动态电路分析1.ppt

第五章正弦电路的稳态分析 5 1动态电路概述5 2一阶电路的零输入响应5 3一阶电路的零状态响应5 4一阶电路的全响应5 5求解一阶电路的三要素法5 6二阶电路的零输入响应5 7直流源激励时二阶电路的全响应 电容或电感上的压降除了与其本身的参数有关外 还与这一时刻的电流的积分或微分值有关 即取决于电流的动态特性 因此将电容和电感称为动态元件 将含有动态元件的电路称为动态电路 如果动态元件是线性时不变的 电路的激励与响应的关系用一阶线性常微分方程描述 则该动态电路称为一阶电路 如果电路的激励与响应的关系用二阶线性常微分方程描述 则该动态电路称为二阶电路 本章的主要内容是分析一阶RC RL电路和二阶RLC电路 以及电路的零输入响应 零状态响应 全响应 暂态响应 稳态响应 阶跃响应 冲击响应等 5 1动态电路概述5 1 1动态电路元件 电路中只含有电阻和一个动态元件时 就构成了一阶电路 分析一阶电路之前 首先要知道如何将几个动态元件 电容或电感 的串并联等效为一个动态元件 1 电感的串联在第一章中讲过 电感两端的电压和流过电感的电流的方向为关联参考方向时 它们之间的关系为 图5 1 a 是n个电感串联的电路 根据KVL 有 图5 1n个电感串联 a b 即 因此图5 1 a 可等效为图5 1 b 且 即 串联电感的总电感等于各电感之和 总电感大于任一串联电感 每个电感上的压降为 上式也称为分压公式 对只有两个电感串联的情况 有 图5 2 a 是n个电感并联的电路 根据KCL 有 2 电感的并联 图5 2n个电感并联 a b 假设每个电感上的初始储能为0 则 即并联电感的倒数等于各并联电感的倒数之和 这样 图5 2 a 可等效为图5 2 b 流过各支路的电流为 其中 上式称为并联电感的分流公式 对于只有两个电感并联的情况 有 3 电容的并联 图5 3n个电容的并联 a b 电容两端的电压和流过电容的电流为关联参考方向时 二者之间的关系为 图5 3 a 是n个电容并联的电路 根据KCL 有 即 因此图5 3 a 可等效为图5 3 b 且 即 并联电容的总电容等于各电容之和 总电容大于任一并联电容 流过各支路的电流为 上式称为并联电容的分流公式 对只有两个电容并联的特殊情况 其分流公式为 图5 4是n个电容串联的电路 根据KVL 有 4 电容的串联 图5 4n个电容串联 a b 即串联电容的倒数等于各串联电容的倒数之和 这样 图5 4 a 可等效为图5 4 b 各电容上的电压为 假设每个电容上的初始储能为0 则上式可简化为 其中 上式也称为分压公式 对只有两个电容串联的情况 有 5 1 2换路定理对动态电路而言 当电路的结构或元件参数发生变化时 可能使电路从一种工作状态变换到另一种工作状态 这种转变所需要的过程称为过渡过程 电路的结构或元件参数发生变化引起的电路的变化统称为 换路 由电感和电容的伏安特性 可知 流过电感的电流不能发生跃变 否则 同样 电容两端的电压也不能发生跃变 否则 我们将换路时刻定为0时刻 即t 0 把换路前的最终时刻定为0 时刻 即t 0 把换路后的最初时刻定为0 时刻 即t 0 这样 要保证电容上的电压不跃变 就必须有 要保证电感上的电流不跃变 就必须有 以上两式称为换路定理 t 0 时刻电路中的电流 电压称为电路的初始电流和初始电压 统称为初始值 求初始值时 可将电感用iL 0 I0的电流源代替 将电容用uC 0 U0的电压源代替 若电感的iL 0 0 则电感用开路代替 若电容的uC 0 0 则电容用短路线代替 例5 1电路如图例5 1 a 所示 开关S在t 