随机变量及其分布(复习).ppt

1 第二章 内容提要 随机变量及其分布 2 设随机试验E的样本空间是S 若对于每一个w S 有一个实数X w 与之对应 即X X w 是定义在S上的单值实函数 称它为随机变量 randomvariable 简记为r v 随机变量通常用大写字母X Y Z或希腊字母等表示 其值用小写字母x y z表示 一 随机变量的概念 1 随机变量 2 随机事件的表示 3 3 随机变量分类 随机变量按取值情况可分为离散型和非离散型两个类型 其中非离散型随机变量中最重要的 也是应用最广的是连续型随机变量 二 随机变量的概率分布 1 离散型随机变量及其分布律 I 定义 如果随机变量X只取有限或可列无穷多个值 则称X为离散型随机变量 II 概率分布 称之为离散型随机变量X的分布律 4 或写成如下的表格形式 III 离散型随机变量的概率分布性质 5 2 连续型随机变量及其概率密度 则称X为连续型随机变量 其中f x 称为X的概率密度函数 简称概率密度 II 概率密度的性质 6 连续型随机变量取任何一个指定值的概率为0 即 对于任意常数c 有 6 若X是连续型随机变量 则 连续型随机变量的概率与区间的开闭无关 必须注意 上式对于离散型随机变量一般不成立 7 3 随机变量的分布函数 1 定义 设X是一个r v 称 为X的分布函数 记作X F x 或FX x 2 分布函数的性质 2 3 4 1 8 5 6 3 离散型随机变量的分布函数 9 可见离散型随机变量的分布函数是单调 非降的阶梯函数 10 4 连续型随机变量的分布函数 I II 三 几个常见分布 1 离散型 1 0 1分布 两点分布 设随机变量X只可能取0与1两个值 它的分布律是 11 则称X服从 0 1 分布或两点分布 记为X b 1 p 0 1 分布的分布律也可写成 2 二项分布 背景 作n次伯努利试验的成功次数X所服从的分布 若随机变量X的分布律为 记为 则称X服从参数为n p的二项分布 12 若随机变量X的概率分布为 则称X服从参数为的泊松分布 记为 3 泊松分布 4 几何分布 在贝努利试验中 每次成功的概率为p 若记X为首次成功时所做的试验数 则X服从的概率分布称为几何分布 记为X g p 13 2 连续型 1 均匀分布 UniformDistribution 如果随机变量X的概率密度为 则称X服从区间 a b 上的均匀分布 记作 14 2 指数分布 ExponentialDistribution 如果随机变量X的概率密度为 记为 指数分布的一个重要性质就是 无后效性 或 无记忆性 具体叙述如下 15 如果随机变量X的概率密度为 3 正态分布 NormalDistribution 16 的正态分布称为标准正态分布 其密度函数和分布函数常用和表示 17 正态分布的性质 1 2 3 4 18 正态分布情况下有关概率 区间的求法 1 设X N 0 1 求P a X b 3 设X N 2 且已知X落入某个区间的概率 求这个区间的端点 分二种情形讨论之 19 1 区间的一个端点是无穷大 即已知P Xx p2 求x 利用 或 然后反查标准正态分布表 即可求出x 2 区间关于 对称 不妨设为 a a 而P a X a p 求a 20 四 随机变量的函数的分布 1 离散型随机变量函数的分布 设离散型随机变量X的分布律为 21 2 连续型随机变量函数的分布 分布函数法 22 随机变量概念的引入 连续型随机变量及其密度函数 离散型随机变量及其概率函数 密度函数与分布函数的关系 随机变量的分布函数 概率函数与分布函数的关系 几种重要的连续型分布 随机变量函数的分布 几种重要的离散型分布 均匀分布 正态分布 指数分布 二项分布的正态近似 二项分布 泊松分布 几何分布 二项分布的泊松近似 第二章内容总框图 随机变量及其分布 23 例题选讲 甲 乙 丙3人进行独立射击 每人的命中率依次为0 3 0 4 0 6 设每人射击一次 试求3人命中总数之概率分布律 例1 分析求离散型随机变量的概率分布的步骤为 1 写出随机变量X的所有可能的取值 2 求出X取各可能值的事件的概率 解 用X表示3人命中总数 则X的取值为0 1 2 3 分别用A B C表示 甲 乙 丙命中 则 0 7 0 6 0 4 0 168 24 0 3 0 6 0 4 0 7 0 4 0 4 0 3 0 6 0 6 0 436 0 3 0 4 0 4 0 3 0 6 0 6 0 7 0 4 0 6 0 324 0 3 0 4 0 6 0 072 3人命中总数X的概率分布律为 25 例2投掷一个均匀骰子n次 求 1 恰好得到一个6点的概率 2 至少得到一个6点的概率 3 为了以0 5的概率保证至少得到一个6点 则至少要投掷几次 所以至少要投掷4次 26 例3 Y的可能值为 即0 1 4 解 27 故Y的分布律为 例5设随机变量X的密度函数为 1 求常数A 2 分布函数F x 28 例5设随机变量X的密度函数为 1 求常数A 2 分布函数F x 29 30 例6设X N 108 9 求 P X 111 P 101 1 X 117 6 31 例7设X N 108 9 已知P X x 0 9 求x 已知P X x 0 95 求x 32 例8某种电池的寿命X N 300 352 求电池寿命在250小时以上的概率 求x 使得寿命在 300 x 300 x 之间的概率为0 9 33 例9已知随机变量