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新人教版八年级下册数学 教学设计 2018 12 22 1 新人教版新人教版八年级八年级下册下册数学数学教案教案 目目 录录 第十六章 二次根式 16 1 二次根式 16 2 二次根式的乘除 16 3 二次根式的加减 数学活动 小结 复习题 16 第十七章 勾股定理 17 1 勾股定理 17 2 勾股定理的逆定理 数学活动 小结 复习题 17 第十八章 平行四边形 18 1 平行四边形 18 2 特殊的平行四边形 数学活动 小结 复习题 18 第十九章 一次函数 19 1 函数 19 2 一次函数 14 3 课题学习 选择方案 数学活动 小结 复习题 19 第二十章 数据的分析 20 1 数据的集中趋势 20 2 数据的波动程度 20 3 课题学习 体质健康测试 中的数据分析 数学活动 小结 复习题 20 2 八年级数学下学期教学工作计划 一 指导思想 在教学中努力推进九年义务教育 落实新课改 体现新理念 培养创新精神 通过 数学课的教学 使学生切实学好从事现代化建设和进一步学习现代化科学技术所必需 的数学基本知识和基本技能 努力培养学生的运算能力 逻辑思维能力 以及分析问题 和解决问题的能力 二 学情分析 八年级是初中学习过程中的关键时期 学生基础的好坏 直接影响到将来是否能升 学 我班优生稍少 学生非常活跃 有少数学生不求上进 思维不紧跟老师 有的学生 思想单纯爱玩 缺乏自主学习的习惯 有部分同学基础较差 厌学无目标 要在本期获 得理想成绩 老师和学生都要付出努力 查漏补缺 充分发挥学生是学习的主体 教师 是教的主体作用 注重方法 培养能力 三 教材分析 本学期教学内容共计五章 知识的前后联系 教材的教学目标 重 难点分析如下 义务教育教科书 数学 八年级下册包括二次根式 勾股定理 平行四边形 一次函 数 数据的分析等五章内容 学习内容涉及到了 义务教育数学课程标准 2013 年版 以下简称 课程标准 中 数与代数 图形与几何 统计与概率 综合与实 践 全部四个领域 其中对于 综合与实践 领域的内容 本册书在第十九章 第二十 章分别安排了一个课题学习 并在每一章的最后安排了两个数学活动 通过这些课题 学习和数学活动落实 综合与实践 的要求 第 16 章 二次根式 主要讨论如何对数和字母开平方而得到的特殊式子 二次根 式的加 减 乘 除运算 通过本章学习 学生将建立起比较完善的代数式及其运算的 知识结构 并为勾股定理 一元二次方程 二次函数等内容的学习做好准备 第 17 章 勾股定理 主要研究勾股定理和勾股定理的逆定理 包括它们的发现 证 明和应用 第 18 章 平行四边形 主要研究一般平行四边形的概念 性质和判定 还研究了矩 形 菱形和正方形等几种特殊的平行四边形 第 19 章是 一次函数 其主要内容包括 常量与变量的意义 函数的概念 函数 3 的三种表示法 一次函数的概念 图象 性质和应用举例 一次函数与二元一次方程等 内容的关系 以及以建立一次函数模型来选择最优方案为素材的课题学习 第 20 章 数据的分析 主要研究平均数 主要是加权平均数 中位数 众数以及 方差等统计量的统计意义 学习如何利用这些统计量分析数据的集中趋势和离散情况 并通过研究如何用样本的平均数和方差估计总体的平均数和方差 进一步体会用样本 估计总体的思想 本学期全书共需约 62 课时 具体分配如下 第十六章 二次根式 约 9 课时 第十七章 勾股定理 约 9 课时 第十八章 平行四边形 约 15 课时 第十九章 一次函数 约 17 课时 第二十章 数据的分析 约 12 课时 四 提高学科教育质量的主要措施 1 认真做好教学六认真工作 把教学六认真作为提高成绩的主要方法 认真研读 新课程标准 钻研新教材 根据新课程标准 扩充教材内容 认真上课 批改作业 认 真辅导 认真制作测试试卷 也让学生学会认真学习 2 兴趣是最好的老师 爱因斯坦如是说 激发学生的兴趣 给学生介绍数学家 数学史 介绍相应的数学趣题 给出数学课外思考题 激发学生的兴趣 3 引导学生积极参与知识的构建 营造民主 和谐 平等 自主 探究 合作 交流 分享发现快乐的高效的学习课堂 让学生体会学习的快乐 享受学习 引导学生 写学后总结 写复习提纲 使知识来源于学生的构造 4 引导学生积极归纳解题规律 引导学生一题多解 多解归一 培养学生透过现 象看本质 提高学生举一反三的能力 这是提高学生素质的根本途径之一 培养学生的 发散思维 让学生处于一种思如泉涌的状态 5 运用新课程标准的理念指导教学 积极更新自己脑海中固有的教育理念 不同 的教育理念将带来不同的教育效果 6 培养学生良好的学习习惯 陶行知说 教育就是培养习惯 有助于学生稳步提 高学习成绩 发展学生的非智力因素 弥补智力上的不足 7 开展分层教学 布置作业设置 A B C 三类分层布置分别适合于差 中 好三 类学生 课堂上的提问照顾好好 中 差三类学生 使他们都等到发展 4 8 进行个别辅导 优生提升能力 扎实打牢基础知识 对差生 一些关键知识 辅 导差生过关 为差生以后的发展铺平道路 9 培养学生学习数学的良好习惯 这些习惯包括 认真做作业的习惯包括作业前 清理好桌面 作业后认真检查 预习的习惯 认真看批改后的作业并及时更正的习 惯 