0时刻由1倒向2 换路前电路已经处于稳定状态 求 t 0 时刻电容和电感上的电流 电压 解 在t 0 时刻前 电路已经处于稳定状态 因此电感可视为短路 电容可视为开路 因此有 图例5 1 a b 根据换路定理 有 因此只需求uL 0 和iC 0 将电感用4mA的流源代替 电容用12V的压源代替 如图例5 1 b 所示 由此可得 由此可见 换路后既使没有独立源激励 由于电容和电感有初始储能 电路中仍有电流或电压响应 当电路中没有激励 但至少有一个动态元件的初始储能不为零时 该电路称为零输入电路 对应的响应称为零输入响应 5 2一阶电路的零输入响应一个电阻和一个电容或一个电阻和一个电感 都可构成一阶电路 本节要讨论一阶电路的零输入响应 5 2 1一阶RC电路的零输入响应 图5 5 a 是一个一阶RC电路 t 0时刻换路 在t 0 前电路已经处于稳定状态 因此有 换路后 电路变为图5 5 b 所示的零输入电路 根据KVL 由图5 5 b 可得 图5 5一阶RC电路 a b 又因为 所以 即 这就是一阶RC电路的微分方程 该方程是一个一阶线性常微分方程 因为是齐次微分方程 所以其解的一般形式为 特征根方程 A是与初始条件有关的常数 是方程的特征根 在t 0 时刻 有 因为 所以 由此可得 RC称为一阶RC电路的时间常数 因此微分方程的解为 所以 上式换路后电路中各元件上的电压和电流的瞬时值表达式 电流和电压的幅值都随着时间作指数衰减 如图5 6所示 这一过程称为电路的暂态过程 当t 时 电容上的电流和电压均为0 放电结束 电路的暂态过程也就宣告结束 电路进入了新的稳定状态 这种稳态和t 0时的稳态是不同的 时间常数 反映了电容的放电速度 或者说反映了暂态过程的进展速度 电容C越大 越大 电容内储存的电荷量越大 放电时间越长 同样 电阻R越大 越大 放电电流越小 放电时间越长 反之则放电时间越短 图5 6一阶RC电路的暂态过程 尽管在理论上要经过无穷长时间电路中的电流和电压才能衰减到0 但工程上 在经历 3 5 的放电时间后 电路中的电流和电压就已经衰减至初始值的5 0 7 此时可近似认为放电结束 5 2 2一阶RL电路的零输入响应 图5 7 a 是一阶RL电路 在t 0时电路已经处于稳态 在t 0时刻换路 换路后的电路如图5 7 b 所示 由图5 7 a 可知 图5 7一阶RL电路 a b 应用与一阶零输入RC电路相同的解法 可求得 由图5 7 b 可得 又 因此 其中 L R是一阶RL电路的时间常数 零输入响应的衰减特性如图5 8所示 与一阶RC电路一样 零输入响应随着时间而指数性衰减 直至为0 图5 8零输入响应的衰减特性 比较式零输入响应的各表达式不难看出 它们具有相同的形式 若用f t 表示响应 则可统一表示为 因为分析的是换路后的暂态过程 所以上式通常表示为 5 2 1 上式中的f 0 与f 0 的物理意义是一致的 如果电路中有一个动态元件和多个电阻 可将公式中的电阻R看作从动态元件两端看入的戴维南 诺顿 等效电阻 例5 2电路如图例5 2 a 所示 已知 US 30V RS R1 3 R2 2 R3 4 C 4 5F t 0式电路已经处于稳态 t 0时开关断开 求电路的零输入响应uC i1 i3 图例5 2 a b c 解 由图例5 2 a 可求得电容两端的初始电压为 换路后 电路变为图例5 2 b 将图 b 中的电阻等效到C两端 可得图 c 图中等效电阻Req为 图 c 的时间常数为 因此电容两端的电压为 利用图 b 可得 也可以先求i1 0 和i3 0 然后根据式 5 47 求得i1 t 和i3 t 5 