怎样求正弦复合函数的极值-民族师范学院毕业论文

1 专业代码 070101 学号 070701010061 兴义民族师范学院 专科 毕业论文 题目 怎样求正弦复合函数的极值 学院 兴义民族师范学院 专业 数学教育 年级 2008 级 姓名 覃超 指导教师 张裕波 完成时间 2011 年 3 月 31 日 2 怎样求正弦复合函数的极值 覃超 摘要 初等函数是中学阶段的重要知识点 是中学数学的灵魂 在中学阶段 初等函数又包 括了很多分支 其中 求初等函数的极值是一个分支 求初等函数极值的问题 一般分代数 几何 三角三个方面 但是在某些情况和实际问题中 往往出现有关的复合函数 其中最常 见的就是正弦二次函数 也就是变量的正弦的二次函数 以及变量的正弦的指数函数 对数 函数等一类复合函数 对于这些函数的极值问题 一般是采用一元二次函数求极值的方法来 解 但是在判定极值是极大还是极小时 往往包含着 经验 的因素 有的甚至是硬凑答案 还常常发生遗漏的情况 实际上 这样的解法是中学生难以掌握的 它通过理论和举例 围 绕讨论正弦二次函数的极值为中心 提供一个解决有关复合函数极值的判定法 正像一元二 次函数的极值可以利用公式立即求得一样 关键词 初等函数 函数极值 复合函数 正弦二次函数 这篇文章讲述正弦二次函数极值的求法 通过理论和例子 让读者理解怎样 求正弦复合函数的极值 写这篇文章的目的主要是有很多学生对于求复合函数的 极值不是很清楚 特别是变量的正弦的二次函数 变量的正弦函数的指数函数等 在之前有些老师做过这方便的研究 但不是很具体 也没有汇总 有些方法也比 较难 所以在这里把求正弦复合函数的简便方法总结一下 以便读者掌握 我们先简单复述一下大家熟知的关于一元二次函数和正弦函数极植的判定公式 便于下文引用 1 一元二次函数 0 4 4 2 ay 2 22 a a bac a b xacbxx 当 a 0时 在极小点 a2 b x 处 有 a bac 4 4 y 2 极小 当 a 0 时 在极大点 a2 b x 处 有 a b 4 ac4 y 2 极大 1 2 正弦函数xsiny 在极大点 2 n2Znx 处 1y 极大 3 在极小点 2 3 n2xZn 处 1y 极小 1 现在我们来讨论正弦二次函数的极值问题 所谓正弦二次函数 就是指形式如 0c bsinsy 2 axxina的函数 下面的例子就属于这种类型的函数 我们 先对其求解 例 1求函数 20 2cossin xxxy的极值和极值点 解 对于此题 通常的解法为 2 3 2 1 sin21sin2sin2 sin21 sin22cossin 222 xxxxxxxy 当 2 1 sin x 即在 6 7 x和 6 11 处 有 2 3 极小 y 有些教科书就采用上面的解法 现在我们来研究上述的解法是否正确 容易看出 这样的解法有明显的概念 性错误 它仅把xsin看做单纯的变量 而忽略了原题给出的函数是变量x的 正弦的复合函数这一重要的事实 因为这个解法并没有得到所给函数的全部 极值 事实上 因为1sin x 所以 2 1 1 2 1 sin 2 1 1 x 即 2 3 2 1 sin 2 1 x 即当1sin x时 在 2 x处 有3 2 3 2 3 2 2 极大 y 而当1sin x时 在 2 3 x处 有1 2 3 2 1 2 2 极小 y 由此可见 前面的解法漏掉了这两个极值 而这两个极值恰恰显示了正 弦二次函数的特点 说明它有别于通常的二次函数 产生上述问题的症结在 于把复合函数看做单纯的xsin的函数 并且通常的解法没有提供对这类函数 极值的一般判定发 下面我们将对此问题给出一般性的 初等解法 耐人寻味 的是 对于这类函数的极值的判定 我们通过简明的理论探讨后 将给出一 个简易的表达式 使极值的判定实习定理化和公式化 为了探讨这个问题的一般解法 我们先引进下面的事实 引理引理当 2 0 x时 必有 2 1cos 2 x x 2 235 4 证明 如图 1 所示 