材料力学-第9章扭转.ppt

ShanghaiUniversity 材料力学 第9章 材料力学 扭转 杆的两端承受大小相等 方向相反 作用平面垂直于杆件轴线的两个力偶 杆的任意两横截面将绕轴线相对转动 这种受力与变形形式称为扭转 torsion 本章主要分析圆轴扭转时横截面上的剪应力以及两相邻横截面的相对扭转角 同时介绍圆轴扭转时的强度与刚度设计方法 第9章扭转 圆轴扭转横截面上 圆轴扭转破坏与强度条件 引言 剪应力互等定理与剪切胡克定律 第9章扭转 动力传递与扭矩 极惯性矩与抗扭截面系数 圆轴扭转变形与刚度条件 引言 第9章扭转 请判断哪一杆件将发生扭转 当两只手用力相等时 拧紧螺母的工具杆将产生扭转 a 更多的实例 变形特征 杆件的各横截面环绕轴线发生相对的转动 受力特征 在杆的两端垂直于杆轴的平面内 作用着一对力偶 其力偶矩相等 方向相反 扭转角 任意两横截面间相对转过的角度 动力传递与扭矩 第9章扭转 作用于构件的外扭矩与机器的转速 功率有关 在传动轴计算中 通常给出传动功率P和转速n 则传动轴所受的外加扭力矩Me可用下式计算 其中P为功率 单位为千瓦 kW n为轴的转速 单位为转 分 r min 如果功率P的单位用马力 1马力 735 5N m s 则 外加扭力矩Me确定后 应用截面法可以确定横截面上的内力 扭矩 圆轴两端受外加扭力矩Me作用时 横截面上将产生分布剪应力 这些剪应力将组成对横截面中心的合力矩 称为扭矩 twistmoment 用Mx表示 如果只在轴的两个端截面作用有外力偶矩 则沿轴线方向所有横截面上的扭矩都是相同的 都等于作用在轴上的外力偶矩 扭矩沿杆轴线方向变化的图形 称为扭矩图 diagramoftorsionmoment 绘制扭矩图的方法与绘制轴力图的方法相似 当在轴的长度方向上有两个以上的外力偶矩作用时 轴各段横截面上的扭矩将是不相等的 这时需用截面法确定各段横截面上的扭矩 例题1 圆轴受有四个绕轴线转动的外加力偶 各力偶的力偶矩的大小和方向均示于图中 其中力偶矩的单位为N m 尺寸单位为mm 试 画出圆轴的扭矩图 解 1 确定控制面 外加力偶处截面A B C D均为控制面 2 应用截面法 由平衡方程 确定各段圆轴内的扭矩 3 建立Mx x坐标系 画出扭矩图建立Mx x坐标系 其中x轴平行于圆轴的轴线 Mx轴垂直于圆轴的轴线 将所求得的各段的扭矩值 标在Mx x坐标系中 得到相应的点 过这些点作x轴的平行线 即得到所需要的扭矩图 剪应力互等定理与剪切胡克定律 第4章扭转 薄壁圆筒 壁厚 r0为平均半径 一 薄壁圆筒扭转时的切应力 实验 1 实验前 绘纵向线 圆周线 施加一对外力m 薄壁圆管的扭转应力 2 实验后 圆周线不变 纵向线倾斜同一个角度 变成平行的螺旋线 3 结论 圆筒表面的各圆周线的形状 大小和间距均未改变 只是绕轴线作了相对转动 各纵向线均倾斜了同一微小角度 所有矩形网格均歪斜成同样大小的平行四边形 5 薄壁圆筒剪应力 大小 假定 平均分布 方向垂直于半径 A0 平均半径所作圆的面积 4 分析矩形变成平行四边形 各边长不变 所以两侧截面上只有切应力 无正应力 实际上与扭矩对应的应力只能是切应力 根据力偶平衡理论 剪应力成对定理 在两个互相垂直的平面上 剪应力必然成对存在 且数值相等 两者都垂直于两个平面的交线 方向则共同指向或共同背离这一交线 这就是剪应力成对定理 pairingprincipleofshearstresses 剪切胡克定律 当在弹性范围内加载时 剪应力与剪应变成正比 这种线性关系称为剪切胡克定律 比例常数G称为材料的切变模量 圆轴扭转横截面上的应力 第9章扭转 应用平衡方法可以确定圆杆扭转时横截面上的内力分量 扭矩 但是不能确定横截面上各点剪应力的大小 为了确定横截面上各点的剪应力 在确定了扭矩后 还必须知道横截面上的剪应力是怎样分布的 应力分布 应力公式 变形 应变分布 平面假定 变形协调方程 物性关系 