3一阶电路的零状态响应如果电路中所有动态元件的初始储能均为零 这种电路称为零状态电路 零状态电路的响应称为零状态响应 零状态电路的激励不能为0 本节讨论一阶电路的零状态响应 5 3 1直流激励时一阶RC电路的零状态响应图5 9 a 中 t 0时电路已经处于稳态 t 0时刻换路 因此电容上没有初始储能 即uC 0 0 uC 0 换路后的电路如图5 9 b 所示 根据KVL可得 其中A是待定常数 不同激励下方程的特解是不同的 具体情况如表5 1所示 因此方程的特解为 这就是一阶RC电路的微分方程 根据对一阶RC电路的零输入响应的分析可知 该方程的齐次解为 图5 9零状态一阶RC电路 a b 5 3 1 将特解代入式 5 3 1 可得 因此式 5 3 1 的完全解为 在t 0 时刻 有uC 0 0 因此有 由此可得 因此方程的完全解为 由此可求得电路中的电流为 电阻两端的电压为 直流激励情况下一阶电路的零状态响应实际上就是零状态的电容充电的过程 充电时间常数仍为 RC 同样地 越大 所需的充电时间越长 暂态过程进展越慢 电容两端的电压和充电电流在过渡过程中随时间的情况如图5 10所示 图5 10电容的充电过程 由图5 10可见 在t 时 有uC US iC 0 即充电结束时 电容两端的电压为常量 充电电流为0 uC US和iC 0称为电路的稳态解 a b 5 3 2直流激励时一阶RL电路的零状态响应 图5 10一阶RL电路 a b 图5 10 a 是一个一阶RL电路 t 0时电路已经处于稳态 t 0时刻换路 因此 0 换路后的电路如图5 10 b 所示 根据KCL 可得图5 10 a 的电路方程为 即 其中A为待定常数 因为激励是直流 因此方程的特解是常数 即 该方程的齐次解为 因此 所以方程的完全解为 根据初始条件 0 可得 即 因此方程的完全解为 电路中其它量的解为 在t 时 iL IS uL 0 iR 0 即电感充电结束时 流过电感的电流为常量 电流 电感两端的电压为0 iL IS uL 0 iR 0称为方程的稳态解 比较一阶RC电路和一阶RL电路的零状态响应可以发现 它们具有相同的形式 即直流激励时 一阶电路的零状态响应iL t 和uC t 均可表示为 5 3 1 例5 3电路如图例5 3 a 所示 t 0时电路已处于稳态 t 0时刻开关断开 求换路后的iL t iL t 和iR t 图例5 3 a b c 解 换路前电感中没有电流流过 根据换路定理 有 换路后的电路如图 b 所示 对图 b 中电感左边的电路作诺顿等效 可得图 c 图 c 中的等效电流和等效电阻分别为 时间常数为 由图 c 可见 在t 时 iL 1A 因为激励为直流 所以 因此电感两端的电压为 利用图 b 可得 5 3 3阶跃函数和阶跃响应单位阶跃函数通常用u t 表示 其定义为 其波形如图5 11所示 在跳变点t 0 函数值不定义或定义为u 0 1 2 图5 11阶跃函数 单位阶跃函数可以看作在t 0时刻电路中接入了一个单位直流激励 这个激励将在电路中作用到t 如果信号推迟到t t0时刻接入 则相当于单位激励延迟了t0 如图5 12所示 用阶跃函数可以鲜明地表现信号的单边特性 即信号在某接入时刻前幅值为0 利用阶跃函数的这一特性 可以方便地描述各种信号的接入特性 如图5 13所示 矩形脉冲 a 可表示为 图5 12延迟的单位阶跃信号 图5 13用阶跃函数表示的信号 a b 定时长指数 b 可表示为 阶跃响应指电路在阶跃信号作用下的零状态响应 当电路中有多个不同延迟的阶跃信号作为激励时 可通过叠加定理求得在任一时刻电路的响应 例5 