高中数学 第三章 导数及其应用 3.2.1 常见函数的导数课件 苏教版选修11.ppt

3 2 1常见函数的导数 第3章 3 2导数的运算 1 能用导数的定义求比较简单的幂函数的导数 2 准确记忆基本初等函数的导数公式 并灵活运用公式求某些函数的导数 学习目标 题型探究 问题导学 内容索引 当堂训练 问题导学 知识点一幂函数与一次函数的导数 思考1函数y kx k 0 增 减 的快慢与什么有关 答案 当k 0时 函数增加的快慢与系数k有关 k越大 增加的越快 当k 0时 函数减少的快慢与 k 有关 k 越大 函数减少的越快 思考2你能结合x 1 x2 2x x 1 x 2及 归纳出f x xn的导数有怎样的规律吗 答案 f x xn nxn 1 梳理 1 kx b k k b为常数 特别地c 0 c为常数 2 x x 1 为常数 知识点二基本初等函数的求导公式 思考1 答案 思考2如何利用 lnx 推出 logax 答案 梳理 题型探究 类型一利用导数公式求函数的导数 例1求下列函数的导数 1 y x12 y x12 12x12 1 12x11 解答 解答 解答 解答 解答 解答 6 y 3x y 3x 3xln3 若题目中所给出的函数解析式不符合导数公式 需通过恒等变换对解析式进行化简或变形后求导 如根式化成指数幂的形式求导 反思与感悟 跟踪训练1求下列函数的导数 解答 解答 y cosx sinx 类型二导数公式的综合应用 命题角度1利用导数公式解决切线问题 例2已知点p 1 1 点q 2 4 是曲线y x2上两点 是否存在与直线pq垂直的切线 若有 求出切线方程 若没有 说明理由 解答 因为y x2 2x 假设存在与直线pq垂直的切线 即4x 4y 1 0 引申探究若本例条件不变 求与直线pq平行的曲线y x2的切线方程 解答 因为y x2 2x 设切点为m x0 y0 反思与感悟 解决切线问题 关键是确定切点 要充分利用 1 切点处的导数是切线的斜率 2 切点在切线上 3 切点又在曲线上这三个条件联立方程解决 跟踪训练2已知两条曲线y sinx y cosx 是否存在这两条曲线的一个公共点 使在这一点处两条曲线的切线互相垂直 并说明理由 解答 设存在一个公共点 x0 y0 使两曲线的切线垂直 要使两切线垂直 必须有k1k2 cosx0 sinx0 1 即sin2x0 2 这是不可能的 所以两条曲线不存在公共点 使在这一点处的两条切线互相垂直 则在点 x0 y0 处的切线斜率分别为k1 y cosx0 k2 y sinx0 命题角度2利用导数公式求最值问题 例3求抛物线y x2上的点到直线x y 2 0的最短距离 依题意知抛物线y x2与直线x y 2 0平行的切线的切点到直线x y 2 0的距离最短 解答 反思与感悟 利用基本初等函数的求导公式 可求其图象在某一点p x0 y0 处的切线方程 可以解决一些与距离 面积相关的几何的最值问题 一般都与函数图象的切线有关 解题时可先利用图象分析取最值时的位置情况 再利用导数的几何意义准确计算 跟踪训练3已知直线l 2x y 4 0与抛物线y x2相交于a b两点 o是坐标原点 试求与直线l平行的抛物线的切线方程 并在弧上求一点p 使 abp的面积最大 解答 设m x0 y0 为切点 过点m与直线l平行的直线斜率k y 2x0 k 2x0 2 x0 1 y0 1 故可得m 1 1 切线方程为2x y 1 0 由于直线l 2x y 4 0与抛物线y x2相交于a b两点 ab为定值 要使 abp的面积最大 只要p到ab的距离最大 故点m 1 1 即为所求弧上的点 使 abp的面积最大 当堂训练 1 2 3 4 5 1 设函数f x logax f 1 1 则a 答案 解析 1 2 3 4 5 答案 解析 1 2 3 4 5 3 在曲线y 上求一点p 使得曲线在该点处的切线倾斜角为135 则点p的坐标为 答案 解析 y 4x 2 8x 3 设点p x0 y0 2 1 1 2 3 4 5 4 设正弦函数y sinx上一点p 以点p为切点的切线为直线l 则直线l的倾斜角的范围是 答案 解析 sinx cosx kl cosx 1 2 3 4 5 解答 y 0 解答 1 2 3 4 5 解答 4 y lgx 解答 1 2 3 4 5 解答 y sinx cosx 5 y