动态电路的时域分析.ppt

第四章动态电路的时域分析 4 1动态元件4 2动态电路的方程4 3一阶电路的零输入响应4 4一阶电路的零状态响应4 5一阶电路的完全响应4 6一阶电路的单位阶跃响应4 7二阶电路分析4 8正弦激励下一阶电路的响应4 9小结 4 1动态元件 图4 1 1线性时不变电容元件 电荷量q与其端电压的关系为 式中C称为电容元件的电容量 单位为法拉 F 电容元件简称为电容 其符号C既表示元件的参数 也表示电容元件 在电路分析中 关心的是元件的VAR 若电容端电压u与通过的电流i采用关联参考方向 如图4 1 1 b 所示 则有 4 1 2 1 任何时刻 通过电容元件的电流与该时刻的电压变化率成正比 如果电容两端加直流电压 则i 0 电容元件相当于开路 故电容元件有隔断直流的作用 2 在实际电路中 通过电容的电流i总是为有限值 这意味着du dt必须为有限值 也就是说 电容两端电压u必定是时间t的连续函数 而不能跃变 这从数学上可以很好地理解 当函数的导数为有限值时 其函数必定连续 将式 4 1 2 改写为 对上式从 到t进行积分 并设u 0 得 电容有 记忆 电流的作用 设t0为初始时刻 如果只讨论t t0的情况 式 4 1 3 可改写为 一般总可以认为u 0 得电容的储能为 电容所储存的能量一定大于或等于零 例4 1 1图4 1 2 a 所示电路中的us t 波形如图 b 所示 已知电容C 0 5F 求电流i 功率p t 和储能wC t 并绘出它们的波形 解写出us的函数表示式为 其波形如图 d 所示 根据电容储能 图4 1 2例4 1 1用图 图4 1 2例4 1 1用图 4 1 2电感元件 图4 1 3实际电感器示意图 图4 1 4线性时不变电感元件 1 任何时刻 电感元件两端的电压与该时刻的电流变化率成正比 如果通过电感的电流是直流 则u 0 电感相当于短路 2 由于电感上的电压为有限值 故电感中的电流不能跃变 4 1 9 对 4 1 9 式两端同时积分 并设i 0 得 设t0为初始时刻 4 1 10 式可改写为 4 1 10 设电感上的电压 电流采用关联参考方向 由 4 1 9 式 得电感元件的吸收功率为 对上式从 到t进行积分 得电感元件的储能为 4 1 3电感 电容的串 并联 图4 1 5电感串联 根据电感元件VAR的微分形式 有 电感L1与L2相并联的电路如图4 1 6 a 所示 电感L1和L2的两端为同一电压u 根据电感元件VAR的积分形式有 图4 1 6电感并联 由KCL 得端口电流 式中 图4 1 7电容串联 或写为 若有n个电容Ci i 1 2 n 相串联 同理可推得其等效电容为 电容C1和C2相并联的电路如图4 1 8 a 所示 电容C1与C2两端为同一电压u 根据电容元件VAR的微分形式 有 由KCL 得端口电流为 图4 1 8电容并联 若有n个电容Ci i 1 2 n 相并联 同理可推得其等效电容为 4 2动态电路的方程 4 2 1方程的建立 图4 2 1RC串联电路 电路中开关的接通 断开或者电路参数的突然变化等统称为 换路 根据KVL列出电路的回路电压方程为 由于 将它们代入上式 并稍加整理 得 图4 2 2RL并联电路 图4 2 3RLC串联电路 图4 2 3所示RLC串联电路 若仍以电容电压uC t 作为电路响应 根据KVL可得 由于 一般而言 若电路中含有n个独立的动态元件 那么描述该电路的微分方程是n阶的 称为n阶电路 4 2 2电路量的初始值计算 我们把电路发生换路的时刻记为t0 把换路前一瞬间记为t0 而把换路后一瞬间记为t0 当t t0 时 电容电压uC和电感电流iL分别为 4 2 4 若在t t0处 电容电流iC和电感电压uL为有限值 则电容电压uC和电感电流iL在该处连续 它们不能跃变 一般情况下 选择t0 0 则由 4 2 4 式得 根据置换定理 在t t0 时 用电压等于u t0 的电压源替代电容元件 用电流等于iL t0 的电流源替代电感元件 独立电源均取t t0 时的值 例4 2 1电路如图4 2 4 a 所示 在开关闭合前 电路已处于稳定 当t 0时开关闭合 求初始值i1 0 i2 0 和iC 0 图4 2 4例4 2 1用图 解 1 求开关闭合前的电容电压uC 0 由于开关闭合前电路已处于稳定 