O O 是单位圆 由于弦长小于弦所对的劣弧长 即 BC 故 MB 于是有xx sin 更有 22 sin xx 但0 2 sin x 所以 42 sin 2 2 xx 因而 2 1 4 21 2 sin21cos 22 2 xxx x 这就是我们所要求的结果 根 据这个引理 我们就可以建立起求正弦二次函数极值的一个初等方法 3 3 定理定理对于函数 0c bsinsy 2 axxina 当0 a时 记 a b p 2 有 1 在1sin x 即 2 2Znnx 处 当1 p时 有cbay 极大 当1 p 有cbay 极小 2 在1sin x 即 2 3 2Znnx 处 当1 p时 有 cbay 极大 当1 p时 有cbay 极小 3 94 2 若1 2 a b p 在 a b x 2 sin 即 2 arcsin 1 a b nx n 处 有 4 4 2 Zn a bac y 极小 为了证明方便起见 我们先在 20 x范围内讨论 然后把它的周期性联系 起来考虑 就成为上述一般情况下的结论 5 证明 a bac a b xacxbxaxfy 4 4 2 sinsinsin 2 22 a bac pxa 4 4 sin 2 2 其中 a b pa 2 0 先考虑 2 0 x时的情况 1 在 2 x处 即对于1sin x 1 若1 p 设 hIx 2 2 这里 ph 120 2 h a bac pxa a bac paxff 4 4 sin 4 4 2 sin 2 2 2 2 2 sin1 sin21 sin 1 22 xxpapxpa 因为0sin1 0 xa 有引理并注意正弦函数的升降情况 可知 2 sin 21sin21hpxp 2 1 21cosh21 2 h pp 0 2 12 121 2 p p 所以0 sin1 sin21 2 xxpaxff 即 2 xff 同样 若 2 2 hIx时 由于 0cosh21 2 sin 21sin21 phpxp 也有 2 xff 因此当 hhx 2 2 时 2 xff 6 即 2 fxf 等号当且仅当 2 x时成立 所以 若1 p 根据极值定义 可知在 2 x处 即当1sin x时 正弦二 次函数 xf取得极大值 即 cba a bac a b afy 4 4 2 1 2 2 2 极大 2 若1 p 设 2 2 hhx 但 2 x 因为 0sin1sin 1 21sin21 xxxp 0sin1 0 xa 所以0 sin1 sin21 2 xxpaxff 即 2 xff 等号当且仅当 2 x时成立 因此 这时函数取得极小值 即在 2 x处 有 cbafy 2 极小 2 在 2 3 x处 即对于 1sin x令 xx 则 cxbxacxbxay sin sinsinsin 22 cxbxa 2 sinsin 设 2 3 2 3 hhx 则 2 2 hhx 有 1 已知 当1 2 a b p 即1 2 a b p时 在 2 x 即 2 3 x处 有 cbacbay 2 sin 2 sin 2 极大 当 1 2 a b p即1 p时 在 2 x 即 2 3 x处 有cbay 极小 2 对于1 2 a b p时 可按本节开头提到的一元二次函数求极值的方法求 得 由于0 a 在 a b x 2 sin 时 有 a bac y 4 4 2 极大 这里不再赘述 为了便于判定极值 我们把定理的 1 2 两部分作如下表述 1 当1 p时 在 1 sin 2 xx 处 有cbay 极大 7 在 1 sin 2 3 xx 处 有cbay 极小 2 当11 p时 在 2 x处 有cbay 极大 在 2 3 x处 有cbay 极小 3 当1 p时 在 2 x处 有cba 极小 y 在 2 3 x处 有cb a 极大 y 由于正弦函数是以 2 为最小正周期的周期函数 故正弦二次函数以 2 为 它的周期 因此 上述证明的结论可推广到Rx 时的一般情形 即如定理所叙 述的那样 现在 我们把上面所得的结论 