4电路如图例5 4 a 所示 求电感电流iL t 图例5 4 a b 时间常数为 解 激励源为阶跃信号 说明t0后 电路的激励相当于一个直流源 我们将与电感两端相联的电流源和电阻作诺顿等效 等效电路如图例5 4 b 所示 图 b 中的等效电流和等效电阻分别为 由图 b 可见 在t 时 iL 1A 因为激励为直流 因此 5 4一阶电路的全响应 在外加激励和动态元件初始储能的共同作用下产生的响应称为电路的全响应 因为本章讨论的电路都是由线性元件构成的 因此根据叠加定理 将只有外加激励的响应即零状态响应 与只有动态元件初始储能的响应即零输入响应叠加 就可求出电路的全响应 即全响应 零状态响应 零输入响应当然 如果电路中有多个激励 也可以将多个激励单独作用产生的响应取代数和来求总的零状态响应 然后再与零输入响应叠加构成全响应 图例5 5 例5 5电路如图例5 5所示 已知uC 0 4V uS t 2 e 2tV R 1 C 1F 求电容电压uC t 的全响应 解 该电路是一个一阶RC电路 它的响应可分解成三部分 零输入响应 2V激励时的零状态响应 e 2tV激励时的零状态响应 根据KVL 图例5 5的电路方程为 5 4 1 1 零输入响应uCz的求解 零输入时 电路方程为 即 1 因此 零输入响应为 根据前面对一阶RC电路零输入响应的分析我们知道 其解的形式为A1e t A1为待定常数 为微分方程的特征根 特征根方程为 5 4 2 在t 0 时刻有 所以零输入响应为 2 2V激励时的零状态响应uC1的求解 当激励为2V时 图例5 5的电路方程为 该方程的齐次解为uCh1 A2e t A2为待定常数 1 即uCh1 A2e t 其特解为常数 uCp1 K1 将uCp1 K1代入上式可得 5 4 3 因为是零状态响应 因此在t 0时刻 上式的值为0 即 即A2 2 所以式 5 4 3 的完全解为 实际上 因为激励2V是直流源 因此也可用公式直接得到零输入响应和2V激励的零状态响应 因此式 5 4 3 的完全解为 3 e 2tV激励时的零状态响应uC2的求解 当激励为e 2tV时 图例5 5的电路方程为 5 4 4 与前面分析一样 该方程的齐次解为uCh2 A3e t A3为待定常数 该方程的特解为 uCp1 K2e 2t 将uCp2代入式 5 4 4 可得 解得K2 1 即A3 1 所以式 5 4 4 的完全解为 因此式 5 4 4 的完全解为 因为是零状态响应 因此在t 0时刻 上式的值为0 即 所以式 5 4 1 的完全解为 上式中第一项为零输入响应 第二和第三项为零状态响应 如果将上式化简为 则其第一项为t 时的响应 即稳态响应 后两项为暂态响应 因此电路的全响应也可以表示为全响应 暂态响应 稳态响应如果将方程的完全解表示为 则第一项是方程的齐次解 后面两项是方程的特解 方程的齐次解称为固有响应或自由响应 方程的特解称为强制响应 因此电路的全响应又可表示为全响应 固有响应 强制响应 总之 全响应 零输入响应 零状态响应 暂态响应 稳态响应 固有响应 强制响应 5 5求解一阶电路的三要素法 前面我们分析了一阶电路的全响应 得到了这样的结论 即 全响应 零输入响应 零状态响应 对直流激励的情况 一阶电路的零输入响应可用式 5 2 1 表示 零状态响应可用式 5 3 1 表示 这样 一阶电路在直流激励时的全响应就可表示为 因此求解一阶电路的全响应就转变为求解电路的初始值f 0 稳态值f 及时间常数 这三个量 这就是求解一阶电路的三要素法 如果一个电路是由一个复杂的含源电阻网路与一个动态元件构成的 