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1 1 机械振动习题机械振动习题 2 x o k m f mg 0mxkx m k 1 一弹簧振子放在一斜面上 如图所示 求振动周期 解以质量块的静平衡位置为原点 固有频率为 它只决定于系统的物理特性与 与坐标无关 一弹簧振子放在一斜面上 如图所示 求振动周期 解以质量块的静平衡位置为原点 固有频率为 它只决定于系统的物理特性与 与坐标无关 mK 3 2 书 书14页 例页 例2 2 1 机械拾振仪原理图 机械拾振仪原理图 4 2 14 图示轮子可绕水平轴o转动 对转轴的转动惯量为Io 轮缘绕有一软绳 下端挂有质量P的物体 绳与轮缘之间 无滑动 在图示位置 由水平弹簧k维持平衡 半径R与a 都是已知的 求系统绕微幅振动的周期 5 解 解 求等效质量 系统动能为 注意 xa yR 2 eq J mP R 求等效刚度 系统势能为 2 2 eq a kk R 6 系统微幅振动的周期为 2 2 2 2 2 eq n o eqo a k k ka R rad s I mIR P P R 2 7 3 试建立图示系统的微振动方程 试建立图示系统的微振动方程 m仅竖向运动 仅竖向运动 k I1 R1 m I2 R2 k r1 解 解 取取m向下运动位移向下运动位移x为广义坐标 坐标原点 位于静平衡位置处 系统动能 为广义坐标 坐标原点 位于静平衡位置处 系统动能 2 121 222 112 e IIR mm rrR 势能势能 2 1 22 12 e k R kk rR x 8 微振动固有频率 微振动方程 或者 微振动固有频率 微振动方程 或者 d 0 d TU t 222 121 2222 121221 0 kr Rk R xx mr RI RI R 22 1211 22222 11212 0 kIIRR mxkx rrRrR 9 Solution Given Unbalanced me 0 23 kg m Running speed 1000 rpm 104 72 rad s Unbalanced force Mass of the fan M 45 kg Damping ratio 0 2 Transmissibility TR 0 1 2sin met A centrifugal fan weighing 45 kg and having a rotating unbalance of 0 23 kg m is supported on the floor by a spring and a damper At a running speed of 1000 rpm the transmitted force to the floor is only 10 of the unbalanced force If the damping ratio of the system is given as 0 2 determine the natural frequency and spring stiffness of the system 2 2 10 Note The magnitude of the unbalanced force is not required is the calculation The magnitude of the transmitted force to the ground is 0 1me 2 2 Equation of motion is Mx cx kx me sin t 2 2 2 2 12 0 1 12 n r rr Transmissibility is given as TRwhere r 22 18 4 72 n k rad s M Therefore natural frequency of the system 2 n Hence the spring stiffness of the system k M 22 138N m 11 例 图示小车中放置一设备 二 者用弹簧连接 小车从静止以加 速度 例 图示小车中放置一设备 二 者用弹簧连接 小车从静止以加 速度a撞向墙壁 撞后无反弹 撞向墙壁 撞后无反弹 m k x y z 小车质量小车质量M 设备质量 设备质量m l M远大于远大于m 忽略忽略m对对M运动的影响 小车初始位置与墙壁距离为 运动的影响 小车初始位置与墙壁距离为l 试确定 试确定 1 碰撞前设备相对于小车的振动响应 碰撞前设备相对于小车的振动响应 2 碰撞后设备的振幅 弹簧刚度 碰撞后设备的振幅 弹簧刚度k 12 解 解 运动方程运动方程mzkzma 1 碰撞之前 对于零初始条件 方程解为 碰撞之前 对于零初始条件 方程解为 12 cossin nn ma zctct k 解 解 cos1 n ma zt k 3 13 解 解 碰撞后设备做自由振动 初始条件为碰撞后设备做自由振动 初始条件为 11111 cos1 sin nnn mama x ttx ttat kk 2 碰撞之后 碰撞之后 1 2tl a 小车接触墙壁的时刻 小车接触墙壁的时刻 1 111 cossin nn n x t x tx ttttt 22 111 cos1sin nnn ma ttt k 2 2 1 1 n x t Xx t 14 例 图示小车中放置一设备 二者用弹簧 连接 小车做简谐运动 例 图示小车中放置一设备 二者用弹簧 连接 小车做简谐运动 m k x y z 设备质量设备质量m 若设备对速度非常敏感 要求设备速度不超过若设备对速度非常敏感 要求设备速度不超过 sinyYt c 阻尼比阻尼比 0 1 试确定弹簧刚度试确定弹簧刚度k 0 1Y 15 解 解 由题意 故可取 由题意 故可取 2 222 1 2 0 1 1 2 VYY 2 0 1113km 2 0 11km 16 5 0 1 l z axf 2 sin l 5 ml 5 m m k 2 c x 0 k 2 xf a l xf z 6 汽车的拖车在波形道路上行驶 已知拖车的质量满载时为 m1 1000 kg 空载时为m2 250 kg 悬挂弹簧的刚度为k 350 kN m 阻尼比在满载时为 车速为 v 100 km h 路面呈正弦波 形 可表示为 求 拖车在满载和空载时的振幅比 17 0 1 2 1 12 m m 87 1 1 01 1 k m s 93 0 2 02 2 k m s 解 因此得到空载时的阻尼比为 满载和空载时的频率比 18 68 0 2 1 2 1 2 11 22 1 2 111 ss s a B 13 1 2 1 2 