认真做好课前准备的习惯 在书上作精要笔记的习惯 妥善保管书籍资料和 学习用品的习惯 认真阅读数学教材的习惯 5 1 16 6 1 1 1 1 二次根式二次根式 教学内容教学内容 二次根式的概念及其运用 教学目标教学目标 理解二次根式的概念 并利用 a 0 的意义解答具体题目 提出问题 根据问题给出概念 应用概念解决实际问题 教学重难点关键教学重难点关键 1 重点 形如 a 0 的式子叫做二次根式的概念 2 难点与关键 利用 a 0 解决具体问题 教学过程教学过程 一 复习引入一 复习引入 学生活动 请同学们独立完成下列三个课本 P2 的三个思考题 二 探索新知二 探索新知 很明显 都是一些正数的算术平方根 像这样一些正数的算术平方根的式子 我们就把它称二次根式 因此 一般地 我们把形如 a 0 的式子叫做二次根式 称为二次根号 学生活动 议一议 1 1 有算术平方根吗 2 0 的算术平方根是多少 3 当 a0 x 0 y 0 分析 二次根式应满足两个条件 第一 有二次根号 第二 被开方数是正数或 0 解 二次根式有 x 0 x 0 y 0 不是二次根式 的有 例 2 当 x 是多少时 在实数范围内有意义 分析 由二次根式的定义可知 被开方数一定要大于或等于 0 所以 3x 1 0 才能 有意义 解 由 3x 1 0 得 x 当 x 时 在实数范围内有意义 三 巩固练习三 巩固练习 教材 P5 练习 1 2 3 四 归纳小结四 归纳小结 学生活动 老师点评 本节课要掌握 1 形如 a 0 的式子叫做二次根式 称为二次根号 2 要使二次根式在实数范围内有意义 必须满足被开方数是非负数 a a a 310 4 6 a a 2 3 3 1 x x0 4 22 1 xy xy 2x02xy 3 3 1 x 4 2 1 xy 31x 31x 1 3 1 3 31x a 6 五 布置作业五 布置作业 1 教材 P5 1 2 3 4 2 选用课时作业设计 16 1 2 16 1 2 二次根式二次根式 2 2 教学内容教学内容 1 a 0 是一个非负数 2 2 a a 0 教学目标教学目标 理解 a 0 是一个非负数和 2 a a 0 并利用它们进行计算和化简 通过复习二次根式的概念 用逻辑推理的方法推出 a 0 是一个非负数 用具体数据结 合算术平方根的意义导出 2 a a 0 最后运用结论严谨解题 教学重难点关键教学重难点关键 1 重点 a 0 是一个非负数 2 a a 0 及其运用 2 难点 关键 用分类思想的方法导出 a 0 是一个非负数 用探究的方法导出 2 a a 0 教学过程教学过程 一 复习引入一 复习引入 学生活动 口答 1 什么叫二次根式 2 当 a 0 时 叫什么 当 a 0 时 有意义吗 老师点评 略 二 探究新知二 探究新知 议一议 学生分组讨论 提问解答 a 0 是一个什么数呢 老师点评 根据学生讨论和上面的练习 我们可以得出 a 0 是一个非负数 是一个非负数 做一做 根据算术平方根的意义填空 2 2 2 2 2 2 2 老师点评 是 4 的算术平方根 根据算术平方根的意义 是一个平方等于 4 的非负数 因此有 2 4 同理可得 2 2 2 9 2 3 2 2 2 0 所以 2 a a 0 例例 1 计算 aa aa a a aa aa aa a a 4293 1 3 7 2 0 44 4 293 1 3 1 3 7 2 7 2 0 a 7 1 2 2 3 2 3 2 4 2 分析分析 我们可以直接利用 2 a a 0 的结论解题 解 2 3 2 32 2 32 5 45 2 2 三 巩固练习三 巩固练习 计算下列各式的值 2 2 2 2 4 2 四 归纳小结四 归纳小结 本节课应掌握 1 a 0 是一个非负数 是一个非负数 2 2 a a 0 反之反之 a 2 a 0 五 布置作业五 布置作业 1 教材 P5 5 6 7 8 2 选用课时作业设计 16 1 16 1 二次根式二次根式 3 3 教学内容教学内容 a a 0 教学目标教学目标 理解 a a 0 并利用它进行计算和化简 通过具体数据的解答 探究 a a 0 并利用这个结论解决具体问题 教学重难点关键教学重难点关键 1 重点 a a 0 2 难点 探究结论 3 关键 讲清 a 0 时 a 才成立 教学过程教学过程 一 复习引入一 复习引入 老师口述并板收上两节课的重要内容 1 形如 a 0 的式子叫做二次根式 2 a 0 是一个非负数 3 2 a a 0 那么 我们猜想当 a 0 时 a 是否也成立呢 下面我们就来探究这个问题 二 探究新知二 探究新知 3 2 5 5 6 7 2 a 3 2 3 2 55 5 6 5 6 7 2 2 2 7 7 24 18 2 3 9 4 0 7 8 22 3 5 5 3 aaa 2 a 2 a 2 a 2 a 2 a a a a 2 a 8 学生活动 填空 老师点评 根据算术平方根的意义 我们可以得到 2 0 01 0 因此 一般地 a a 0 例例 1 化简 1 2 3 4 分析分析 因为 1 9 32 2 4 2 42 3 25 52 4 3 2 32 所以都可运用 a a 0 去化简 解 1 3 2 4 3 5 4 3 三 巩固练习三 巩固练习 教材 P7练习 2 四 归纳小结四 归纳小结 本节课应掌握 a a 0 及其运用 同时理解当 