初中数学论文：中学数学教学中设计和渗透数学建模思想实例.docVIP

初中学科类论文（数学）中学数学教学中设计和渗透数学建模思想实例摘要：“数学建模”在中学数学教学中具有现实的需要和施行的可能性，但由于受中学阶段学生的心智和知识局限，中学数学建模教育必须采用恰当的方式即应采用渗透渐进式的完整的数学建模概念、建模步骤和适合中学的建模实例。本文从数学建模的过程框架出发，通过实例说明中学数学建模的实际操作和技巧，简单介绍如何运用所学数学知识解决实际问题，培养学生分析问题和解决问题的能力。关键词：数学建模；中学数学；教学；分析运用数学文化素养越来越成为当今每个公民，以至整个民族文化素养的重要内容和标志。数学教育从传统的“传授知识”模式更多地转变为“以激励学习为特征”的实践模式更着重于培养、发展学生的广泛的数学能力。因此，在目前的中学数学教育中，问题解决(Problem Solving)已成为一个热点。中学数学中的应用题大量涌现，出现了一大批情境新颖、富于时代气息、切合实际贴近生活的新题型，加大了应用问题的考察力度，体现了数学源于生活、应用于生活的特点。这有利于学生之间的公平竞争，对提高学生运用所学知识分析问题、解决问题的能力也是很有益的。但是由于这一类应用题非数学背景趋于复杂、数学结构趋于隐蔽，数学化过程比较困难，这就要求学生能读懂题目的条件和要求，把所学知识灵活地运用于陌生的情境，摒弃题中与数学无关的非本质因素，抽取出问题的数学本质，建立适当的数学模型，创造性地求解。数学建模更突出地表现了对原始问题的分析、假设、抽象的数学加工过程；数学工具、方法、模型的选择和使用过程；模型的求解、验证、再分析、修改假设、再求解的迭代过程。当然，数学建模也更完美了学数学和用数学的关系。数学建模对象是未经数学抽象和转化的“原坯”型问题。本文从数学建模的过程框架出发，通过实例说明中学数学建模的实际操作和技巧，简单介绍如何运用所学数学知识解决实际问题，培养学生分析问题和解决问题的能力，浅述笔者对中学数学建模的理解和尝试。1、数学建模的过程框架数学建模(Mathematical Modeling)是建立数学模型的过程的缩略表示，在工业设计、经济设计或任何其它设计中运用数学的语言和方法实际上就是数学建模。一般地，数学建模的过程可用下列框架图1表示，见图1。D数学模型的解B现实的模型C数学模型A现实世界的问题或情况是否符合实际？修改，深化，扩展现实问题的解E回译 检验简化图1 数学建模过程框架图数学方法 计算机工具翻 译2、数学建模的一般步骤 要建立数学模型，首先必须对什么是数学模型和建立数学模型的一般步骤有一个简单的了解。数学模型可以描述为对于现实世界的一个特定对象，为了某个特定目的，根据特有的内在规律，做出一些必要的简化假设，运用适当的数学工具，得到的一个数学结构。数学建模的步骤并没有固定模式，不同的人有不同的看法。一般情况下，建立数学模型大致有以下几个步骤：它包括模型准备、模型假设、模型建立、模型求解、模型分析、模型检验、模型应用，即见图2。模型准备模型应用今年感模型分析模型求解模型检验模型建立模型假设图2 数学建模一般步骤 3、中学数学建模的技巧近年来大学生数学建模竞赛方兴未艾，从一个侧面展示数学建模的生命力，也推动着数学建模知识的完善和普及，许多高校都相继开设了数学建模课程。那么在中学数学教学中，是否能开展数学建模教育呢？回答是肯定的。不过因为中学阶段学生的心智和知识局限所致，我们不能像大学生一样把“数学建模”当作一门必修课程给予系统传授，但是可以用恰当方式进行数学建模渗透，比如，中学数学中的函数、方程、数列、向量、线性规划等都是解决一类问题的数学模型。中学数学建模很多是为了应用性问题的解决。因此，建立相应的数学模型是有一定技巧的。(1)通过平时积累，建立中学数学的“模型库”。