可以通过戴维南等效或诺顿等效最终将电路简化为只有一个电源 一个电阻和一个动态元件的一阶电路 5 5 1 用三要素法求解一阶电路可按以下步骤进行 1 如果电路不是简单的一阶电路 先将电路化简 2 根据简化的电路求uC 0 或iL 0 利用换路定理得到uC 0 或iL 0 3 根据t 0时的简化电路求时间常数 注意一阶RC电路和一阶RL电路中 的表示式是不同的 4 根据t 0时的简化电路求uC 或iL 因为是直流激励 因此在t 时电容相当于开路 电感相当于短路 也就是说uC 相当于电容的开路电压 iL 相当于电感的短路电流 5 将所求三要素代入式 5 5 1 即可得到一阶电路的全响应 例5 6电路如图例5 6 a 所示 电路在t 0时已处于稳态 t 0时刻换路 开关由1倒向2 求t 0时 1 iL t 的零输入响应 零状态响应 全响应 2 u t 解 换路前 电感上的电流为 图例5 6 a b c 根据换路定理 有 换路后电路变为图例5 6 b 将图 b 通过戴维南等效可变为图 c 图 c 中的等效电阻和等效电压源分别为 由图 c 可求得电路的时间常数为 在t 时 电路已处于稳态 相当于电感短路 因此 iL的零输入响应 零状态响应及全响应分别为零输入响应 零状态响应 全响应 由图 c 可得 例5 7电路如图例5 7 a 所示 电路在t 0时已处于稳态 t 0时刻换路 开关由1倒向2 求t 0时的u t 图例5 7 a b c 解 换路前 电路已处于稳态 因此 uC 0 9 V uC 0 换路后 电路如图 b 所示 1 将0 1F电容和2 串联的支路左边部分作戴维南等效 开路电压为 解得 ISC 1 5 所以戴维南等效电阻为 根据KCL可求短路电流ISC 即 因此图 b 可等效为图 c 在t 时 电容相当于开路 因此uC UOC 12 V 由此可得 2 利用图 c 求u t 由图 c 可求得电路的时间常数为 因此 由此可得 例5 8电路如图例5 8 a 所示 电路在t0时的uC t 和i t 解 该电路是一个由阶跃函数激励的一阶电路 在t0时电压源为0 1 在t 0时 由图 a 可求出uC t uC 0 20V uC 0 i t 0 图例5 8 a b c 2 在t 0时 电压源为0 电路简化为图 b 将图 b 中电容之外的部分作戴维南等效 可得图 c 图 c 中的等效开路电压UOC和等效电阻Req分别为 由图 c 可求得时间常数为 由于是直流激励 因此在t 时 电容相当于开路 即uC UOC 10V 利用三要素法可求得电容的端电压为 根据图 b 可以求得电流i t 为 综上 本题的结论为 5 6二阶电路的零输入响应用二阶微分方程描述的动态电路称为二阶电路 二阶电路的最简形式就是电源及一个电阻 一个电容 一个电感构成的串联电路或并联电路 5 6 1二阶RLC串联电路的零输入响应1 二阶RLC串联电路的方程 图5 6 1是一个二阶RLC串联电路 电容两端的初始电压为uC 0 U0 电感上的初始电流为iL 0 I0 并且在t 0时已经充电结束 在t 0 图5 14二阶RLC串联电路 时开关闭合 电容和电感开始放电 电路中的电流 电压响应仅由动态元件的初始储能决定 因此属于电路的零输入响应 根据KVL 可列出图5 14的方程 即 整理得 这就是二阶RLC串联电路的微分方程 它的特征根方程为 特征根方程的解为 5 6 1 1和 2是方程 5 6 1 的特征根 根据R L和C的参数 特征根 1和 2有以下三种可能 2 即时 1和 2为两个相等的负实根 这种状态属于临界阻尼状态 1 即时 1和 2为两个不相等的负实根 这种状态属于过阻尼状态 3 即时 