高考数学大一轮复习 第四章 三角函数、解三角形 4.6 正弦定理和余弦定理课件 理 北师大版.ppt

4 6正弦定理和余弦定理 第四章三角函数 解三角形 基础知识自主学习 课时作业 题型分类深度剖析 内容索引 基础知识自主学习 1 正弦定理 余弦定理在 abc中 若角a b c所对的边分别是a b c r为 abc外接圆半径 则 知识梳理 b2 c2 2bccosa c2 a2 2cacosb a2 b2 2abcosc 2rsinb 2rsinc sina sinb sinc 2 在 abc中 已知a b和a时 解的情况 3 三角形常用面积公式 1 s a ha ha表示边a上的高 2 s absinc 3 s r a b c r为三角形内切圆半径 1 三角形内角和定理在 abc中 a b c 知识拓展 2 三角形中的三角函数关系 1 sin a b sinc 2 cos a b cosc 3 三角形中的射影定理在 abc中 a bcosc ccosb b acosc ccosa c bcosa acosb 题组一思考辨析1 判断下列结论是否正确 请在括号中打 或 1 三角形中三边之比等于相应的三个内角之比 2 在 abc中 若sina sinb 则a b 3 当b2 c2 a2 0时 三角形abc为锐角三角形 4 在 abc中 5 在三角形中 已知两边和一角就能求三角形的面积 基础自测 1 2 3 4 5 6 题组二教材改编2 在 abc中 acosa bcosb 则这个三角形的形状为 答案 解析由正弦定理 得sinacosa sinbcosb 即sin2a sin2b 所以2a 2b或2a 2b 即a b或a b 所以这个三角形为等腰三角形或直角三角形 解析 角三角形 等腰三角形或直 1 2 3 4 5 6 3 在 abc中 a 60 ac 4 bc 2 则 abc的面积为 解析 答案 1 2 3 4 5 6 题组三易错自纠4 在 abc中 角a b c所对的边分别为a b c 若c bcosa 则 abc为a 钝角三角形b 直角三角形c 锐角三角形d 等边三角形 答案 解析 解析由已知得sinc0 cosb 0 b为钝角 故 abc为钝角三角形 1 2 3 4 5 6 5 2018 桂林质检 在 abc中 已知b 40 c 20 c 60 则此三角形的解的情况是a 有一解b 有两解c 无解d 有解但解的个数不确定 解析 答案 1 2 3 4 5 6 角b不存在 即满足条件的三角形不存在 6 2018 包头模拟 设 abc的内角a b c所对边的长分别为a b c 若b c 2a 3sina 5sinb 则角c 解析 答案 解析由3sina 5sinb 得3a 5b 又因为b c 2a 1 2 3 4 5 6 题型分类深度剖析 1 2016 山东 abc中 角a b c的对边分别是a b c 已知b c a2 2b2 1 sina 则a等于 解析在 abc中 由余弦定理得a2 b2 c2 2bccosa b c a2 2b2 1 cosa 又 a2 2b2 1 sina cosa sina tana 1 解析 答案 题型一利用正 余弦定理解三角形 自主演练 2 在 abc中 角a b c所对的边分别是a b c 已知8b 5c c 2b 则cosc等于 解析 8b 5c 由正弦定理 得8sinb 5sinc 又 c 2b 8sinb 5sin2b 8sinb 10sinbcosb 解析 答案 解析 答案 1 1 解三角形时 如果式子中含有角的余弦或边的二次式 要考虑用余弦定理 如果式子中含有角的正弦或边的一次式时 则考虑用正弦定理 以上特征都不明显时 则要考虑两个定理都有可能用到 2 三角形解的个数的判断 已知两角和一边 该三角形是确定的 其解是唯一的 已知两边和一边的对角 该三角形具有不唯一性 通常根据三角函数值的有界性和大边对大角定理进行判断 典例在 abc中 内角a b c所对的边分别为a b c 已知b c 2acosb 1 证明 a 2b 证明由正弦定理得sinb sinc 2sinacosb 故2sinacosb sinb sin a b sinb sinacosb cosasinb 于是sinb sin a b 又a b 0 故0 a b 所以b a b 或b a b 因此a 舍去 或a 2b 所以a 2b 证明 题型二和三角形面积有关的问题 师生共研 2 若 abc的面积s 求角a的大小 解答 1 对于面积公式一般是已知哪一个角就使用哪一个公式 2 与面积有关的问题 一般要用到正弦定理或余弦定理进行边和角的转化 答案 解析 2 在 abc中 内角a b c所对的边分别是a b c 若c2 a b 2 6 c 则 abc的面积是 解析 答案 解析 c2 a b 2 6 c2 a2 b2 2ab 6 由 得 ab 6 0 即ab 6 命题点1判断三角形的形状典例 1 在 abc中 则 abc一定是a 等腰三角形b 直角三角形c 等腰直角三角形d 无法确定 又0 a b a b abc为等腰三角形 解析 答案 题型三正弦定理 余弦定理的简单应用 多维探究 2 设 abc的内角a b c所对的边分别为a b c 若bcosc ccosb asina 则 abc的形状为a 锐角三角形b 直角三角形c 钝角三角形d 不确定 解析由正弦定理得sinbcosc sinccosb sin2a sin b c sin2a 即sin a sin2a sina sin2a a 0 sina 0 sina 1 即a abc为直角三角形 解析 答案 1 本例 2 中 若将条件变为2sinacosb sinc 判断 abc的形状 解 2sinacosb sinc sin a b 2sinacosb sinacosb cosasinb sin a b 0 又a b为 abc的内角 a b abc为等腰三角形 解答 2 本例 2 中 若将条件变为a2 b2 c2 ab 且2cosasinb sinc 判断 abc的形状 又由2cosasinb sinc得sin b a 0 a b 故 abc为等边三角形 解答 命题点2求解几何计算问题典例 1 如图 在 abc中 b 45 d是bc边上一点 ad 5 ac 7 dc 3 则ab 解析 答案 解析在 acd中 由余弦定理可得 2 2018 吉林三校联考 在平面四边形abcd中 a b c 75 bc 2 则ab的取值范围是 解析 答案 解析如图所示 延长ba与cd相交于点e 过点c作cf ad交ab于点f 则bf ab be 在等腰三角形cbf中 fcb 30 cf bc 