a 0 时 a 的应用拓展 五 布置作业五 布置作业 1 教材 P5习题 16 1 3 4 6 8 2 选作课时作业设计 1616 2 2 二次根式的乘除二次根式的乘除 教学内容教学内容 a 0 b 0 反之 a 0 b 0 及其运用 教学目标教学目标 理解 a 0 b 0 a 0 b 0 并利用它们进行计 算和化简 由具体数据 发现规律 导出 a 0 b 0 并运用它进行计算 利用逆向 思维 得出 a 0 b 0 并运用它进行解题和化简 教学重难点关键教学重难点关键 重点 a 0 b 0 a 0 b 0 及它们的运用 难点 发现规律 导出 a 0 b 0 关键 要讲清 a 0 b 0 反过来 a 0 b 0 及利用它们进行计算和化简 教学目标教学目标 理解 a 0 b 0 和 a 0 b 0 及利用它们进行运算 利用具体数据 通过学生练习活动 发现规律 归纳出除法规定 并用逆向思维写出逆向等式 及利用它们进行计算和化简 教学重难点关键教学重难点关键 1 重点 理解 a 0 b 0 a 0 b 0 及利用它们进行计算和化 简 2 难点关键 发现规律 归纳出二次根式的除法规定 教学过程教学过程 9 16 916 16 81 1681 81 100 81100 22 9x y 2 3 22 x y 2 3 2 x 2 y 549 6 2 366 1686105a 1 5 ay 20182454 22 12a b abababab a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b 11 一 复习引入一 复习引入 学生活动 请同学们完成下列各题 1 写出二次根式的乘法规定及逆向等式 2 填空 1 2 3 4 规律 3 利用计算器计算填空 1 2 3 4 规律 每组推荐一名学生上台阐述运算结果 老师点评 二 探索新知二 探索新知 刚才同学们都练习都很好 上台的同学也回答得十分准确 根据大家的练习和回答 我们可以 得到 一般地 对二次根式的除法规定 a 0 b 0 反过来 a 0 b 0 下面我们利用这个规定来计算和化简一些题目 9 16 9 16 16 36 16 36 4 16 4 16 36 81 36 81 9 16 9 16 16 36 16 36 4 16 4 16 36 81 36 81 3 4 2 3 2 5 7 8 3 4 3 4 2 3 2 3 2 5 2 5 7 8 7 8 a b a b a b a b 12 例例 1 计算 1 2 3 4 分析分析 上面 4 小题利用 a 0 b 0 便可直接得出答案 解 1 2 2 2 3 2 4 2 例例 2 化简 1 2 3 4 分析 直接利用 a 0 b 0 就可以达到化简之目的 解 1 2 3 4 三 巩固练习三 巩固练习 教材 P14 练习 1 四 归四 归纳小结纳小结 本节课要掌握 a 0 b 0 和 a 0 b 0 及其运用 五 布置作业五 布置作业 1 习题 16 2 2 7 8 9 2 选用课时作业设计 12 3 31 28 11 416 64 8 a b a b 12 3 12 3 4 31 28 313 83 4 282 33 11 416 111 16 4164 4 64 8 64 8 82 3 64 2 2 64 9 b a 2 9 64 x y 2 5 169 x y a b a b 3 64 33 864 2 2 64 9 b a 2 2 648 3 9 bb a a 2 9 64 x y 2 93 8 64 xx y y 2 5 169 x y 2 55 13 169 xx y y a b a b a b a b 13 21 2 21 2 二次根式的乘除二次根式的乘除 3 3 教学内容教学内容 最简二次根式的概念及利用最简二次根式的概念进行二次根式的化简运算 教学目标教学目标 理解最简二次根式的概念 并运用它把不是最简二次根式的化成最简二次根式 通过计算或化简的结果来提炼出最简二次根式的概念 并根据它的特点来检验最后结 果是否满足最简二次根式的要求 重难点关键重难点关键 1 重点 最简二次根式的运用 2 难点关键 会判断这个二次根式是否是最简二次根式 教学过程教学过程 一 复习引入一 复习引入 学生活动 请同学们完成下列各题 请三位同学上台板书 1 计算 1 2 3 老师点评 2 现在我们来看本章引言中的问题 如果两个电视塔的高分别是 h1km h2km 那么它们的 传播半径的比是 它们的比是 二 探索新知二 探索新知 观察上面计算题 1 的最后结果 可以发现这些式子中的二次根式有如下两个特点 二次根式有如下两个特点 1 被开方数不含分母 被开方数不含分母 2 被开方数中不含能开得尽方的因数或因式 被开方数中不含能开得尽方的因数或因式 我们把满足上述两个条件的二次根式 叫做最简二次根式 我们把满足上述两个条件的二次根式 叫做最简二次根式 那么上题中的比是否是最简二次根式呢 如果不是 把它们化成最简二次根式 学生分组讨论 推荐 3 4 个人到黑板上板书 老师点评 不是 例例 1 1 2 3 例例 2 如图 在 Rt ABC 中 C 90 AC 2 5cm BC 6cm 求 AB 的长 解 因为 AB2 AC2 BC2 所以 AB 6 5 cm 因此 AB 的长为 6 5cm 三 巩固练习三 