最小生成树(Prim、Kruskal算法)整理版.doc

一、树及生成树的基本概念树是无向图的特殊情况，即对于一个N个节点的无向图，其中只有N-1条边，且图中任意两点间有且仅有一条路径，即图中不存在环，这样的图称为树，一般记为T。树定义有以下几种表述：(1)、T连通、无圈、有n个结点，连通有n1条边；(2)、T无回路，但不相邻的两个结点间联以一边，恰得一个圈；(3)、T连通，但去掉任意一边，T就不连通了（即在点集合相同的图中，树是含边数最少的连通图）；(4)、T的任意两个结点之间恰有一条初等链。例如：已知有六个城市，它们之间要架设电话线，要求任意两个城市均可以互相通话，并且电话线的总长度最短。若用六个点v1v6代表这六个城市，在任意两个城市之间架设电话线，即在相应的两个点之间连一条边。这样，六个城市的一个电话网就作成一个图。任意两个城市之间均可以通话，这个图必须是连通图，且这个图必须是无圈的。否则，从圈上任意去掉一条边，剩下的图仍然是六个城市的一个电话网。图5-6是一个不含圈的连通图，代表了一个电话线网。生成树（支撑树）定义：如果图G是一棵包含G的所有顶点的树，则称G是G的一个支撑树或生成树。例如,图5-7b是图5-7a的一个支撑树。定理：一个图G有生成树的条件是G是连通图。证明:必要性显然；充分性:设图G是连通的，若G不含圈，则按照定义，G是一个树，从而G是自身的一个生成树。若G含圈，则任取G的一个圈，从该圈中任意去掉一条边，得到图G的一生成子图G1。若G1不含圈，则G1是G的一个生成树。若G1仍然含圈，则任取G1的一个圈，再从圈中任意去掉一条边，得到图G的一生成子图G2。依此类推，可以得到图G的一个生成子图GK，且不含圈，从而GK是一个生成树。寻找连通图生成树的方法：破圈法：从图中任取一个圈，去掉一条边。再对剩下的图重复以上步骤，直到不含圈时为止，这样就得到一个生成树。取一个圈(v1,v2,v3,v1)，在一个圈中去掉边e3。在剩下的图中，再取一个圈（v1,v2,v4,v3,v1），去掉边e4。再从圈（v3,v4,v5,v3）中去掉边e6。再从圈(v1,v2,v5,v4,v3,v1）中去掉边e7，这样，剩下的图不含圈，于是得到一个支撑树，如图所示。避圈法：也称为生长法，从图中某一点开始生长边，逐步扩展成长为一棵树，每步选取与已入树的边不构成圈的那些边。二、最小生成树概念：设G=(V,E)是无向连通带权图，即一个网络。E中每条边(v,w)的权为cv,w。所有生成树G上各边权的总和最小的生成树称为G的最小生成树。应用：如在设计通信网络时，用图的顶点表示城市，用边(v,w)的权cv，w表示建立城市v、w之间的通信线路所需的费用，则最小生成树就给出了建立通信网络最经济的方案。性质：设G=(V,E)是连通带权图，U是V的真子集。若(u,v)E，且uU，vV-U，且在所有这样的边中，(u,v)的权cu，v最小，那么一定存在G的一棵最小生成树，它以(u,v)为其中一条边。这个性质也称为MST性质。算法：经典方法有两种：kruskal、prim算法（贪心思想）：一次生成一条最短边。【Prim算法】：算法思想：任意时刻的中间结果都是一棵树，每次花费最小的代价，用一条边把不在树中的结点加进来。按结点来贪，因此适用于稠密图的处理.算法内容：设置顶点集合V和边集E，它们的初始状态为空集。任意选取一个顶点A加入V中。重复以下过程直到V中已经包含原图的所有节点：1、选一条权值最小的边(u,v)，并使其满足u,v两节点只有一个在点集V中。2、将两个节点中不在V的那个点加入集合V中，并将边(u,v)加入边集E中。所得的子图G=(V,E)即为所求的最小生成树。关键：找出当前最优得一条边,穷举每一条不在集合E中的边，找出符合条件且最优的边。时间复杂度：O（V*E），即顶点数乘以边数。代码：var n,i,j,k,min,sum:longint; a:array1.1000,1.1000of longint; b,d:array1.1000of longint;procedure prim;begin sum:=0;for i:=1 to n do di:=a1,i;for j:=2 to n do begin min:=maxlongint; for i:=1 to n do if (dimin)and(di0) then begin min:=di; k:=i;end; sum:=sum+dk; dk:=0;for i:=1 to n do if (ak,idi)and(ik) then di:=ak,i;end;end;begin readln(n); for i:=1 to n dofor j:=1 to n dobegin read(ai,j); if (ij) and (ai,j=0) then ai,j:=maxlongint; end;/初始化prim;writeln(sum);end.Prim算法：初始状态A包含任意一个顶点r，从r开始，每次都向A中添加一条连接树A和G=（V,A）中某个孤立顶点的轻边，直至生成树A包含了图中所有的顶点。