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第十八章隐函数定理及其应用1隐函数1方程能否在原点的某邻域内确定隐函数或？解令,则有(1)在原点的某邻域内连续;(2);(3),均在上述邻域内连续;(4),.故由隐函数存在唯一性定理知,方程在原点的某邻域内可确定隐函数.2方程在点(0,1,1)的某邻域内能否确定出某一个变量为另外两个的函数.解令,则;(1)在点(0,1,1)的某域内连续;(2);(3),均在上述邻域内连续;(4),故由隐函数存在唯一性定理知,在点(0,1,1)的某邻域内方程能确定出函数和.3求由下列程所确定的隐函数的导数;(1),求;(2),求;(3),求;(4)0),求;(5),求;(6)求.解 (1)方程两边对求导,得解得(2)解法一 方程两边对求导,得即解得解法二 方程两边分别微分,得解得(3)解法一 设则所以,.解法二 方程两边微分,得即故.(4) 令则于是.(5)令则于是.(6)把看成的函数,两边对求偏导,则有把看成的函数,两边对求偏导,则0=把看成的函数,两边对求偏导,则4设，其中为由方程所确定的隐函数，求及。解 由，得由，得故5. 设，其中是由方程所确定的隐函数，求及。解 由，得。于是，2隐函数组1. 1. 试讨论方程组，在点（1，-1，2）的附近能否确定形如的隐函数组？解 令则（1）在点（1，-1，2）的某邻域内连续；（2）（3）均在点（一，-1，2）的邻域内连续；（4）。由隐函数组定理，在点（1，-1，2）的附近所给方程组能确定形如的隐函数组。2. 2. 求下列程所确定的隐函数组的导数：（1） 求（2） 求（3） 求解 （1）设方程组所确定的隐函数组为，对两边关于求导，得解方程组，得（2）方程组关于求偏导，得解得方程组关于求偏导，得解得（3）两个方程包含及四个变量，可以确定两个二元函数，因为是求。自然是因变量，是自变量。方程组关于求偏导解得3. 求下列函数组所确定的反函数组的偏导数：（1） 求。（2） 求。解 对函数组关求偏导数： 即解之得 ， 。函数组关求偏导数： 解之得 。（2）因为可通过对函数组两边关于求导，得解之得 于是。4.设函数是由方程组为参量）所定义的函数，求当时的。解 因为所以，当时，。5. 设以为新的自变量变换下列方程：（1）设（2）设解 （1）把作为自变量，看作的复合函数，于是有将代入原方程，并化简得（2）代入原方程，并化简得6.设函数由方程组所确定，求和。解 方程组分别关于求偏导数：解得解得。3几何应用1. 1. 求平面曲线（a0）上任一点的切线方程，并证明这些切线被坐标轴所截取的线段等长。解 令，则，于是，曲线上任一点处的切线方程为：,即。切线与两轴的交点分别为，因为2. 求下列曲线在所示点出的切线方程与法平面方程：（1），在点；（2）在点解 （1），所以切线方程为：。即。法平面方程为：即。（2）令则。所以。于是切线方程为：法平面方程为：。3. 求下列曲面在所示点出的切面方程与法线方程：（1）在点；（2）在点；解 （1）令则。于是切面方程为：即。法线方程为 （2）令则，故切面方程为：即法线方程为4. 证明对任意常数，球面与锥面是正交的。证 设是球面与锥面上的任一点，则球面在该点的法向量为，锥面在该点的法向量为因为所以，对任意的常数，球面与锥面是正交的。5. 5. 求曲面的切平面，使它平行与平面。解 设曲面上这一点的切平面与平面平行，则，即，代入曲面方程得，即。故在点和点出的切平面与所给平面平行，其切平面方程分别为6.在曲线上求出一点，使曲线在此点的切线平行与 平面。解 设曲线在处的切线平行与 平面，因为曲线在处的切向量为，所以，即，解之得或，故所求点为或。4 条件极限1. 应用拉格朗日乘数法，求下列函数的条件极限：（1），若；（2），若（其中（3）若；解 （1）设令解之得由于当时，故函数必在唯一稳定点处取得极小值，极小值。（2）设令解之得由于当个正数的积一定时 ，其和必有最小值，故一定在唯一稳定点取的最小值也是极小值（3）设令得或。若代入，可求得若，得或。如果，代入，可求得如果，则代入，可求得于是得到可能的条件极值点为个：又在有界闭集上连续，故有最值，因此，极小值为，极大值为2.（1）求表面积一定而体积最大的长方体；（2）求体积一定而表面积最大的长方体；解 设长方体的长，宽，高分别为，表面积为，则体积为。于是问题成为在条件下，求函数的最大值设令解得。因为所求长方体体积有最大值，且稳定点只有一个，所以表面积一定而体积最大的长方体是立方体。（2）设长方体的长，宽，高分别为，体积为，则表面积为。设令解得所以体积一定而表面积最大的长方体是立方体。令由，得3. 求空间一点到平面的最短距离；解 设平面上任意一点是，此题就是求函数在条件下的最小值，因为与的极值点相同，所以设令由此得，代入解得。所以。由几何学知，空间定点到平面的最短距离存在。故为所求最短距离。总练习题1， 1， 方程-（1-）=0哪些点的领域内可唯一地确定连续可导的隐函数y=f（x）？解 设F（x，y）=-（1-），则=-2x+4，=2y. 若=0,则有y=0,代入原方程解得x=0,x=1,即在点(0, 0),(1,0),(-1,0)处有=0 设D=(x,y)| -（1-）=0-(0,0),(1,0),(-1,0).于是F(x,y)在D上每一点的领域内都有定义且连续; ,在D上每一点的领域内都连续;在D上每一点(x,y)有F（x，y）=0,(x, y)0.故方程-（1-）=0在D上每一点的某领域内都可唯一的确定连续函数可导的隐函数y=f(x).2,设函数f(x)在区间(a, b)内连续,函数(y)在区间(c, d)内连续,而且(y)0.问在怎样的条件下,方程(y)=f(x)能确定函数.并研究例子:(I ) =x; (II) =-x解 F(x, y)=(y)-f(x)在(a, b)(c, d)内连续;=(y)0.即 F在 (a, b)(c, d)内关于y 严格单调;因此只要f(a, b)(c, d),即存在点(, )满足F(, )=0 ,就可以(, ) 附近确定隐函数y=f(x)(I) (I) 设 f(x)=x,(y)= .由于f(x), (y), 都在R 上连续,且(y)