巩固练习 练习 2 3 四 归纳小结四 归纳小结 本节课应掌握 最简二次根式的概念及其运用 五 布置作业五 布置作业 1 习题 16 2 3 7 10 2 选用课时作业设计 3 5 3 2 27 8 2a 3 5 15 5 3 2 27 6 3 8 2a 2 a a 1 2 2 2 Rh Rh 1 2 2 2 Rh Rh 1 2 11 222 2 2 hhRhh Rhhh 5 3 12 2442 x yx y 23 8x y 22 2 56 2 516916913 36 2424 B A C 14 21 3 21 3 二次根式的加减二次根式的加减 1 1 教学内容教学内容 二次根式的加减 教学目标教学目标 理解和掌握二次根式加减的方法 先提出问题 分析问题 在分析问题中 渗透对二次根式进行加减的方法的理解 再总结经验 用它来指导根式的计算和化简 重难点关键重难点关键 1 重点 二次根式化简为最简根式 2 难点关键 会判定是否是最简二次根式 教学过程教学过程 一 复习引入一 复习引入 学生活动 计算下列各式 1 2x 3x 2 2x2 3x2 5x2 3 x 2x 3y 4 3a2 2a2 a3 教师点评 上面题目的结果 实际上是我们以前所学的同类项合并 同类项合并就是字母不变 系数相加减 二 探索新知二 探索新知 学生活动 计算下列各式 1 2 3 2 2 3 5 3 2 3 4 3 2 老师点评 1 如果我们把当成 x 不就转化为上面的问题吗 2 3 2 3 5 2 把当成 y 2 3 5 2 3 5 4 8 3 把当成 z 2 2 2 3 1 2 3 6 4 看为 x 看为 y 3 2 3 2 因此 二次根式的被开方数相同是可以合并的 如 2与表面上看是不相同的 但它们可 以合并吗 可以的 板书 3 3 2 5 3 3 3 6 所以 二次根式加减时 可以先将二次根式化成最简二次根式 二次根式加减时 可以先将二次根式化成最简二次根式 再将被开方数相同的二次根再将被开方数相同的二次根 式进行合并 式进行合并 例例 1 计算 1 2 分析分析 第一步 将不是最简二次根式的项化为最简二次根式 第二步 将相同的最简二次根式 进行合并 解 1 2 3 2 3 5 2 4 8 4 8 12 例例 2 计算 1 3 9 3 2 22888779 7 33 2 2 2222 8888882 7 779777777 32 3323232 28 28222327333 81816x64x 8182222 16x64xxxxx 48 1 3 124820125 15 解 1 3 9 3 12 3 6 12 3 6 15 2 4 2 2 6 三 巩固练习三 巩固练习 教材 P19 练习 1 2 四 归纳小结四 归纳小结 本节课应掌握 1 不是最简二次根式的 应化成最简二次根式 2 相同的最简二次根式进行合并 五 布置作业五 布置作业 1 习题 16 3 1 2 3 5 2 选作课时作业设计 21 3 21 3 二次根式的加减二次根式的加减 2 2 教学内容教学内容 利用二次根式化简的数学思想解应用题 教学目标教学目标 运用二次根式 化简解应用题 通过复习 将二次根式化成被开方数相同的最简二次根式 进行合并后解应用题 重难点关键重难点关键 讲清如何解答应用题既是本节课的重点 又是本节课的难点 关键点 教学过程教学过程 一 复习引入一 复习引入 上节课 我们已经讲了二次根式如何加减的问题 我们把它归为 两个步骤 第一步 先将二次根式化成最简二次根式 第二步 再将被开方数相同的 二次根式进行合并 下面我们讲三道例题以做巩固 二 探索新知二 探索新知 例例 1 如图所示的 Rt ABC 中 B 90 点 P 从点 B 开始沿 BA 边以 1 厘米 秒的速度向点 A 移动 同时 点 Q 也从点 B 开始沿 BC 边 以 2 厘米 秒的速度向点 C 移动 问 几秒后 PBQ 的面积为 35 平方厘 米 结果用最简二次根式表示 分析 分析 设 x 秒后 PBQ 的面积为 35 平方厘米 那么 PB x BQ 2x 根据三角形面积公式就 可以求出 x 的值 解 设 x 后 PBQ 的面积为 35 平方厘米 则有 PB x BQ 2x 依题意 得 x 2x 35 x2 35 x 所以秒后 PBQ 的面积为 35 平方厘米 答 秒后 PBQ 的面积为 35 平方厘米 例例 2 要焊接如图所示的钢架 大约需要多少米钢材 精确到 0 1m 分析 分析 此框架是由 AB BC BD AC 组成 所以要求钢架的钢材 只需知道 这四段的长度 解 由勾股定理 得 AB 2 BC 48 1 3 1233333 48201254820125 353535 1 2 35 3535 2222 4220ADBD 5 2222 21BDCD 5 BA C Q P B AC 2m 1m4m D 16 所需钢材长度为 AB BC AC BD 2 5 2 3 7 3 2 24 7 13 7 m 答 要焊接一个如图所示的钢架 大约需要 13 7m 的钢材 三 巩固练习三 巩固练习 教材练习 3 四 归纳小结四 归纳小结 本节课应掌握运用最简二次根式的合并原理解决实际问题 五 布置作业五 布置作业 1 习题 16 3 7 2 选用课时作业设计 21 3 21 3 二次根式的加减二次根式的加减 3 3 教学内容教学内容 