梯形辅助线的作法 (2).doc

证明（三）复习二-梯形辅助线的作法安福寺中学 廖玉胜学习目标：1、能将“梯形”转化为“三角形和特殊四边形”进行研究，2、了解“转化”是数学重要的思想方法之一。应用“转化”思想方法解决问题。一：练与议（小组合作） 1、 结合下列图形，试做辅助线，将梯形转化为三角形或其他特殊的平行四边形 2、总结：辅助线的做法（1）平移腰、对角线；（2）延长腰；（3）作高；（4）利用腰上中点构造全等三角形3、归纳提升梯形是一种特殊的四边形，它是平行四边形和三角形的“综合”。可以通过适当地添加辅助线，构造三角形、平行四边形，再运用三角形、平行四边形的相关知识去解决梯形问题。作法图形平移一腰，转化为三角形、平行四边形作高，转化为两直角三角形和一矩形延长两腰，转化为三角形平移一对角线，转化为三角形、平行四边形连接一顶点与一腰的中点，构造全等三角形二、小组合作完成下列各题，总结辅助线的作法平移一腰过梯形的一个顶点作一腰的平行线，构造一个三角形和一个平行四边形，能使分散的条件集中起来，为解决梯形问题创造条件。例1 如图1，等腰梯形ABCD两底之差等于一腰的长，那么这个梯形较小的一个内角是（ ）A、90B、60C、45D、30解析：由条件“两底之差等于一腰的长”，可平移一腰。如图2所示，平移DC到AE，AE交BC于E。可知BE=BC-AD=AB。又AB=DC=AE，故AB=BE=AE，ABE是等边三角形。所以B=60。故选B。二、平移两腰平移两腰，使两腰交于短底上一点，把梯形转化为两个平行四边形和一个三角形，进而解决问题。例2 如图3，在梯形ABCD中，ADBC，ADBC。E、F分别为AD、BC的中点，且EFBC。求证：B=C。解析：要证B=C，可把它们移到同一个三角形中，利用等腰三角形的有关性质加以证明。过点E作EHAB，EGDC，分别交BC于H、G（如图4）。ADBC，四边形ABHE和四边形EGCD都是平行四边形（两组对边平行）。AE=BH，ED=GC。又E、F分别为AD、BC的中点，所以AE=ED，BF=FC。BH=GC，BF-BH=FC-GC，从而HF=FG。又EFBC，所以EH=EG，故EHF=EGF，得B=C。评析：题目中若有连接两底上点的线段，通常要平移两腰。三、平移对角线过梯形底边的一个端点作某一条对角线的平行线，可以构造出一个三角形和一个平行四边形，引出解题思路。例3 在梯形ABCD中，ADBC，对角线ACBC，且AC=5cm，BD=12cm，则梯形中位线的长等于（ ）A、7.5cmB、7cmC、6.5cmD、6cm解析：由对角线垂直，可平移一条对角线（比如AC），构造出RtBDE和ACED（如图5）。由勾股定理可知BE=13cm，从而得到梯形中位线的长等于BE的一半，即为6.5cm。故选C。四、延长两腰延长两腰相交于一点，可构造两个三角形，再利用这两个三角形的性质解决问题。例4 在梯形ABCD中，ADBC，ABC=BCD=60，AD+BC=30，BD平分ABC。求梯形的周长。解析：延长两腰相交于点E，如图6，因ABC=BCD=60，故E=60。BCE为等边三角形。又BD平分ABC，所以BD垂直平分CE。所以CD=。又ADBC，故ADE为等边三角形。AD=ED=CD。由AD+BC=30，知CD+2CD=30，CD=10。梯形的周长为30+AB+CD=30+2CD=50。五、作梯形的高过梯形短底的两个端点作梯形的高，把梯形分成两个直角三角形和一个矩形，可使解题思路明朗化。例5 已知等腰梯形的一个内角为60，它的上底是3cm，腰长是4cm，则下底是 。解析：如图7，梯形ABCD中，B=C=60，AD=3cm，AB=DC=4cm，过点A、D分别作AEBC，DFBC，垂足分别为E、F。则有BAE=CDF=30，BE=FC=AB=2cm，BC=BE+EF+FC=BE+AD+FC=7（cm），即为所求。六、连接两腰中点若题目中有一个或两个腰的中点，可尝试连接梯形两腰的中点，得到梯形的中位线，利用中位线的性质解题。例6 在梯形ABCD中，ABCD，点M为BC的中点，DM平分ADC。求证AM平分DAB。解析：如图8，取DA的中点N，连接MN，则MNCD，MNAB。所以NMD=MDC=MDN。故NM=ND=AN，NAM=NMA=MAB。故AM平分DAB。检测练习1、等腰梯形两底差的一半等于它的高，那么这个梯形的一个内角是（ ）。A、75B、60C、45D、302、如图9，已知梯形ABCD中，ABCD，A+B=90，M、N分别是AB、CD的中点。求证：MN=（AB-CD）。3、在梯形ABCD中，ADBC，AD=2，BC=8，AC=6，BD=8，求此梯形的高。4、如图10，在梯形ABCD中，DCB=90，ABDC，AB=25，BC=24。将该梯形折叠，点A恰好与点D重合，BE为折痕。那么，AD的长为 。5、例6变式练习：条件不变，结论改变。求证：（1）AMDM；（2）AB+CD=AD。提示：1、利用第五种作法。2、利用第二种作法，并利用直角三角