高中数学 函数及其表示方法课件 新人教A版必修1.ppt

函数的概念及表示法 习题课 评析 函数的图象是函数的直观描述 结合学过的基本初等函数 可作出一般的函数图象 分析 函数图象表示的是表示函数关系的两个变量之间的关系 故可由函数定义判定 1 函数f x x 的图象是 解析 f x x 结合图象知选c c 考点一图象法 作出下列函数的图象 1 y 1 x x z 2 y 2x2 4x 3 0 x 3 1 这个函数的图象由一些点组成 这些点都在直线y 1 x上 x z 从而y z 这些点称为整点 如图甲 2 0 x 3 这个函数的图象是抛物线y 2x2 4x 3介于0 x 3之间的一段曲线 如图乙 考点二求函数解析式 1 如果 则f x 2 如果 则f x 1 3 如果f f x 2x 1 则一次函数f x 4 如果函数f x 满足方程af x ax x r 且x 0 a为常数 且a 1 则f x 分析 求f x 的关键就在于弄清相对于 x 而言 f 是一种怎样的对应关系 解析 1 2 f x x2 4 f x 1 x 1 2 4 3 f x 为一次函数 设f x kx b k 0 f f x f kx b k kx b b k2x kb b 2x 1 比较系数得或 4 用替换上式中的x得 由可得 评析 求f x 解析式的方法比较多 如上述例子中就分别用了换元法 配方法 待定系数法 解方程组的方法 其他方法请试用 换元法求f x 是常用的方法 但要特别注意正确确定中间变量的取值范围 否则就不能正确确定f x 的定义域 4 题的解法基于这样一种认识 函数是定义域到值域上的映射 定义域中的每一个元素都应满足函数表达式 在已知条件下 x满足已知的式子 那么在定义域内也满足这个式子 这样就得到两个关于f x 与的方程 因而能解出f x 1 已知f x 2 求f x 2 已知求f x 3 已知函数f x 满足 求f x 的表达式 1 解法一 解法二 令t 1 则x t 1 2 t 1 代入原式有f t t 1 2 2 t 1 t2 2t 1 2t 2 t2 1 f x x2 1 x 1 考点三由函数图象求函数解析式 已知函数f x 在 1 2 上的图象如图所示 求f x 的解析式 分析 由图象特点先确定函数类型 再求解析式 评析 熟练掌握学过的函数图象 有利于这类问题的解决 解析 当 1 x 0时 设y ax b 过点 1 0 和 0 1 同样 当0 x 2时 有 函数y f x 的图象如图所示 则函数y f x 的解析式为 a f x x a 2 b x b f x x a 2 x b c f x x a 2 x b d f x x a 2 x b 由图象知 当x b时 f x 0 故排除b c 又当x b时 f x 0 故排除d 故应选a a 考点四函数的应用问题 用长为l的铁丝弯成下部为矩形 上部为半圆形的框架 若矩形底边长为2x 求此框架围成的面积y与x的函数关系式 并写出其定义域 分析 要表示y 需先用x表示出矩形的另一边长 解析 ab 2x 弧长cd x ad y 函数关系式为 其定义域为 评析 由实际问题求函数解析式 先进行分析 找出所需的中间量 如本题中的ad 同时要十分重视函数的定义域 考点五分段函数的求值问题 分析 求分段函数的函数值时 一般先确定自变量的取值在定义域的哪个子区间 然后用与这个区间相对应的对应关系来求函数值 已知求f f f 3 评析 解决此类问题应自内向外依次求值 解析 3 2 f 3 32 4 3 3 3 2 f f 3 f 3 3 2 2 f f f 3 f 已知函数 1 求 2 若f a 3 求a的值 3 求f x 的定义域与值域 1 2 f a 3 当a 1时 a 2 3 a 1 1 舍去 当 1 a 2时 2a 3 a 1 2 当a 2时 a2 3 a 2 综上知 当f a 3时 a 或a 3 f x 的定义域为 1 1 2 2 r 当x 1时 f x 1 当 1 x 2时 f x 2 4 当x 2时 f x 2 1 2 4 2 r f x 的值域为r 考点六分段函数的解析式求解 如图所示 等腰梯形abcd的两底分别为ad 2 bc 1 bad 45 直线mn ad交ad于m 交折线abcd于n 记am x 试将梯形abcd位于直线mn左侧的面积y表示为x的函数 并写出函数的定义域和值域 分析 求函数解析式是解决其他问题的关键 根据题意 此题应对n分别在ab bc cd三段上分三种情况写出函数的解析式 评析 分段函数的定义域是各部分x的取值范围的并集 值域也是y在各部分值的取值范围的并集 因此 函数的解析式 定义域 值域通常是逐段求解 