1 2 22 22 2 2 222 ss s a B 60 0 2 1 B B 记 满载时振幅B1 空载时振幅B2有 因此满载和空载时的振幅比 4 19 2 4 A single cylinder vertical petrol engine of total mass 400 kg is mounted upon a steel chassis frame which can be assumed to behave as a spring The mounted engine causes a vertical static deflection of 0 25 cm The reciprocating parts of the engine have a mass of 5 kg and move through a vertical stroke of 12 cm with simple harmonic motion A dashpot is provided the damping resistance of which is directly proportional to the velocity and amounts to 20 kN at 1 m s If steady state vibrations has been reached determine the undamped natural frequency stiffness of the system and hence the amplitude of forced vibrations when the driving shaft of the engine rotates at 540 rev min Calculate the maximum dynamic force transmitted to the ground Solution Parameters 2 2 g9 81 3924 rad s 0 0025 n 400 kgM a Undamped Natural frequency Out of balance mass Eccentricity 5 kgm 0 12 20 06 me Static deflection 0 0025 m 20000 N s mC 20 Therefore 2 2 2 3985 0 0008216 m 39243198503198 X b Maximum transmitted force g 62 6418 rad s n Stiffness 2 400 39241569600 N m n kM Running speed 2 22 183198 rad s Equation of motion 2sin MxCxkxme 5039242 3985sinxxx Amplitude of forced vibration at 540 rpm Therefore Max Transmitted force is 22 1589 4817 NkXc X 21 2 5 A vibration instrument can be represented by the system shown in the figure A mass suspended by a spring from the top of the instrument case operates a piston in a dashpot The damping is viscous and is 0 6 times the critical value When the dashpot is removed the natural frequency of vertical oscillation of the system is 10 Hz With the dashpot in operation the instrument is attached to a body moving vertically with simple harmonic motion at a frequency of 6 Hz If the amplitude recorded by the instrument the amplitude of relative motion between the mass and the case is 0 10 cm calculate the maximum acceleration of the body with which the instrument is in contact Figure 5 Solution The basis for vibrating instrument is govern by 2 2 2 2 12 n nn Y Z 22 where 0 001 m 10 Hz 20 rad s 0 6 n Z 6 Hz 12 rad s 0 6 n Substitute all relevant parameters gives 22 3 803 m sY 23 7 P346习题习题3 13 阻尼系数 阻尼系数c不为零不为零 解 解 小车运动方程小车运动方程 11 0myc yyk yy 振幅为 振幅为 1111 cossinmycykycykycYtkYt 2 v L 2 2 1 sinmycykyYckt 1 tan c k 2 1 222 1 2 1 2 YY 无阻尼时 无阻尼时 2 22 2 2 4 n Pv kgL 2 1 1 2222 1 14 kgLY YY kgLPv 2 c Pk g 24 8 P346习题习题3 13 路面波形为 路面波形为 解 解 小车运动方程小车运动方程 11 0myc yyk yy 强迫振动解强迫振动解 11111 cossinmycykycykycYtkYkYt 2 v L 2 2 11 sinmycykykYYckt 1 tan c k 2 11 222 1 2 sin 1 2 yYYt 1 2 1 sin x Y L 1 2 2 tan 1 5 25 3 17某洗衣机机器部分重W 2 2 103N 用四个螺旋弹簧在对称位置 支撑 每个弹簧的螺圈平均半径R 51mm 弹簧丝直径d 18mm 圈 数n 10 剪切弹性模量G 8 105N cm2 同时装有四个阻尼器 总 的阻尼可用 0 1表示 在脱水时转速N 600r min 此时衣物偏 心重为10N 偏心距为40cm 试求 1 洗衣机机器部分的最大 振幅 2 传递率及隔振效率 26 解 解 