uC t 不再变化 duC dt 0 故iC 0 电容可看作开路 t 0 时电路如图 b 所示 由图 b 可得 2 画出0 等效电路 根据换路定律有 3 由0 等效电路 计算各电流的初始值 由图 c 可知 例4 2电路如图4 2 5 a 所示 t 0时开关S由1板向2 在t 0时电路处于稳定 求初始值i1 0 i2 0 和uL 0 图4 2 5例4 2 2用图 解 1 由t 0时的电路 求iL 0 2 画出0 等效电路 根据换路定律 有 3 由0 等效电路 计算各初始值 由图 c 可知 例4 2 3电路如图4 2 6 a 所示 t 0时开关S由1扳向2 在t 0时电路已处于稳定 求初始值i2 0 iC 0 图4 2 6例4 2 3用图 解 1 2 画出0 等效电路 根据换路定律有 3 由0 等效电路 计算各初始值 求初始值的简要步骤如下 1 由t 0时的电路 求出uC 0 iL 0 2 画出0 等效电路 3 由0 等效电路 求出各电流 电压的初始值 4 3一阶电路的零输入响应 我们把这种外加激励为零 仅由动态元件初始储能所产生的电流和电压 称为动态电路的零输入响应 图4 3 1一阶RC电路的零输入响应 4 3 1 4 3 2 4 3 2 令具有时间量纲 即 电路在t 0时 处于稳定状态 电容上的电压为R0Is 当电路发生换路后 电容电压由uC 0 逐渐下降到零 我们把这一过程称为过渡过程 或称为暂态过程 当t 时 过渡过程结束 电路又处于另一稳定状态 时间常数 的大小反映了电路过渡过程的进展速度 越大 过渡过程的进展越慢 当t 时 当t 4 时 图4 3 2不同时间常数的uC波形 由KVL得 根据换路定律 得初始条件为 4 3 9 令 L R 它同样具有时间量纲 是R L串联电路的时间常数 这样 4 3 9 式可表示为 由于零输入响应是由动态元件的初始储能所产生的 随着时间t的增加 动态元件的初始储能逐渐被电阻R所消耗 因此 零输入响应总是按指数规律逐渐衰减到零 若零输入响应用yx t 表示之 其初始值为yx 0 那么 例4 3 1电路如图4 3 4 a 所示 t 0时电路处于稳定 t 0时开关S打开 求t 0时的电流iL和电压uR uL 图4 3 4例4 3 1用图 4 4一阶电路的零状态响应 电路的零状态响应定义为 电路的初始储能为零 仅由t 0外加激励所产生的响应 图4 4 1一阶RC电路的零状态响应 其初始条件为 其特征方程为 表4 1不同激励时动态电路的特解 4 4 2一阶RL电路的零状态响应 4 5一阶电路的完全响应 假若电路的初始状态不为零 同时又有外加激励电源的作用 这时电路的响应称为完全响应 对于线性电路而言 其完全响应等于零输入响应与零状态响应之和 即 图4 5 1一阶电路的等效 图4 5 2一阶RC电路 4 5 1 图4 5 3一阶RL电路 4 5 2 假如电路的响应用y t 表示 激励用f t 表示 那么由 4 5 1 式和 4 5 2 式可知 一阶电路微分方程的一般形式可表示为 4 5 3 式中 为一阶电路的时间常数 b为常数 其大小由电路结构和元件参数所决定 4 5 3 式为一阶线性常系数非齐次微分方程 其齐次解为Ae t 其中A为待定常数 由于激励f t 为直流电源 故其特解为常数 令yp t K 这样 4 5 3 式的完全解为 4 5 4 将初始条件代入上式 得 当t 时 上式右端的第二项趋于零 于是得 4 5 6 y 称为响应的稳态值 它表示在直流电源作用下 t 时的响应值 将 4 5 6 式代入 4 5 5 式 得 计算图4 5 3所示RL电路中的电感电流iL 由于iL 0 I0 iL Us R和 L R 代入三要素公式得 上式也可改写为 以图4 5 3所示的电路为例 在求零输入响应时 独立电源要为零 即电压源短路 电流源开路 如图4 5 4 a 所示 这时电感中的初始电流iLx 0 I0 由于电路中无独立电源 故t 时 电感中储存的磁能全部被电阻所消耗 电感电流iLx 0 时间常数 L R 利用三要素公式得 图4 5 4分别求零输入响应和零状态响应时的RL电路 求零状态响应时 初始状态为零 即iLf 0 0 电路如图4 5 4 b 所示 当t 时 电路达到稳定 iLf Us R 利用三要素公式得 图4 5 