最后综合求出 所求函数的关系式为 函数的定义域为 0 2 值域为 0 考点七求具体函数的定义域 分析 要求使函数表达式有意义的自变量的取值范围 可考虑列不等式或不等式组 求函数的定义域 评析 求函数的定义域主要是解不等式 组 或方程来获得 如果不加说明 所谓函数的定义域就是自变量使函数式有意义的集合 1 若f x 为整式 则定义域为r 2 若f x 为分式 则定义域是使分母不为零的x的集合 3 若f x 为偶次根式 则定义域为使被开方式非负的x的集合 考点八求抽象函数的定义域 分析 正确理解函数定义域的概念 理解函数f x 定义域是x的取值范围 1 已知函数f x 的定义域是 0 4 求函数f x2 的定义域 2 已知函数f 2x 1 的定义域是 1 3 求函数f x 的定义域 3 已知函数f x2 2 的定义域是 1 求函数的定义域 评析 1 已知f x 的定义域 求f g x 的定义域 一般设u g x 则u的取值范围就是f x 的定义域 通过解不等式可求 2 已知f g x 的定义域为d 求f x 的定义域 就是求g x 在d上的值域 解析 1 f x 的定义域为 0 4 0 x2 4 x 2 0 0 2 f x2 的定义域为 2 2 2 f 2x 1 的定义域为 1 3 1 x 3 1 2x 1 7 f x 的定义域为 1 7 3 f x2 2 的定义域为 1 x 1 x2 2 1 x2 1 即x 2 的定义域为 2 1 f x 的定义域为 1 4 使f x 2 有意义的条件是1 x 2 4 即 1 x 2 故f x 2 的定义域为 1 2 2 的定义域为 0 3 1 x 1 4 1 2 f x 的定义域为 1 2 1 若函数f x 的定义域为 1 4 求f x 2 的定义域 2 若f的定义域为 0 3 求f x 的定义域 考点九求函数的值域 分析 根据各个式子不同的结构特点 选择不同的方法 求下列函数的值域 1 y x2 4x 6 x 1 5 2 y 3 y 4 y 5 y 解析 1 配方得y x 2 2 2 x 1 5 由图可知函数的值域为 y 2 y 11 2 借助反比例函数的特征求解 函数的值域为 3 又 当x 1时 原式 函数的值域为 5 函数关系式中有根式 去掉根号的常用方法就是换元法 令x 1 t 则t 0 x t2 1 y 2 t2 1 t 2t2 t 2 t 0 y 函数y 2x x 1的值域是 4 该函数的分子 分母分别是关于x的二次式 因而可考虑转化为关于x的二次方程 然后利用判别式法求值域 已知函数式可变形为yx2 2yx 3y 2x2 4x 7 即 y 2 x2 2 y 2 x 3y 7 0 当y 2时 将上式视为关于x的一元二次方程 x r 0 即 2 y 2 2 4 y 2 3y 7 0 解得 y 2 当y 2时 3 2 7 0 y 2 函数的值域为 评析 求函数的值域是一个比较复杂的问题 要通过不断练习及时总结 根据不同的题目类型选择不同的方法 1 与二次函数有关的函数 可用配方法 注意定义域 2 形如y ax b 的形式 可用换元法 即设t 转化成二次函数 再求值域 注意t 0 3 形如y 型的函数可借助反比例函数 求其值域 这种函数的值域为 4 形如y a m中至少有一个不为零 的函数求值域 可用判别式法求值域 但要注意以下三个问题 一是检验当二次项系数为零时 方程是否有解 若无解或使函数无意义 都应从值域中去掉该值 二是闭区间的边界值也要考查达到该值的x是否存在 三是分子分母必须无公因式 求下列函数的值域 1 y x2 2x x 0 3 2 y x 3 y x 1 x 2 1 y x2 2x x 1 2 1 如图所示 函数的值域为 1 3 3 解法一 运用绝对值的几何意义 x 1 x 2 的几何意义表示数轴上的动点x与 1以及2的距离的和 结合数轴 易得 x 1 x 2 3 函数的值域为 3 2 换元法 令 t t 0 则x 函数化为 t 0 y 函数y x 的值域为 解法二 转化为函数图象 运用数形结合法 在函数y x 1 x 2 中 由 x 1 0 x 2 0得x 1 2 把定义域分成三个区间 1 1 2 2 该函数图象如图所示 由图象知函数的值域为 3 考点十函数定义域 值域的综合应用 分析 利用函数定义域为r mx2 6mx m 8 0在r上恒成立建立不等式或不等式组求m 评析 二次函数定义域为r 二次不等式在r上恒成立 也可转化为二次函数与二次方程关系求解 函数y 的定义域是r 求实数m的取值范围 解析 1 当m 0时 y 定义域为r 2 当m 0时 由已知得 0 m 1 综上所述 m的取值范围为 0 1 若函数的