1和 2为两个 共轭复根 这种状态属于欠阻尼状态 特别地 当R 0时 电路中没有耗能元件 这就是无阻尼状态 下面分别讨论这几种情况下串联RLC电路的零输入响应 2 过阻尼状态过阻尼状态下 1和 2为两个不相等的负实根 因此方程 5 6 1 的解的形式为 在t 0时刻 有 因此电路中的电流为 5 6 2 在t 0时刻 有 将式 5 6 2 和式 5 6 3 联立 即可求得待定常数K1和K2 即 5 6 3 为方便分析 假设U0 0 而I0 0 于是上式简化为 这样 电容两端的电压和电路中的电流就可表示为 上式利用了 1 2 1 LC的关系 由此可求得电感两端的电压为 电流到达最大值的时刻可由确定 即 图5 6 2过阻尼放电过程 在t 0的整个时间内 电容一直释放能量 直至这一放电过程结束 因此称这一过程为过阻尼放电或非振荡放电 在ttm后 电感一直放电 直至放电结束 例5 9电路如图例5 9所示 已知 uC 0 6V iL 0 1A 求t 0时电容电压和电感电流的零输入响应 图例5 9 解 根据电感的伏安特性 由图例5 9可得 根据KVL 有uC uL uR 0 即 该方程的特征根方程为 解得 1 2 2 1 因此电容电压的解为 流过电感的电流为 利用初始条件可得 联立以上两式并求解 得K1 3 K2 4 因此 V A 3 临界阻尼状态在临界阻尼状态 1和 2为两个相等的负实根 即 因此方程的解为 于是有 联立以上两式 可求得常数K2为 利用初始条件uC 0 U0 iL 0 I0 可得 将K1和K2代入电容电压和电感电流表达式即可求得电路的解 若仍假设U0 0 而I0 0 得到的电容电压和电感电流的曲线将与图5 6 2相似 即电路中的电流和电压不作振荡变化 所不同的是 此时它们代表的是过阻尼和欠阻尼之间的临界状态 在数学上 临界阻尼情况下过渡过程的解可用过阻尼或欠阻尼的公式取极限求出 例5 10电路如图例5 10所示 已知 uC 0 6V iL 0 1A 求t 0时电容电压和电感电流的零输入响应 解 由电容 电阻 电感的伏安特性可得 因此 由KVL可得电路的方程为 图例5 10 即 它的特征根方程为 解得 1 2 1 即电路为临界阻尼状态 电容电压解的形式为 电感电流为 由初始条件uC 0 6V iL 0 1A 可得 解得 K2 8因此 A V 4 欠阻尼状态欠阻尼状态下 1和 2为两个共轭复根 令 特征根方程的两个共轭复根为 称为衰减常数 称为衰减谐振角频率 令 0称为谐振角频率 此时电路方程的解为 由uC 0 uC 0 U0 iL 0 iL 0 I0 可求出常数K1 K2 上式中 利用以上分析可得到电容电压的解 根据电容的伏安特性可求得电容上的电流 从而求出了电感上的电流 例5 11电路如图例5 11所示 已知 uC 0 6V iL 0 1A 求t 0时电容电压和电感电流的零输入响应 解 本例题与例10及例9的电路一样 因此其电路方程仍为 将电路参数代入得 图例5 11 其特征根方程为 解得 1 0 5 0 5j 2 0 5 0 5j 即电路为欠阻尼状态 衰减常数 0 5 衰减角频率 0 5 电容电压解的形式为 电感电流的解为 由初始条件uC 0 6V iL 0 1A 可得 解得 K2 8又因此 因此 电容电压和电感电流随时间变化的曲线如图5 6 3所示 由此可见 它们的波形呈振荡衰减状态 在整个过程中 它们周期性地改变方向 储能元件也周期性地交换能量 电容储存电量时 电感释放磁能 而电容释放电能时 电感储存磁能 如果增大电路中的电阻 衰减常数会增大 电容电压和电感电流的衰减也会加快 过渡过程持续的时间将会迅速减小 