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3 4 1连续谱本征函数是不能归一化的 在量子力学中 坐标和动量的取值是连续变化的 角动量的取值是离散的 而能量的取值则视边条件而定 例如 如果此波包的广延比所讨论的问题中的特征长度大得多 而粒子在此空间区域中各点的概率密度变化极微 则不妨用平面波来近似描述其状态 可以引用数学上的Dirac的 为方便地处理连续谱本征函数的 归一化 我们 函数 3 4 2函数 函数的定义 平面波的 归一化 问题 还可以采用数学上传统的做法 即先让粒子局限于有限空间中运动 最后才让 动量本征态为在周期条件下 3 4 3箱归一化 此时 为了保证动量算符为厄米算符 就要求波函数满足周期性边条件 同样 不能归一化的坐标本征态也可类似处理 因此 若取动量本征态为则 这样 就用函数的形式把平面波的 归一化 表示出来了 由周期条件 得 此时 与相应的动量本征态取为 利用正交归一化条件 利用这一组正交归一完备的函数 可以构成如下函数 现在让即动量的可能取值趋于连续变化 于是 此时 可以把 而或 在处理具体问题时 如要避免计算过程中出现的平面波 归一化 困难 则可以用箱归一化波函数代替不能归一化的 在计算的最后结果才让 正交完备的归一化波函数为 结论 则函数可如下构成 三维情况 上式表明 相空间一个体积元相当于有一个量子态 而 3 4 4力学量完全集 定义 设给定之后就能够确定体系的一个可能状态 则称构成体系的一组力学量完全集 按照态叠加原理 体系的任何一个状态均可用展开 这里假定的本征值是离散的 的正交归一性 的归一化条件 例如 一维谐振子 Hamilton量本身就构成力学量完全集 也是守恒量完全集 对于一维自由粒子由于能量本征态有简并 并不构成力学量完全集 但把空间反射考虑进去 力学量完全集可以选为 对于一维粒子 动量就构成力学量完全集与此类似 坐标也可以构成力学量完全集 注意 用一组力学量完全集的共同本征函数来展开体系的任意波函数 在数学上涉及完备性这样一个颇为复杂的问题 经验 如力学量完全集中包含有体系的Hamilton量 而本征值又有下界 则可以证明 这一组力学量完全集的共同本征态构成该体系的态空间的一组完备的基矢 即体系的任何一个态均可用它们展开 自然界中实际的物理体系的的本征值都有下界 因此 体系的任何态总可以用包含在内的一组力学量完全集的共同本征态来展开 量子力学中的力学量用相应的线性厄米算符来表达 其含义如下 实验上观测的可能值 必为算符的某一本征值 在量子态之下 力学量的平均值由下式确定 力学量之间的关系通过相应的算符之间的关系反映出来 例如两个力学量与可以同时具有确定的观测值的必要条件 在一般情况下 为反之 若则一般说
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