2 在等腰三角形ecb中 ceb 30 ecb 75 1 判断三角形形状的方法 化边 通过因式分解 配方等得出边的相应关系 化角 通过三角恒等变换 得出内角的关系 此时要注意应用a b c 这个结论 2 求解几何计算问题要注意 根据已知的边角画出图形并在图中标示 选择在某个三角形中运用正弦定理或余弦定理 跟踪训练 1 2018 安徽六校联考 在 abc中 a b c分别为角a b c的对边 则 abc的形状为a 等边三角形b 直角三角形c 等腰三角形或直角三角形d 等腰直角三角形 解析 答案 2a2 a2 c2 b2 a2 b2 c2 abc为直角三角形 1 cosb c a c 解析 答案 审题路线图 二审结论会转换 审题路线图 规范解答 审题路线图 规范解答 课时作业 1 2017 长沙模拟 在 abc中 角a b c所对的边分别为a b c 若a b 3 a 60 则边c等于a 1b 2c 4d 6 基础保分练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 解析 a2 c2 b2 2cbcosa 13 c2 9 2c 3 cos60 即c2 3c 4 0 解得c 4或c 1 舍去 解析 答案 2 在 abc中 角a b c对应的边分别为a b c 若a a 2 b 则b等于 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 3 2017 哈尔滨模拟 在 abc中 ab ac 1 b 30 abc的面积为 则c等于a 30 b 45 c 60 d 75 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 sina 1 由a 0 180 a 90 c 60 故选c 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 5 在 abc中 角a b c所对的边长分别为a b c sina sinb sinc成等比数列 且c 2a 则cosb的值为 解析因为sina sinb sinc成等比数列 所以sin2b sinasinc 由正弦定理得b2 ac 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 7 2016 全国 abc的内角a b c的对边分别为a b c 若cosa cosc a 1 则b 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 8 2018 成都模拟 在 abc中 角a b c的对边分别为a b c 若 a2 c2 b2 tanb ac 则角b的值为 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 9 abc的内角a b c的对边分别为a b c 已知b 2 b c 则 abc的面积为 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 10 2018 长春质检 e f是等腰直角三角形abc斜边ab上的三等分点 则tan ecf 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 解析如图 设ab 6 则ae ef fb 2 因为 abc为等腰直角三角形 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 11 2018 珠海模拟 设 abc的内角a b c的对边分别为a b c a btana 1 证明 sinb cosa 证明 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 a 2rsina b 2rsinb 代入a btana得 2 若sinc sinacosb 且b为钝角 求a b c 解答 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 12 2017 全国 abc的内角a b c的对边分别为a b c 已知 abc的面积为 1 求sinbsinc 解答 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2 若6cosbcosc 1 a 3 求 abc的周长 解答 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由余弦定理 得b2 c2 bc 9 技能提升练 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由正弦定理 得sinacosb cosasinb 2sinccosc sin a b sinc 2sinccosc c2 a2 b2 2abcosc 4 16 8 12 14 2018 大理模拟 在 abc中 角a b c所对的边分别为a b c 且满足asinb bcosa 若a 4 则 abc周长的最大值为 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 12 由余弦定理得a2 16 b2 c2 2bccosa 则 b c 2 64 即b c 8 当且仅当b c 4时等号成立 abc周长 a b c 4 b c 12 即最大值为12 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 15 在 abc中 若ab 4 ac 7 bc边的中线ad 则bc 拓展冲刺练 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 9 解析如图所示 延长ad到e 使de ad 连接be ec 因为ad是bc边上的中线 所以ae与bc互相平分 所以四边形aceb是平行四边形 所以be ac 7 又ab 4 ae 2ad 7 所以在 abe中 由余弦定理得 ae2 49 ab2 be2 2ab be cos abe ab2 ac2 2ab ac cos abe 在 abc中 由余弦定理得 bc2 ab2 ac2 2ab ac cos abe 49 bc2 2 ab2 ac2 2 16 49 bc2 81 bc 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 16 2018 贵阳质检 在 abc中 角a b c的对边分别为