数字信号处理复习第三部分.doc

数字信号处理复习第 3部分: z变换1. 定义Z变换为离散时间信号与LTI系统分析的重要数学工具。给定一离散时间序列xn, 其z变换定义为： -记住!其中， ,如DTFT, z变换在一定条件下存在。z变换存在情况下的Z变量取值范围称为收敛域(ROC)。2. 序列特性与X(z)的收敛域ROC的关系。(重点)a. ROC不包含任何极点。b.有理 z变换的收敛域ROC由其极点界定。 c. 对于有限长序列xn,其z变换的收敛域ROC 为整个z-平面，可能在 z = 0 或z = 除外。d. 对于因果序列xn,其 z变换的收敛域ROC由其离原点最远的极点确定，其形式为。e. 对于反因果序列xn, 其 z变换的收敛域ROC由其离原点最近的极点确定，其形式为。2. 图3.2: 反因果序列的z变换的收敛域ROC图3.1: 因果序列的z变换的收敛域ROC z反变换基本要求:用部分分式展开法求z反变换。习题: 3.88, 3.983. z变换和DTFT之间的关系DTFT 为单位圆上的z变换。数学表达为： - 记住并理解!4. LTI 离散时间系统分析a. 传输函数 (系统函数)怎样在z域表示离散时间LTI 系统? 答案：传输函数H(z)表示离散时间LTI 系统。传输函数H(z) 为系统的单位冲激响应hn的Z变换。对于因果系统, 传输函数H(z)为关于z-1的两个有理多项式的比值。在时域，因果系统表示为线性常系数差分方程： 对方程两端进行z变换得到：要求:给定差分方程，能计算其传输函数，或给定传输函数，能计算得到差分方程。b. 因果性系统因果，则单位冲激响应hn 满足:表明：因果系统的单位冲激响应hn为因果信号。对于因果系统，传输函数H(z)的所有极点在某个圆以内。如果系统的单位冲激响应hn 满足:则系统为反因果系统。对于反因果系统，传输函数的全部极点在某个圆以外。c. 稳定性用单位冲激响应hn描述LTI系统, 可以证实单位冲激响应hn是否满足下述条件: 被称为绝对可和条件一LTI 离散时间系统稳定当且仅当单位冲激响应满足绝对可和条件。结合DTFT 与 z变换的关系，得出：当系统传输函数的收敛域包含单位圆，系统稳定。 -牢记此结论!基于此，对于因果系统，当所有极点位于单位圆以内，则系统稳定；对于反因果系统，当所有极点位于单位圆以外，则系统稳定。FIR 系统总是稳定的。- 为什么?5. 频率响应频率响应是一个重要的概念，根据频率响应，可理解滤波。频率响应定义为系统单位冲激响应的DTFT:其中， |H(ej)| 称为幅频响应， 称为相频响应。注意:仅当稳定系统才有频率响应。频率响应H(ej)可根据DTFT 与z变换之间的关系简单得到： 6.根据差分方程确定频率响应 线性常系数差分方程通常用来描述LTI离散时间系统的输入输出关系，一般形式如：对方程两边同时进行DTFT变换，即可直接得到频率响应： 基本要求：能根据频率响应判别低通，高通，带通，带阻滤波器。7. 稳态响应的求解 ( 重点 )结论:对于LTI 系统，如果输入为正弦序列xn=cos(0t+0), 则输出响应yn必为相同形式的正弦序列，但需在 =0的幅频响应|H(ej)|进行加权，并通过相频响应在 =0的值进行移位，即：yn= |H(ej0)|cos(0t+0+)Generalization:怎样确定输入包含不同频