有效实现该算法的关键是设法较容易地选择一条轻边。我们可以借助最小优先级队列。图中的顶点可以分为两类，一类是在A中的，已经纳入最小生成树了，另一种是不在A中的，记为B，对于这些顶点，我们需要保存它们与A中的某个顶点相连的边中的最小权值。最小优先级队列保存的就是B（尚未纳入最小生成树）中的顶点以及它们与A中某个顶点相连的边中的最小权值。每次队首出队，设新加入A的顶点为V，那么我们要修改V的邻接点中尚未在A中（在最小优先级队列）的且与A中顶点相连的边的最小权值（比较拗口）。Prim+heapy优化：*优化：在选择权值最小的可行边时可以使用堆。(nlogn) 堆优化的Prim算法适用于稀疏图，而不优化的Prim算法适用于稠密图。 代码：var n,i,j,k,sum:longint; a:array0.1000,0.1000of longint; b,d,heap,pos:array0.10000of longint;procedure swap(var i,j:longint);交换整数i和j/省略procedure heapify(p:longint);向下调整堆的过程var best:longint;begin best:=p;/下面两个if是分别判断根和左、右孩子最短距离的大小 if (p*2=j-1) and (keyheapp*2keyheapbest) then best:=p*2; if (p*2+1=j-1) and (keyheapp*2+1keyheapbest) then best:=p*2+1; if bestp then/若根有所变动，即跟比左右孩子都大（最短距离） beginswap(posheapp,posheapbest);/互换节点heapp、heapbest在堆的位置swap(heapp,heapbest);/互换堆中元素p、bestheapify(best);/继续调整互换后的元素best end;end;procedure modify(id,new_d:longint);判断new_d与did大小，并修改keyid大小var p:longint;begin if (new_d1) and (keyheappkeyheapp div 2父) do/向上调整begin swap(posheapp,posheapp div 2); swap(heapp,heapp div 2); p:=p div 2;/更上一层end; end;end;procedure extract（抽出）(var id:longint);读取堆中最小元素的节点编号begin id:=heap1;/堆顶swap(posheap1,posheapj);/ 堆顶的元素和第j个元素换位置swap(heap1,heapj);/把堆顶的元素扔到j后面去，heapify(1);/此时堆顶不一定是最小的扔到下面去，把最小的搞上来。end;procedure prim;begin d1:=0; for j:=n downto 1 do begin extract(k); sum:=sum+dk; for i:=1 to n do if (posij) then modify(i,ak,i);end;end;begin readln(n); for i:=1 to n dofor j:=1 to n dobegin read(ai,j); if (ij) and (ai,j=0) then ai,j:=maxlongint; end;/初始化 for i:=1 to n do beginheapi:=i; posi:=i; di:=maxlongint; end;prim;writeln(sum);end.【Kruskal算法】算法内容： 初始时把每个顶点看作一个集合 将所有边以长度为关键词从小到大排序。 将每个顶点都加入一个集合中，即N个顶点共N个集合。 设置边集E，初始状态为空。 