整理成如下的表 表中Zn 应用此表 求极值变得更简单了 0 a a b p 2 在 2 2 nx 处 1sin x 在 2 3 2 nx 处 1sin x 在 arcsin 1 pnx n 处 px sin 1 p 极大值 cba 极大值 cba 无 11 p 极大值 cba 极大值 cba 极小值 a bac 4 4 2 1 p 极小值 cba 极大值 cba 无 对于0 a的情形 完全可以仿照上述方法进行 其结果只须把极大值 或极小 值 相应地换成极小值 或极大值 例 2利用正弦二次函数极值的判定法 求函数12sin44cos2 xxy的极值 解12sin4 2sin21 212sin44cos2 2 xxxxy 32sin42sin4 2 xx 8 因为 2 1 42 4 2 04 a b pa 即11 p 所以 1 在 4 2 22 nxnx即处 有Zny 极大 5344 2 在 2 3 22 nx 即 4 3 2 nx处 有 Zny 极大 3344 3 在Znnnx nn 6 1 2 1 arcsin 1 2 即Zn nnn x nn 12 1 2 12 1 2 1 有4 16 64 44 4344 2 极小 y 例 3求函数1cos5cos2 2 xxy的极值 解因为 2 sin cosxx 所以 1 2 sin 5 2 sin21cos5cos2 22 xxxxy 所以1 4 5 22 5 02 pa 所以 1 在 2 2 2 nx 即 2Znnx 处 有 2152 极小 y 2 在 2 3 2 2 nx 即 12 Znnx 处 有 8152 极大 y 上面的讨论 不但使我们得到正弦二次函数极值的简明的判别法 而且使我 们感兴趣的还在于 这类函数苏极值点的取得 不仅和二次函数的升降性有关 而且在正弦函数的所有极值点处都得到了它的极值 只不过是极大还是极小要作 适当的判定 还可以证明 除此以外再没有其他极值点 在例 3 中 我们还可 以看到 余弦二次函数也有着相应的性质 对于如下一些复合函数的极值 通过验证 我们就会发现 它们同样遵循 着上面的结论 4 正弦对数函数 sinlogxfy m 我们只讨论1 m的情形 1 sin xf是正弦线性函数 即 0 sin sin abxaxf 因为 sin xf当1sin x时达到极值 并注意到对数函数的单调性以及真数必须是正 9 数的性质 对于 sin logbxay m 我们有 1 当1sin 0 xba时 y 有极值 log 0baya m 极大 log 0 m baya 极小 2 当1sin 0 xba时 y 有极值 log 0baya m 极小 log 0 m baya 极大 2 sin xf是正弦二次函数 即 0 sinsin sin 2 acxbxaxf根据本节 所证得的定理 并注意到对数函数的性质 对于 sinsin log 2 cxbxay m 我 们有 1 当1 2 a b 且0 4 4 2 a bac 时 函数达到极值 a bac m 4 4 log 2 极值点为 Zn a b nx n 2 arcsin 1 当0 a时极小 当0 a时极大 2 当0 cba时 函数达到极值 logcba m 极值点为 Znnx 2 2 在1sin x处 ab2 时极大 ab2 时极小 3 当0 cba时 函数 达到极值 logcba m 极值点为 Znnx 2 3 2 在1sin x处 ab2 时极小 ab2 时极大 5 对于正弦指数函数 10 sin aaay xf 且 由于指数函数的定义域是全体实 数 故在 sin xf的极值点处 y 均达到极值 当1 a时 在 sin xf极大 小 点处达到极大 小 值 当10 a时 在 sin xf的极大 小 点处达到极小 大 值 10 如果 sin xf是正弦线性函数或正弦二次函数 极值点和极值可以如前面所 述的那样求得 6 对正弦二次根式 sin xfy 可类似于 1 进行讨论 所不同的是若f是二 次函数 应注意0 cba时