如，工农业生产问题、商业问题、社会问题、自然科学问题等。 (2)由纯数学知识反推问题所涉及的可能影响最终结果的量，并将这些量(尤其是表示主要因素的量)转化为用数学语言描述。如，由数量相关想到代数(函数、方程、不等式、数列等)模型，由形状相关想到平面几何或立体几何模型，由位置相关想到解析几何或三角模型2。 (3)从得到结果的实际操作过程出发，建立模型或受到启发。例1把一块边长为130cm的正方形铁皮，剪成四小块，见图3，再把它们拼成一块长210cm，宽80cm的矩形铁皮，见图4。从面积上考虑，正方形铁皮的面积为130130 =16900cm2，而矩形铁皮的面积为(130+80)80 = 16800cm2，请问还有100cm2的铁皮哪里去了8050图3 例1图示图4 例1图示 50 50 80130130808080这是一个铁皮剪拼问题。与形状相关，应想到平面几何模型。面积确实少了，应想到有重叠部分，但重叠部分在哪里呢?想象一下平常拼纸板的情形，见图4， I与IV， II与III直角边部分是毫无疑问可以这样拼成的，但斜边部分能成一直线吗?问题就出在这里。 (4)建模时尽可能用简单模型取代复杂模型。如，涉及“至多”、“至少”的应用题一般说来既可以用不等式又可以用方程，最好用方程；有明显递推规律的，最好在搞清特殊情况以后再递推，而不是一开始就考虑一般情况。例2摄影胶片绕在盘上，空盘时盘芯直径100mm，满盘时盘的直径200mm，若胶片厚度是 0.2mm，那么满盘时一盘胶片的长度有多少?这是一个胶片缠绕问题，若一圈一圈地考虑，可建立数列模型，若从面积考虑则可建立方程模型。建议用两种方法去求解，然后比较模型的优劣，以积累经验。(5)依托图表，分类讨论，是建模时不可忘记的技巧。4、挖掘教材的习题和例题，采集实际模型，引导学生独立开展建模活动在中学阶段，数学建模教学的方式主要是通过实际应用题的解决方法来体现的。数学应用题的非数学背景是多种多样的，故建模的关键是在陌生的情景中理解和分析给出的问题，舍弃与数学无关的非本质因素，通过抽象转化成相应的数学模型。数学知识的应用在学习中也是学生的一个难点，所以，要提高学生解决实际问题的意识和能力，就必须在平时的课堂中，寓数学应用于具体的数学之中，充分利用教材中最基本的应用题实例， 多把实际问题拿到数学的课堂中来，培养学生的语言转化能力，并从中提炼出数学建模思想和方法，使学生在头脑中储存一定数量的数学模型。以下就尝试着以中学知识为背景介绍如何在中学数学教学中渗透数学建模思想和方法并分类提供实例。4.1运用线性规划问题建模举例现实世界的问题或情况。涉及线性规划的现实问题很多，例如，实际生产中的运输问题、计划安排、合理配料等都可以借助于线性规划来解决。下料问题是线性规划模型可以解决的一类常见问题。例3若需在长为4000mm的圆钢上截出长为698mm和518mm两种毛坯，问怎样截取才能使残料最少?（现实模型）数学模型。初步分析，可先考虑两种“极端”：(1)全部截出长为698mm的甲坯，可截出= 5件，残料长为510mm； (2)全部截出长为518mm的乙坯，可截出= 7件，残料长为374mm。由此可想到，若将x个甲坯和y个乙坯搭配下料，将截取条件数学化地表示为：表1解法1用表X012345Y765320z/%90.6590.1599.6591.2095.7087.25目标是使函数 (材料利用率)尽可能地接近或等于1。数学模型的解。 解法1(穷举法)由表1可知，取图5 例3图示x =2，y =5时，z=99.65%最接近于1。解法2(图解法)条件(1)(2)对应的是图中AOB内的格点，见图5。当格点越靠近AB，残料就越少。从图5易知点E(2，5)距AB最近，故取x =2，y =5时残料最少。实际问题的解。由上述解法知，截取2个甲坯、5个乙坯最佳。 例4 家俱公司制作木质的书桌和椅子，需要木工和漆工两道工序。