含有二次根式的单项式与单项式相乘 相除 多项式与单项式相乘 相除 多项式与多项式相 乘 相除 乘法公式的应用 教学目标教学目标 含有二次根式的式子进行乘除运算和含有二次根式的多项式乘法公式的应用 复习整式运算知识并将该知识运用于含有二次根式的式子的乘除 乘方等运算 重难点关键重难点关键 重点 二次根式的乘除 乘方等运算规律 难点关键 由整式运算知识迁移到含二次根式的运算 教学过程教学过程 一 复习引入一 复习引入 学生活动 请同学们完成下列各题 1 计算 1 2x y zx 2 2x2y 3xy2 xy 2 计算 1 2x 3y 2x 3y 2 2x 1 2 2x 1 2 老师点评 这些内容是对八年级上册整式运算的再现 它主要有 1 单项式 单项式 2 单项式 多项式 3 多项式 单项式 4 完全平方公式 5 平方差公式的运用 二 探索新知二 探索新知 如果把上面的 x y z 改写成二次根式呢 以上的运算规律是否仍成立呢 仍成立 整式运算中的 x y z 是一种字母 它的意义十分广泛 可以代表所有一切 当然也可以代 表二次根式 所以 整式中的运算规律也适用于二次根式 例例 1 计算 1 2 4 3 2 分析分析 刚才已经分析 二次根式仍然满足整式的运算规律 所以直接可用整式的运算规律 解 1 3 2 解 4 3 2 4 2 3 2 2 例例 2 计算 1 6 3 2 分析 刚才已经分析 二次根式的多项式乘以多项式运算在乘法公式运算中仍然成立 555 683622 6836383182426 62262223 3 2 55107107 17 解 1 6 3 3 2 18 6 13 3 2 2 2 10 7 3 三 巩固练习三 巩固练习 课本练习 1 2 四 归纳小结四 归纳小结 本节课应掌握二次根式的乘 除 乘方等运算 五五 布置作业 布置作业 1 习题 16 3 1 8 9 2 选用课时作业设计 1717 1 1 勾股定理 一 勾股定理 一 一 教学目的 1 了解勾股定理的发现过程 掌握勾股定理的内容 会用面积法证明勾股定理 2 培养在实际生活中发现问题总结规律的意识和能力 3 介绍我国古代在勾股定理研究方面所取得的成就 激发学生的爱国热情 促其勤奋学习 二 重点 难点 1 重点 勾股定理的内容及证明 2 难点 勾股定理的证明 三 例题的意图分析 例 1 补充 通过对定理的证明 让学生确信定理的正确性 通过拼图 发散学生的思维 锻 炼学生的动手实践能力 这个古老的精彩的证法 出自我国古代无名数学家之手 激发学生的民族 自豪感 和爱国情怀 例 2 使学生明确 图形经过割补拼接后 只要没有重叠 没有空隙 面积不会改变 进一步让 学生确信勾股定理的正确性 四 课堂引入 目前世界上许多科学家正在试图寻找其他星球的 人 为此向宇宙发出了许多信号 如地球 上人类的语言 音乐 各种图形等 我国数学家华罗庚曾建议 发射一种反映勾股定理的图形 如 果宇宙人是 文明人 那么他们一定会识别这种语言的 这个事实可以说明勾股定理的重大意义 尤其是在两千年前 是非常了不起的成就 让学生画一个直角边为 3cm 和 4cm 的直角 ABC 用刻度尺量出 AB 的长 以上这个事实是我国古代 3000 多年前有一个叫商高的人发现的 他说 把一根直尺折成直 角 两段连结得一直角三角形 勾广三 股修四 弦隅五 这句话意思是说一个直角三角形较短 直角边 勾 的长是 3 长的直角边 股 的长是 4 那么斜边 弦 的长是 5 再画一个两直角边为 5 和 12 的直角 ABC 用刻度尺量 AB 的长 你是否发现 3 2 42 与 5 2 的关系 5 2 122 和 13 2 的关系 即 3 2 42 52 5 2 122 132 那么就有勾2 股2 弦2 对于任意的直角三角形也有这个性质吗 五 例习题分析 例 1 补充 已知 在 ABC 中 C 90 A B C 的对边为 a b c 求证 a 2 b2 c2 分析 让学生准备多个三角形模型 最好是有颜色的吹塑纸 让学生拼 摆不同的形状 利用面积相等进行证明 拼成如图所示 其等量关系为 4S S小正 S大正 4 2 1 ab b a 2 c2 化简可证 发挥学生的想象能力拼出不同的图形 进行证明 勾股定理的证明方法 达 300 余种 这个古老的精彩的证法 出自我国古代无名数学家之手 激发学生的民族自豪感 和爱国情怀 例 2 已知 在 ABC 中 C 90 A B C 的对边为 a b c 555555 107107107 c b a DC AB 18 求证 a 2 b2 c2 分析 左右两边的正方形边长相 等 则两个正方形的面积相等 左边 S 4 2 1 ab c 2 右边 S a b 2 左边和右边面积相等 即 4 2 1 ab c 2 a b 2 化简可证 六 课堂练习 1 勾股定理的具体内容是 2 如图 直角 ABC 的主要性质是 C 90 用几何语言表示 两锐角之间的关系 若 D 为斜边中点 则斜边中线 若 B 30 则 B 的对边和斜边 三边之间的关系 3 ABC 的三边 a b c 若满足 b 2 a2 c2 则 90 若满足 b2 c 2 a2 则 B 是 角 若满足 b2 c2 a2 则 B 是 角 4 根据如图所示 利用面积法证明勾股定理 1717 1 1 勾股定理 二 勾股定理 二 一 教学目的 1 会用勾股定理进行简单的计算 