剪切胡克定律 静力学方程 圆轴扭转时横截面上的剪应力表达式 平面假定 假定 圆轴受扭发生变形后 其横截面依然保持平面 两相邻横截面刚性地相互转过一角度 这一假定称为平面假定 变形协调方程 若将圆轴用同轴柱面分割成许多半径不等的圆柱 根据上述结论 在dx长度上 虽然所有圆柱的两端面均转过相同的角度d 但半径不等的圆柱上产生的剪应变各不相同 半径越小者剪应变越小 设到轴线任意远 处的剪应变为 则从图中可得到如下几何关系 物性关系 剪切胡克定律 剪切胡克定律 静力学方程 式中GIP 扭转刚度 IP 横截面的极惯性矩 圆轴扭转时横截面上的剪应力表达式 最大剪应力 Wp 扭转截面系数 极惯性矩与抗扭截面系数 极惯性矩 p 扭转截面系数 p 圆轴扭转破坏与强度条件 受扭圆轴的强度设计准则 与抗压杆的强度设计相似 为了保证圆轴扭转时安全可靠地工作 必须将圆轴横截面上的最大剪应力 max限制在一定的数值以下 即 这一关系式称为受扭圆轴的强度设计准则 或称圆轴扭转的强度条件 受扭圆轴的强度设计准则 为许用剪应力 max是指圆轴所有横截面上最大剪应力中的最大者 对于等截面圆轴 最大剪应力发生在扭矩最大的横截面上的边缘各点 对于变截面圆轴 如阶梯轴 最大剪应力不一定发生在扭矩最大的截面 这时需要根据扭矩Mx和相应扭转截面系数WP的数值综合考虑才能确定 已知 P1 14kW n1 n2 120r min z1 36 z3 12 d1 70mm d2 50mm d3 35mm 求 各轴横截面上的最大切应力 例题3 P1 14kW P2 P3 P1 2 7kW n1 n2 120r min 解 计算各轴的功率与转速 Mx1 T1 1114N m Mx2 T2 557N m Mx3 T3 185 7N m 解 计算各轴的扭矩 解 计算各轴的横截面上的最大切应力 圆轴扭转变形与刚度条件 第9章扭转 受扭圆轴的相对扭转角 圆杆受扭矩作用时 dx微段的两截面绕轴线相对转动的角度称为相对扭转角 沿轴线方向积分 得到 受扭圆轴的相对扭转角 对于两端承受集中扭矩的等截面圆轴 两端面的相对扭转角为 对于各段扭矩不等或截面极惯性矩不等的阶梯状圆轴 轴两端面的相对扭转角为 单位长度的相对扭转角 在很多情形下 两端面的相对扭矩角不能反映圆轴扭转变形的程度 因而更多采用单位长度扭转角表示圆轴的扭转变形 单位长度扭转角即扭转角的变化率 单位长度相对扭转角为 受扭圆轴的刚度设计准则 为了机械运动的稳定和工作精度 机械设计中要根据不同要求 对受扭圆轴的变形加以限制 亦即进行刚度设计 扭转刚度设计是将单位长度上的相对扭转角限制在允许的范围内 即必须使构件满足刚度设计准则或称刚度条件 对于两端承受集中扭矩的等截面圆轴 刚度设计准则又可以写成 受扭圆轴的刚度设计准则 其中 为单位长度上的许用相对扭转角 其数值根据轴的工作要求而定 例如 精密机械的轴 0 25 0 5 m 一般传动轴 0 5 1 0 m 刚度要求不高的轴 2 m 需要注意的是 刚度设计中要注意单位的一致性 上式不等号左边的单位为rad m 而右边通常所用的单位为 m 因此 在实际设计中 若不等式两边均采用rad m 则必须在不等式右边乘以 180 若两边均采用 m 则必须在左边乘以 180 受扭圆轴的刚度设计准则 钢制空心圆轴的外直径D 100mm 内直径d 50mm 若要求轴在2m长度内的最大相对扭转角不超过1 5 材料的剪切弹性模量G 80 4GPa 例题5 解 1 确定轴所能承受的最大扭矩根据刚度设计准则 有 1 求该轴所能承受的最大扭矩 2 确定此时轴横截面上的最大剪应力 例题5 解 1 确定轴所能承受的最大扭矩根据刚度设计准则 有 由已知条件 许用的单位长度上相对扭转角为 空心圆轴截面的极惯性矩 轴所能承受的最大扭矩为 例题5 轴所能承受的最大扭矩为 9 688 103N m 9 688kN m 例 两端固定的圆截面等直杆AB 在截面C受外力偶矩m作用 试求杆两端的