已知木工平均4h做一把椅子，8h做一张书桌；漆工平均2h漆一把椅子，1h漆一张书桌；该公司每周木工、漆工的最多工时分别有8000个和1300个。又已知制作一把椅子和一张书桌的利润分别是15元和20元。怎样安排生产才能获得最大利润?分析与建模：设每周生产x把椅子，y张书桌，则由此得到以下数学模型，求目标函数(利润)f(x，y)=15x+20y在约束条件图6 例4图示 下的最大值。求解：问题的可行性解集是由约束条件所界定的四边形区域OABC，见图6，它们的边界分别为4x+8y=8000(AB)，2x+y =1300(BC)，x =0(OA)和y =0(OC)，顶点坐标分别为A(0，1000)，B(200，900)，C(650，0)。定解：目标函数f(x，y)的等值线为一组平行线Lf(x，y) =15x+20y=p，它在顶点处B(200，900)取得最大值(也可用穷举法将O，A，B，C坐标代入f(x，y)一一求值，选择确定)：f(200，900)=15200+20900=21000(元)。即安排生产200把椅子，900张书桌，可以获得最大利润21000元。4.2运用一元二次方程知识建立数学模型 例5 已知求证：分析：此题用不等式的常规方法证较繁。从结论看可联想到一元二次方程的判别式，于是把条件式中x、y、z重新排序，构造一个关于常数的一元二次方程方程来证。证明： 即是方程的根4.3运用二次函数的知识建立数学模型例6 工艺商场按标价销售某种工艺品时，每件可获利45元；按标价的八五折销售该工艺品8件与将标价降低35元销售该工艺品12件所获利润相等。 (1)该工艺品每件的进价、标价分别是多少元? (2)若每件工艺品按(1)中求得的进价进货、标价售出，工艺商场每天可售出该工艺100件。若每件工艺品降价1元，则每天可多售出该工艺品4件。问：每件工艺品降价多少元出售，每天获得的利润最大?获得的最大利润是多少元? 分析：本题涉及商品的销售及最大利润问题，解答本题的关键，是了解商品的利润计算方法，建立二次函数作为数学模型，利用函数的性质进行解答，求得最大的利润。 解：(1)设每件工艺品的进价是x元，则标价是（x+45）元。根据题意得 解得 x=155（元） x+45=200(元) (2)设每件工艺品应降价x元出售，每天获得的利润为y元。根据题意得 y =(45-x)(100+4x) 所以每件工艺品降价10元出售，每天获得的利润最大，获得的最大利润是4900元。 4.4运用几何知识建立数学模型（1）构造几何图形解决几何问题 例7 已知PA=PB=PC，求。（见图7）。 图7 例7图示图8 例7图示 分析：此题从表面上看是一个等腰三角形的问题，通过等腰三角形的性质和三角形的内角和定理可以解决，但过程比较繁琐。仔细观察发现，PA=PB=PC，则A，B，C在以P点为圆心的圆上，于是构造一个圆，问题迎刃而解。 解：如图8，由PA=PB=PC知，A，B，C在以P为圆心的一个圆上，由圆周角定理知，。 （2）构造几何图形解决代数问题例8 求证 分析：这是一道代数题，用代数的方法来证明相当麻烦，注意到题中类似于勾股定理的形式，可构造图形加以解决。 证：如图9，作正方形ABCD，边长为l，并作两组平行线分割如图9所示，由图可知 图9 例8图示 于是不等式的左端=PA+PD+PB+PC =（PA+PC）+（PB+PD）即不等式的左端当P在正方形中心即时等号成立，即时等号成立 命题得证。 总之， 对中学数学教学中设计和渗透数学建模思想的探索和总结是无止境的，只有在教学实践中不断概括和总结成功经验，才能形成和丰富数学建模思想与教学实践相互结合相互渗透的理论体系。在教学中重视数学建模的教学，重视培养学生的应用数学意识，多注意把抽象的数学概念与现实相联系，深入理解数学的理论知识，去分析现实社会，去解决日常生活中的