2 树立数形结合的思想 分类讨论思想 二 重点 难点 1 重点 勾股定理的简单计算 2 难点 勾股定理的灵活运用 三 例题的意图分析 例 1 补充 使学生熟悉定理的使用 刚开始使用定理 让学生画好图形 并标好图形 理清 边之间的关系 让学生明确在直角三角形中 已知任意两边都可以求出第三边 并学会利用不同的 条件转化为已知两边求第三边 例 2 补充 让学生注意所给条件的不确定性 知道考虑问题要全面 体会分类讨论思想 例 3 补充 勾股定理的使用范围是在直角三角形中 因此注意要创造直角三角形 作高是常 用的创造直角三角形的辅助线做法 让学生把前面学过的知识和新知识综合运用 提高综合能力 四 课堂引入 复习勾股定理的文字叙述 勾股定理的符号语言及变形 学习勾股定理重在应用 五 例习题分析 例 1 补充 在 Rt ABC C 90 已知 a b 5 求 c 已知 a 1 c 2 求 b 已知 c 17 b 8 求 a 已知 a b 1 2 c 5 求 a 已知 b 15 A 30 求 a c b b b b c c c c a a a a b b b b a a c c a a A C B D b c c a a b D C A E B 19 分析 刚开始使用定理 让学生画好图形 并标好图形 理清边之间的关系 已知两直角边 求斜边直接用勾股定理 已知斜边和一直角边 求另一直角边 用勾股定理的便形式 已 知一边和两边比 求未知边 通过前三题让学生明确在直角三角形中 已知任意两边都可以求出第 三边 后两题让学生明确已知一边和两边关系 也可以求出未知边 学会见比设参的数学方法 体 会由角转化为边的关系的转化思想 例 2 补充 已知直角三角形的两边长分别为 5 和 12 求第三边 分析 已知两边中较大边 12 可能是直角边 也可能是斜边 因此应分两种情 况分别进形计算 让学生知道考虑问题要全面 体会分类讨论思想 例 3 补充 已知 如图 等边 ABC 的边长是 6cm 求等边 ABC 的高 求 S ABC 分析 勾股定理的使用范围是在直角三角形中 因此注意要创造直角三 角形 作高是常用的创造直角三角形的辅助线做法 欲求高 CD 可将其置身于 Rt ADC 或 Rt BDC 中 但只有一边已知 根据等腰三角形三线合一性质 可求 AD CD 2 1 AB 3cm 则此题可解 六 课堂练习 1 填空题 在 Rt ABC C 90 a 8 b 15 则 c 在 Rt ABC B 90 a 3 b 4 则 c 在 Rt ABC C 90 c 10 a b 3 4 则 a b 一个直角三角形的三边为三个连续偶数 则它的三边长分别为 已知直角三角形的两边长分别为 3cm 和 5cm 则第三边长为 已知等边三角形的边长为 2cm 则它的高为 面积为 2 已知 如图 在 ABC 中 C 60 AB 34 AC 4 AD 是 BC 边 上的高 求 BC 的长 3 已知等腰三角形腰长是 10 底边长是 16 求这个等腰三角形的面积 1717 1 1 勾股定理 三 勾股定理 三 一 教学目的 1 会用勾股定理解决简单的实际问题 2 树立数形结合的思想 二 重点 难点 1 重点 勾股定理的应用 2 难点 实际问题向数学问题的转化 三 例题的意图分析 例 1 教材探究 1 明确如何将实际问题转化为数学问题 注意条件的转化 学会如何利用数 学知识 思想 方法解决实际问题 D C B A A CBD 20 例 2 教材探究 2 使学生进一步熟练使用勾股定理 探究直角三角形 三边的关系 保证一边不变 其它两边的变化 四 课堂引入 勾股定理在实际的生产生活当中有着广泛的应用 勾股定理的发现和使 用解决了许多生活中的问题 今天我们就来运用勾股定理解决一些问题 你 可以吗 试一试 五 例习题分析 例 1 教材探究 1 分析 在实际问题向数学问题的转化过程中 注意勾股定理的使用条件 即门框为长方形 四个角都是直角 让学生深入探讨图中有几个直角三角 形 图中标字母的线段哪条最长 指出薄木板在数学问题中忽略厚度 只 记长度 探讨以何种方式通过 转化为勾股定理的计算 采用多种方法 注意给学生小结深化数学建模思想 激发数学兴趣 例 2 教材探究 2 分析 在 AOB 中 已知 AB 3 AO 2 5 利用勾股定理计算 OB 在 COD 中 已知 CD 3 CO 2 利用勾股定理计算 OD 则 BD OD OB 通过计算可知 BD AC 进一步让学生探究 AC 和 BD 的关系 给 AC 不同的值 计算 BD 六 课堂练习 1 小明和爸爸妈妈十一登香山 他们沿着 45 度的坡路走了 500 米 看到了一棵红叶树 这棵红 叶树的离地面的高度是 米 2 如图 山坡上两株树木之间的坡面距离是 43米 则这两株树之间的垂直距离是 米 水平距离是 米 2题图 3 题图 4 题图 3 如图 一根 12 米高的电线杆两侧各用 15 米的铁丝固定 两个固定点之间的距离 是 4 如图 原计划从 A 地经 C 地到 B 地修建一条高速公路 后因技术攻关 可以打隧道由 A 地到 B 地直接修建 已知高 速公路一公里造价为 300 万元 隧道总长为 2 公里 隧道造 价为 500 万元 AC 80 公里 BC 60 公里 则改建后可省工程 费用是多少 1717 1 1 勾股定理 四 勾股定理 四 一 教学目的 1 