从小到大访问每条边，若边连接的两个顶点属于不同集合，则合并两个顶点所在的集合，并将该边加入到边集E中。 所得的子图TG=(V,E)即为所求的最小生成树，其中顶点集V就是原图的所有顶点。*关键：集合的合并。我们可以采用路径压缩的算法，用树结构作为集合的结构，对于每个点只记录它的父亲，集合的代表元素即为树的根。在判断两个节点是否属于同一集合时，递归查找节点所在树的根，同时压缩路径。合并集合只需将集合B的根的父亲记为集合A的根即可。时间复杂度：O（eloge）var x,j,tot,i,n:longint; l,a,b:array1 .10000 of longint; f:array1 .100 of longint; procedure qs(low,high:longint); /以每条边的长度排序； function find(x:longint):longint;/找集合的根结点、 var tmp: longint; begin if fx=x then exit(x) else exit(find(fx); end; procedure union(u,v:longint); /合并子集var fu,fv:longint; begin fu:=find(u); fv:=find(v); ffv:=fu; end; procedure kruskal; var cnt,i,ans:longint; begin for i:=1 to n do fi:=i;/初始子集，都是自己； cnt:=0; ans:=0; for i := 1 to tot do if (find(a)find(b) then/判断是否属于同一子集 begin union(a,b);inc(ans);inc(cnt); if cnt=n-1 then break; /n个结点，连接n-1条边end; writeln(ans); end; begin tot:= 0; readln(n); for i:=1 to n do for j := 1 to n do begin read(x); if (ij) then begin inc(tot); atot:= i; btot := j; ltot:= x; end; end; qsort(1,tot); kruskal; end.1.Prim在稠密图中比Kruskal优，在稀疏图中比Kruskal劣。2.Prim+Heap在任何时候都有令人满意的的时间复杂度，但是代价是空间消耗极大。【以及代码很复杂_】3.时间复杂度并不能反映出一个算法的实际优劣。竞赛题大多数是稀疏图，所以尽可能地使用Prim+Heap，在稀疏图中这是无敌的。如果一定要在朴素Prim和Kruskal里选一个的话那就用Kruskal吧。当然Prim的代码比较简单，对付水题用Prim也无所谓，只要不是极稀疏图两者相差不大习题：1、最优布线问题（wire）问题描述 学校有n台计算机，为了方便数据传输，现要将它们用数据线连接起来。两台计算机被连接是指它们之间有数据线连接。由于计算机所处的位置不同，因此不同的两台计算机的连接费用往往是不同的。 当然，如果将任意两台计算机都用数据线连接，费用将是相当庞大的。为了节省费用，我们采用数据的间接传输手段，即一台计算机可以间接的通过若干台计算机（作为中转）来实现与另一台计算机的连接。 现在由你负责连接这些计算机，使任意两台计算机都连通（不管是直接的或间接的）。输入格式 输入文件wire.in，第一行为整数n（2=n=100），表示计算机的数目。此后的n行，每行n个整数。第x+1行y列的整数表示直接连接第x台计算机和第y台计算机的费用。输出格式 输出文件wire.out，一个整数，表示最小的连接费用。样例输入30 1 21 0 12 1 0样例输出2（注：表示连接1和2，2和3，费用为2）问题分析这道题是典型的求最小生成树的题目，可以运用上文所讲的两种算法进行处理。2、【最小生成树算法实例】 现有一张城市地图，图中的顶点为城市，无向边代表两个城市间的连通关系，边上的权代表公路造价。在分析了这张图后发现，任一对城市都是连通的。现在要求用公路把所有城市联系起来，如何设计可使得工程的总造价最少？【输入】 第一行两个数v(v=200),e，分别代表城市数和边数，以下e行，每行为两个顶点和它们之间的边权w(w1000)。【输出】 v-1行，每行为两个城市的序号，表明这两个城市间建一条公路，再加该公路的造价。 【输入样例】 6 10 1 2 10 1 5 19 1 6 21 2 3 5 2 4 6 2