先求出函数的导数 再由x 1是导函数等于零的根求得a的值 答案 3 即时巩固1 已知函数f x x3 3ax2 2bx在x 1处有极小值 1 试确定a b的值 并求f x 的单调区间 考点二函数的最值与导数 案例2 设函数f x ln 2x 3 x2 1 讨论f x 的单调性 1 求a b c的值 2 求y f x 在 3 1 上的最大值和最小值 解 1 由f x x3 ax2 bx c 得f x 3x2 2ax b 当x 1时 切线l的斜率为3 可得2a b 0 4a 3b 4 0 由 解得a 2 b 4 因为l上切点的横坐标为x 1 所以f 1 4 所以1 a b c 4 所以c 5 2 由 1 可得f x x3 2x2 4x 5 所以f x 3x2 4x 4 考点三创新应用 案例3 已知函数f x x3 mx2 nx 2的图象过点 1 6 且函数g x f x 6x的图象关于y轴对称 1 求m n的值及函数y f x 的单调区间 2 若a 0 求函数y f x 在区间 a 1 a 1 内的极值 关键提示 结合图象进行讨论 解 1 由函数f x 的图象过点 1 6 得m n 3 由f x x3 mx2 nx 2 得f x 3x2 2mx n 则g x f x 6x 3x2 2m 6 x n 所以m 3 代入 得n 0 于是f x 3x2 6x 3x x 2 由f x 0得x 2或x 0 由f x 0得0 x 2 故f x 的单调增区间是 0 和 2 f x 的单调递减区间是 0 2 2 由 1 得f x 3x x 2 令f x 0得x 0或x 2 当x变化时 f x f x 的变化情况如下表 由此可得 当0 a 1时 f x 在 a 1 a 1 内有极大值f 0 2 无极小值 当a 1时 f x 在 a 1 a 1 内无极值 当1 a 3时 f x 在 a 1 a 1 内有极小值f 2 6 无极大值 当a 3时 f x 在 a 1 a 1 内无极值 综上得 当0 a 1时 f x 有极大值 2 无极小值 当1 a 3时 f x 有极小值 6 无极大值 当a 1或a 3时 f x 无极值 即时巩固3 已知函数f x x3 3ax 1 a 0 1 求f x 的单调区间 2 若f x 在x 1处取得极值 直线y m与y f x 的图象有三个不同的交点 求m的取值范围 解 1 f x 3x2 3a 3 x2 a 当a 0时 对任意的x r 有f x 0 所以当a 0时 f x 的单调增区间为 2 因为f x 在x 1处取得极值 所以f 1 3