会用勾股定理解决较综合的问题 2 树立数形结合的思想 D AB C 30 A B C C A B A CB O A B C D 21 二 重点 难点 1 重点 勾股定理的综合应用 2 难点 勾股定理的综合应用 三 例题的意图分析 例 1 补充 双垂图 是中考重要的考点 熟练掌握 双垂图 的图形结构和图形性质 通 过讨论 计算等使学生能够灵活应用 目前 双垂图 需要掌握的知识点有 3 个直角三角形 三 个勾股定理及推导式 BC 2 BD2 AC2 AD2 两对相等锐角 四对互余角 及 30 或 45 特殊角的特殊 性质等 例 2 补充 让学生注意所求结论的开放性 根据已知条件 作适当辅助线求出三角形中的边 和角 让学生掌握解一般三角形的问题常常通过作高转化为直角三角形的问题 使学生清楚作辅助 线不能破坏已知角 例 3 补充 让学生掌握不规则图形的面积 可转化为特殊图形求解 本题通过将图形转化为 直角三角形的方法 把四边形面积转化为三角形面积之差 在转化的过程中注意条件的合理运用 让学生把前面学过的知识和新知识综合运用 提高解题的综合能力 例 4 教材 P76 页探究 3 让学生利用尺规作图和勾股定理画出数轴上的无理数点 进一步体 会数轴上的点与实数一一对应的理论 四 课堂引入 复习勾股定理的内容 本节课探究勾股定理的综合应用 五 例习题分析 例 1 补充 1 已知 在 Rt ABC 中 C 90 CD BC 于 D A 60 CD 3 求线段 AB 的长 分析 本题是 双垂图 的计算题 双垂图 是中考重要的考点 所以要求学生对图形及性质掌 握非常熟练 能够灵活应用 目前 双垂图 需要掌握的知识点有 3 个直角三角形 三个勾股定 理及推导式 BC 2 BD2 AC2 AD2 两对相等锐角 四对互余角 及 30 或 45 特 殊角的特殊性质等 要求学生能够自己画图 并正确标图 引导学生分析 欲求 AB 可由 AB BD CD 分别在两个三角形中利用勾股定理和特殊角 求出 BD 3 和 AD 1 或欲求 AB 可由 22 BCACAB 分别在两个三角形中利用勾股定理和 特殊角 求出 AC 2 和 BC 6 例 2 补充 已知 如图 ABC 中 AC 4 B 45 A 60 根据 题设可知什么 分析 由于本题中的 ABC 不是直角三角形 所以根据题设只能直接求得 ACB 75 在学生充分思考和讨论后 发现添置 AB 边上的高这条辅助 线 就可以求得 AD CD BD AB BC 及 S ABC 让学生充分讨论还可以作 其它辅助线吗 为什么 小结 可见解一般三角形的问题常常通过作高转化为直角三角形的问 题 并指出如何作辅助线 解略 例 3 补充 已知 如图 B D 90 A 60 AB 4 CD 2 求 四边形 ABCD 的面积 分析 如何构造直角三角形是解本题的关键 可以连结 AC 或延长 AB DC 交于 F 或延长 AD BC 交于 E 根据本题给定的角应选后两种 进一 步根据本题给定的边选第三种较为简单 教学中要逐层展示给学生 让 学生深入体会 解 延长 AD BC 交于 E A 60 B 90 E 30 AE 2AB 8 CE 2CD 4 BE 2 AE2 AB2 82 42 48 BE 48 34 DE 2 CE2 CD2 42 22 12 DE 12 32 S四边形 ABCD S ABE S CDE 2 1 AB BE 2 1 CD DE 36 C A B D A B C D E BA C D 22 小结 不规则图形的面积 可转化为特殊图形求解 本题通过将图形转化为直角三角形的方法 把四边形面积转化为三角形面积之差 例 4 教材探究 3 分析 利用尺规作图和勾股定理画出数轴上的无理数点 进一步体会数轴上的点与实数一一对应的 理论 变式训练 在数轴上画出表示22 13 的点 六 课堂练习 1 ABC 中 AB AC 25cm 高 AD 20cm 则 BC S ABC 2 ABC 中 若 A 2 B 3 C AC 32cm 则 A 度 B 度 C 度 BC S ABC 3 ABC 中 C 90 AB 4 BC 32 CD AB 于 D 则 AC CD BD AD S ABC 4 已知 如图 ABC 中 AB 26 BC 25 AC 17 求 S ABC 1717 2 2 勾股定理的逆定理 一 勾股定理的逆定理 一 一 教学目的 1 体会勾股定理的逆定理得出过程 掌握勾股定理的逆定理 2 探究勾股定理的逆定理的证明方法 3 理解原命题 逆命题 逆定理的概念及关系 二 重点 难点 1 重点 掌握勾股定理的逆定理及证明 2 难点 勾股定理的逆定理的证明 三 例题的意图分析 例 1 补充 使学生了解命题 逆命题 逆定理的概念 及它们之间的关系 例 2 通过让学生动手操作 画好图形后剪下放到一起观察能否重合 激发学生的兴趣和求知欲 锻炼学生的动手操作能力 再通过探究理论证明方法 使实践上升到理论 提高学生的理性思维 例3 补充 使学生明确运用勾股定理的逆定理判定一个三角形是否是直角三角形的一般步骤 先判断那条边最大 分别用代数方法计算出 a 2 b2和 c2的值 判断 a2 b2和 c2是否相等 若相 等 则是直角三角形 若不相等 则不是直角三角形 四 课堂引入 创设情境 怎样判定一个三角形是等腰三角形 怎样判定一个三角形是直角三角形 和等腰三角形的判定进行对比 