图5 6 3 5 无阻尼状态无阻尼状态下 R 0 1和 2为两个共轭虚根 即 因此电路方程的解为 电感的电流为 根据初始条件有 由此可得到电容电压和电感电流 即 即 其中 由以上分析可见 电容电压和电感电流为等幅正弦波 且二者相位相差90 即电路中的电压 电流均处于正弦振荡状态 因为没有耗能元件 这种等幅正弦振荡将一直持续下去 且其中一个动态元件储能为0的时刻 是另一个动态元件储量达到最大值的时刻 例5 12电路如图例5 12所示 已知 uC 0 6V iL 0 1A 求t 0时电容电压和电感电流的零输入响应 解 该电路与例5 10相似 只是将其中的电阻置0 因此其电路方程为 图例5 12 它的特征根方程为 解得 1 j 2 j 0 1 rad s 即电路为无阻尼状态 方程的解为 流过电感的电流为 根据初始条件uC 0 6V iL 0 1A 可得 即 因此电容电压和电感电流分别为 5 6 2二阶GLC并联电路的零输入响应图5 6 4是一个二阶GLC并联电路 电容两端的初始电压为uC 0 U0 电感上的初始电流为iL 0 I0 现在我们讨论t 0后电路中电流 电压的响应 因为电路中只有初始储能 没有外加激励 因此电路的响应仍属于零输入响应 图5 6 4 根据电容 电感的伏安特性 由图5 6 4可得 它的特征根方程为 根据KCL 有 解得 当电路参数发生变化时 特征根存在一下几种情况 1 此时 1和 2为两个不相等的负实根 这种状态属于过阻尼状态 方程的解的形式与RLC串联电路在过阻尼状态时的零输入响应的解相似 即 2 即 此时 1和 2为两个相等的负实根 这种状态属于临界阻尼状态 方程的解的形式与RLC串联电路在临界阻尼状态时的零输入响应的解相似 3 此时 1和 2为两个共轭复根 这种状态属于欠阻尼状态 方程的解的形式与RLC串联电路在欠阻尼状态时的零输入响应的解相似 特别地 当G 0时 电路中没有耗能元件 这就是无阻尼状态 二阶GLC并联电路的这几种情况下电路的零输入响应均与RLC串联电路的几种情况相对应 因此不再一一讨论 即 例5 13电路如图5 6 4所示 已知 G 3S C 0 5F L 0 25H uC 0 2V iL 0 1A 求uC t 和iL t 解 电路方程为 其特征根方程为 解得 1 2 2 4 因此电感电流为 电容电压为 根据初始条件 有 以上两式联立求解 可得 K1 6 K2 5 因此电感电流和电容电压分别为 V A 5 7直流源激励时二阶电路的全响应和一阶电路一样 二阶电路的全响应也可根据叠加定理表示为 全响应 零输入响应 零状态响应 上一节我们分析了二阶电路的零输入响应 本节讨论二阶电路的零状态响应和全响应 5 7 1直流源激励时RLC串联电路的全响应图5 7 1是一个直流激励的二阶RLC串联电路 电容两端的初始电压为uC 0 U0 电感上的初始电流为iL 0 I0 利用KVL不难列出电路的方程为 图5 7 1 根据它的特征根可以将它的零输入响应即方程 5 123 的齐次解分为三种情况 过阻尼 临界阻尼和欠阻尼 这在上一节中我们已经讨论过 下面 我们来讨论方程的特解 因为激励是直流 所以电路方程的特解为常数 即 将上式代入电路方程可得 因此电路方程的完全解为 这样我们就可以得到在不同阻尼情况下方程的完全解 即 1 过阻尼 2 临界阻尼 3 欠阻尼 用初始条件可确定常数K1 K2 然后根据电容和电感的伏安特性可求得电路中的电流和电感两端的电压 根据KVL或欧姆定律即可求出电阻两端的电压 例5 14电路如图5 7 1所示 已知 uC 0 8V iL 0 0 5A US 6