高考数学 专题辅导与训练 《不等式选讲》课件 文.ppt

热点考向1绝对值不等式的求解 例1 设函数f x x 2 x 1 求函数f x 的值域 2 若g x x 1 求g x f x 成立时x的取值范围 解题指导 1 先去掉绝对值 将函数转化为分段函数的形式 然后求解 2 可用零点分析法去掉绝对值 转化为分段函数求解 规范解答 1 f x 故f x 的值域为 2 2 g x 0 当x 1时 x 2 x 1 x 0 x 3 3 x 1 当 10 x0 x 3 综上 x 3 1 3 绝对值不等式的分类型求解方法 1 ax b c ax b c型不等式的解法 c 0 则 ax b c可转化为 c ax b c ax b c可转化为ax b c或ax b c 然后根据a b的取值求解即可 c 0 则 ax b c可转化为 ax b c的解集为r c 0 则 ax b 0可转化为ax b 0 然后根据a b的取值求解即可 ax b 0的解集为r 2 x a x b c x a x b c型不等式的解法解决此类含绝对值的不等式的一般步骤为 令每个绝对值符号里的一次式为0 求出相应的根 把这些根由小到大排序 它们把实数轴分为若干个区间 在所分区间上 根据绝对值的定义去掉绝对值符号 讨论所得的不等式在这个区间上的解集 这些解集的并集就是原不等式的解集 1 已知 2x 3 1的解集为 m n 求m n的值 2 若函数f x 2 x 7 3x 4 的最小值为2 求自变量x的取值范围 解析 1 由不等式 2x 3 1可化为 1 2x 3 1 得1 x 2 m 1 n 2 m n 3 2 依题意 2 x 7 3x 4 2 x 7 3x 4 1 当x 时 不等式化为x 7 3x 4 1 解得x 5 即 x 5 当 7 x 时 不等式化为x 7 3x 4 1 解得x 即 x 当x 7时 不等式化为 x 7 3x 4 1 解得x 6 与x 7矛盾 自变量x的取值范围为 x 5 热点考向2与绝对值不等式有关的参数范围问题 例2 2011 福州模拟 设函数f x x 1 x a 1 若a 1 解不等式f x 3 2 如果关于x的不等式f x 2有解 求a的取值范围 解题指导 1 a 1时 f x x 1 x 1 用零点分析法解不等式 2 可利用绝对值的几何意义求出f x 的最小值 然后求a的范围 规范解答 1 当a 1时 f x x 1 x 1 由f x 3 得 x 1 x 1 3 当x 1时 不等式化为1 x 1 x 3 即x 所以 原不等式的解集为x 当 1 x 1时 不等式化为1 x 1 x 3 即2 3 所以 原不等式无解 当x 1时 不等式化为 1 x 1 x 3 即x 所以 原不等式的解集为x 综上 原不等式的解集为 2 因为关于x的不等式f x 2有解 所以 f x min 2 因为 x 1 x a 表示数轴上的点到x 1与x a两点的距离之和 所以 f x min a 1 a 1 2 解得 1 a 3 所以 a的取值范围为 1 3 解决含参数的绝对值不等式问题 常有以下两种方法 1 将参数分类讨论 将其转化为分段函数解决 2 借助于绝对值的几何意义 先求出f x 的最值或值域 然后再根据题目要求 求解参数的取值范围 解绝对值不等式时要综合考虑 选择最简捷的解法 绝对值的几何意义 往往是首选方法 设f x ln x 1 m x 2 3 m r 1 当m 1时 求函数f x 的定义域 2 若当1 x 时 f x 0恒成立 求实数m的取值范围 解析 1 当m 1时 x 1 x 2 3 0 等价于或或解得x3 故函数f x 的定义域是 x x3 2 当1 x 时 f x ln x 4 m 2 x f x 0恒成立等价于x 4 m 2 x 1恒成立 即对 x 1 恒成立 令则g x 在区间 1 是增函数 所以g x max 所以m 13 故实数m的取值范围为 13 热点考向3不等式的证明问题 例3 2011 宿迁模拟 设f x x2 x 13 实数a满足 x a 1 求证 f x f a 2 a 1 解题指导 因为题目条件中有 x a 1 故应考虑先对f x f a 分解因式 即提取公因式x a 然后利用绝对值不等式的性质证明即可 规范解答 f x x2 x 13 f x f a x2 x a2 a x a x a 1 x a 1 又 x a 1 x a 2a 1 x a 2a 1 1 2a 1 2 a 1 所以不等式成立 证明不等式的基本方法 1 证明不等式的传统方法有 比较法 综合法 分析法 2 不等式证明还有一些常用方法 拆项法 添项法 逆代法 换元法 放缩法 反证法 函数的单调性法 判别式法 数形结合法等 换元法主要有三角代换 均值代换两种 在应用换元法时 要注意代换的等价性 放缩法是不等式证明中最重要的变形方法之一 放缩要有的放矢 目标可以从要证的结 论中考察 有些不等式 从正面证如果不易说清楚 可以考虑反证法 存在性 惟一性等问题或题目中带有 至少有一个 至多有一个 不能都 等字样的问题 都可以用反证法 设x y z为正数 证明 2 x3 y3 z3 x2 y z y2 x z z2 x y 证明 因为x2 y2 2xy 0 所以x3 y3 x y x2 xy y2 xy x y 同理y3 z3 yz y z z3 x3 zx z x 三式相加即可得2 x3 y3 z3 xy x y yz y z zx z x 又因为xy x y yz y z zx z x x2 y z y2 x z z2 x y 所以2 x3 y3 z3 x2 y z y2 x z z2 x y 热点考向4不等式的综合问题 例4 10分 2011 新课标全国卷 设函数f x x a 3x 其中a 0 1 当a 1时 求不等式f x 3x 2的解集 2 若不等式f x 0的解集为 x x 1 求a的值 解题指导 第 1 问 将a 1代入函数f x 解析式 利用解绝对值不等式的公式求解 第 2 问f x 0 x a 3x 0 然后分x a和x a两种情况去掉绝对值号 转化为解不等式组的问题 将两段解集取并集得f x 0的解集 最后利用待定系数法求得a的值 规范解答 1 当a 1时 f x 3x 2可化为 x 1 2 1分由此可得x 3或x 1 2分故不等式f x 3x 2的解集为 x x 3或x 1 3分 2 由f x 0得 x a 3x 0 此不等式化为不等式组或 5分即或 6分因为a 0 所以不等式组的解集为 x x 8分由题设可得 1 故a 2 10分 解不等式的基本思路 解不等式的基本思想是转化 化归 不等式的性质是实现 转化 的基本依据 高次不等式 分式不等式 绝对值不等式 含有字母系数的不等式等 一般都转化为最简单的一元一次不等式 组 或一元二次不等式 组 来求解 特别是含有参数的不等式 往往要对其进行分类探求 注意分类应不重 不漏 已知函数f x x 2 g x x 3 m 1 解关于x的不等式f x a 1 0 a r 2 若函数f x 的图象恒在函数g x 图象的上方 求m的取值范围 解析 1 不等式f x a 1 0 即为 x