从勾股定理的逆 命题进行猜想 五 例习题分析 例 1 补充 说出下列命题的逆命题 这些命题的逆命题成立吗 同旁内角互补 两条直线平行 如果两个实数的平方相等 那么两个实数平方相等 线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等 直角三角形中 30 角所对的直角边等于斜边的一半 分析 每个命题都有逆命题 说逆命题时注意将题设和结论调换即可 但要分清题设和结论 并注意语言的运用 理顺他们之间的关系 原命题有真有假 逆命题也有真有假 可能都真 也可能一真一假 还可能都假 解略 A BC 23 例 2 证明 如果三角形的三边长 a b c 满足 a 2 b2 c2 那么这个三角形是直角三角形 分析 注意命题证明的格式 首先要根据题意画出图 形 然后写已知求证 如何判断一个三角形是直角三角形 现在只知道 若有一个角是直角的三角形是直角三角形 从而将问题 转化为如何判断一个角是直角 利用已知条件作一个直角三角形 再证明和原三 角形全等 使问题得以解决 先做直角 再截取两直角边相等 利用勾股定理计算斜边 A1B1 c 则通过三边对应相等的两 个三角形全等可证 先让学生动手操作 画好图形后剪下放到一起观察能否重合 激发学生的兴趣和求知欲 再 探究理论证明方法 充分利用这道题锻炼学生的动手操作能力 由实践到理论学生更容易接受 证明略 例 3 补充 已知 在 ABC 中 A B C 的对边分别是 a b c a n 2 1 b 2n c n2 1 n 1 求证 C 90 分析 运用勾股定理的逆定理判定一个三角形是否是直角三角形的一般步骤 先判断那条 边最大 分别用代数方法计算出 a 2 b2和 c2的值 判断 a2 b2和 c2是否相等 若相等 则是直角 三角形 若不相等 则不是直角三角形 要证 C 90 只要证 ABC 是直角三角形 并且 c 边最大 根据勾股定理的逆定理只要证 明 a 2 b2 c2即可 由于 a 2 b2 n2 1 2 2n 2 n4 2n2 1 c2 n2 1 2 n4 2n2 1 从而 a2 b2 c2 故 命题获证 六 课堂练习 1 判断题 在一个三角形中 如果一边上的中线等于这条边的一半 那么这条边所对的角是直角 命题 在一个三角形中 有一个角是 30 那么它所对的边是另一边的一半 的逆命题 是真命题 勾股定理的逆定理是 如果两条直角边的平方和等于斜边的平方 那么这个三角形是直角三 角形 ABC 的三边之比是 1 1 2 则 ABC 是直角三角形 2 ABC 中 A B C 的对边分别是 a b c 下列命题中的假命题是 A 如果 C B A 则 ABC 是直角三角形 B 如果 c 2 b2 a2 则 ABC 是直角三角形 且 C 90 C 如果 c a c a b 2 则 ABC 是直角三角形 D 如果 A B C 5 2 3 则 ABC 是直角三角形 3 下列四条线段不能组成直角三角形的是 A a 8 b 15 c 17 B a 9 b 12 c 15 C a 5 b 3 c 2 D a b c 2 3 4 4 已知 在 ABC 中 A B C 的对边分别是 a b c 分别为下列长度 判断该三角形 a b c a b BC AA1 C1 B1 24 是否是直角三角形 并指出那一个角是直角 a 3 b 22 c 5 a 5 b 7 c 9 a 2 b 3 c 7 a 5 b 62 c 1 1717 2 2 勾股定理的逆定理 二 勾股定理的逆定理 二 一 教学目的 1 灵活应用勾股定理及逆定理解决实际问题 2 进一步加深性质定理与判定定理之间关系的认识 二 重点 难点 1 重点 灵活应用勾股定理及逆定理解决实际问题 2 难点 灵活应用勾股定理及逆定理解决实际问题 三 例题的意图分析 例 1 见教材例题 让学生养成利用勾股定理的逆定理解决实际问题的意识 例 2 补充 培养学生利用方程思想解决问题 进一步养成利用勾股定理的逆定理解决实际问 题的意识 四 课堂引入 创设情境 在军事和航海上经常要确定方向和位置 从而使用一 些数学知识和数学方法 五 例习题分析 例 1 见教材 分析 了解方位角 及方位名词 依题意画出图形 依题意可得 PR 12 1 5 18 PQ 16 1 5 24 QR 30 因为 24 2 182 302 PQ2 PR2 QR2 根据勾股定理 的逆定理 知 QPR 90 PRS QPR QPS 45 小结 让学生养成 已知三边求角 利用勾股定理的逆定理 的意识 例 2 补充 一根 30 米长的细绳折成 3 段 围成一个三角形 其中一条边的长度比较短边长 7 米 比较长边短 1 米 请你试判断这个三角形的形状 分析 若判断三角形的形状 先求三角形的三边长 设未知数列方程 求出三角形的三边长 5 12 13 根据勾股定理的逆定理 由 5 2 122 132 知三角形为直角三角形 解略 P N E S Q R 25 六 课堂练习 1 小强在操场上向东走 80m 后 又走了 60m 再走 100m 回到原地 小强在 操场上向东走了 80m 后 又走 60m 的方向是 2 如图 在操场上竖直立着一根长为 2 米的测影竿 早晨测得它的影长为 4 米 中午测得它的影长为 1 米 则 A B C 三点能否构成直角三角形 为什 么 3 如图 在我国沿海有一艘不