根据螺旋弹簧变形的计算公式 可计 算每个弹簧的刚度 44 33 4 52 3 8 82 8 10 1 8 8 102 5 1 9892 12 GdGd K nD nR N cmcm cm N m 22 44 9892 12 9 8 176 3 1 2200 n K s M 22 22 22600 3948 1 6060 N s 2 2 2 3948 22 4 176 3 n 27 2 2 2 2 2 10 0 43948 9 8 220010 9892 123394840 019892 123 3948 9 89 8 0 184 me X kMc cm 洗衣机机器部分的的最大振幅为 28 传递率为 22 222 2 2 22 22 2 1214 0 122 4 122 44 0 122 4 12 0 0643 Xkc TR Ykmc 隔振效率为 1100 93 57 TR 29 4 1 试证明 有阻尼振系对作用于t 0时的冲量的响应 其 出现峰值的时刻为 2 max 11 arctan q t 并求峰值 max x F 30 对h t 求导 由题意可知 系统的脉冲响应函数为 sin 0 nt d d F et t m x t sincos n d nddd t F m x tett 令导数为零 得 2 max 11 arctan d t 0 xt 122 arctan max 11 a a d F xea m 带入h t 得 6 31 4 2 用脉冲响应函数法求无阻尼振动系统对图示激扰力 的响应 设时 f t 0t 0 0 x 0 0 x 解 线性振动系统满足叠加原理 激振力引起的系统响应等于 时间区间上所有脉冲激发起的系统响应总和 f t 激振力可视作图示三个阶跃函数激励的叠加 f t 单自由度无阻尼线性振动系统的脉冲响应函数如下所示 1 sin 0 n n h ttt m 123 f tf tf t 32 0 1t2t t f t 1 F 2 F 0 1t t 2 ft 12 FF 0 t 1 f t 1 F a b c 0 2t t 2 F 3 f t 33 对于图 a 阶跃力 由Duhamel积分公式得 11 0 f tFt 11 0 1 0 1 d 1 sin d 1 cos 0 t t n n n x th tf tF m F tt k 对于图 b 阶跃力 由Duhamel积分公式得 2121 f tFFtt 1 1 22 0 121 0 d 0d d t tt t x th tf h th tFFtt 34 同理可得 对于图 c 阶跃力 有 322 f tFtt 12 211 1 cos n FF x ttttt k 2 322 1 cos n F x ttttt k 由叠加原理得如下结果 当时 所求响应为 即 1 0tt 1 x tx t 11 2 1 cos 1 cos nn n FF x ttt km 整理得 35 当时 所求响应为 即 12 ttt 123 x tx tx tx t 1 1 2 12 cos cos cos cos nn nn F x tttt k F tttt k 36 4 4 求无阻尼弹簧质量系统对图示斜坡力函数 的响应 设t 0时 f tat 00 xxxx 解 方法解 方法1 无阻尼弹簧质量振动系统的运动微分方程为 00 mxkxf t xxxx 其解为 2 n k m 固有频率为 12 sincos nn a xAtAtt k 7 37 由初始条件t 0 可得 0 0 1 cossinsin nnn nn xa xxtttt k 00 xxxx 0 120 nn xa AAx k 故 38 方法方法2 用Duhamel积分 0 0 0 0 0 0 1 sincossin 1 sincossin t nnn nn t nnn nn x xftdxtt m x atdxtt m 由分部积分 有 0 11 sinsin t nn nn a atdtt mk 0 0 1 cossinsin nnn nn xa xxtttt k 于是有 39 方法方法3 无阻尼弹簧质量振动系统的运动微分方程为 00 mxkxf t xxxx 两边取拉普拉斯变换有 00 2 2 00 2222222 111 nn nnnnn a mxmsx s X s msk sxxa kssss 2 n k m 引入记号 做拉普拉斯逆变化得 0 0 1 cossinsin nnn nn xa xxtttt k 40 3 6 A punch press can be modeled for vibration analysis in the x direction as indicated by a two degree of freedom system of Figure 2 The values of the various masses and stiffness coefficients are a Ignoring damping formulate the equations of motion of the system and express them in a matrix form Hence find its natural frequencies and mode shapes Normalized the mode shapes by setting the displacement for mass to unity 1212 400 2000 300kN 80kN mkg mkg km andkm 2 m 41 b Assume that the whole system is initially at rest The mass is given an impulse of 1000 Ns where is the Dirac delta function The damping ratios for the first mr kg m Equations of motion 0 0 2 0 25 0 0 25 0 25 0 2 0 2sin mxk xk x Ik xk xMt 5000N mk 56 Rearranging gives 22 20 050 1 0 05 0 250 2 0 2 mxkxk Ikxk sin sin xAt Bt 令 代入振动微分方程 可得如下代数方程 2 2 0 20 050 3 0 10250 05 4 mk AkB Ik BkAM 不产生摆动 即B 0 2 20mk 2 2 m k 57 试建立转子在平面内微振动的运动方程 试建立转子在平面内微振动的运动方程 9 转子转子 轴系统