5iL的波形 例4 5 1图4 5 6 a 所示电路 t 0时开关S闭合 闭合前电路处于稳定 求t 0时的电感电流iL 图4 5 6例4 5 1用图 解 1 求iL 0 开关闭合前电路处于稳定 电感看作短路 iL 0 Is 3A 根据换路定律 有 2 求iL 3 求 4 求iL 例4 5 2电路如图4 5 7 a 所示 t 0时电路处于稳态 t 0时S1打开 S2闭合 求电容电压uC和电流i 图4 5 7例4 5 2用图 解 1 求uC 0 和i 0 t 0 时 电容C相当于开路 故 2 求uC 和i 3 求 4 求uC和i 图4 5 8uC和i的波形 4 6一阶电路的单位阶跃响应 4 6 1单位阶跃函数 单位阶跃函数用 t 表示 其定义为 图4 6 1单位阶跃函数 单位阶跃函数可以用来描述1V或1A的直流源接入电路的情况 例如图4 6 2 a 所示1V电压源在t 0时接入电路 端口电压可表示为 图4 6 2单位阶跃函数示意图 图4 6 3阶跃函数和延时阶跃函数 图4 6 4矩形脉冲分解 图4 6 5 4 6 2一阶电路的单位阶跃响应当激励为单位阶跃函数时 电路的零状态响应称为单位阶跃响应 简称阶跃响应 用g t 表示之 例4 6 1图4 6 6 a 所示电路 若以电流iL为输出 求其阶跃响应g t 图4 6 6例4 6 1用图 解根据阶跃响应的定义 令us t 它相当于1V电压源在t 0时接入电路 如图 b 所示 而且电路的初始状态iL 0 iL 0 0 由图 b 可知 iL的稳态值和该电路的时间常数分别为 线性电路具有两个特性 齐次性和叠加性 若以f t 表示激励 yf t 表示电路的零状态响应 齐次性可表示为 叠加性可表示为 如果电路既满足齐次性又满足叠加性 则该电路是线性的 可表示为 如果电路元件的参数不随时间变化 则该电路为时不变电路 这时 电路的零状态响应的函数形式与激励接入电路的时间无关 即 图4 6 7时不变特性 电路的线性时不变特性 将给电路的计算带来许多方便 例如 若电路的激励为图4 6 4 a 所示的矩形脉冲信号 即 根据线性时不变特性 该电路的零状态响应为 例4 6 2图4 6 8 a 所示电路 其激励is的波形如图 b 所示 若以uC为输出 求其零状态响应 解激励is可表示为 图4 6 8例4 6 2用图 故阶跃响应为 零状态响应为 4 7二阶电路分析 图4 7 1RLC串联电路 由KVL得 由于 令2 R L 称为衰减常数 0 1 称为固有振荡频率 表4 2二阶电路的齐次解 4 7 1零输入响应 根据零输入响应的定义 令us 0 同时为了简化讨论中的计算 又不失一般性 令uC 0 U0 iL 0 0 上式为二阶齐次微分方程 其特征方程为 其特征根为 1 0 即R 2 此时p1 p2为不相等的负实数 称为过阻尼情况 令特征根 微分方程的通解为 回路中的电流 放电电流达最大的时刻tm可用求极值的方法解得 令 图4 7 2过阻尼时的uC和i的波形 2 0 即 此时p1 p2为相等的负实数 称为临界阻尼 特征根为 微分方程的通解为 由初始条件 3 0 即 此时p1 p2为一对共轭复根 称为欠阻尼或衰减振荡 特征根为 式中A和 为待定常数 由初始条件 图4 7 3欠阻尼时的uC和i波形 当R 0时 0 由上式可知 此时uC和i为等幅振荡 这是由于R 0 电路仅由L C构成 在振荡过程中不再有能量损耗 该振荡由电路的初始储能所产生 故称为自由振荡 4 7 2阶跃响应 若以p1 p2为不相等的负实根为例 其阶跃响应为 由初始条件 解得 当p1 p2 临界阻尼时 当p1 2 j d 欠阻尼时 4 8正弦激励下一阶电路的响应 图4 8 1正弦电压源作用于RC电路 图4 8 1 a 所示一阶RC电路 t 0时开关闭合 若电容电压的初始值uC 0 U0 电压源为 令 图4 8 2直角三角形图示 由图可得 若使上式等号两端相等 必须满足 利用初始条件确定常数A 即 t 0 图4 8 3uC t 波形 4 9小结 1 动态元件的VAR是微分或积分关系 如下表所示 2 描述动态电路的方程是微分方程 利用KCL KVL和元件的VAR可列写出待求响应的微分方程 利用换路定律和0 等效电路 可求得电路中各电流 电压的初始值 3 零输入响应是激励为零 由电路的初始储能产生的