福建省福州市10月高中数学学科会议专题讲座 三角函数专题复习 新人教版.doc

福建省福州市2012年10月高中数学学科会议专题讲座 三角函数专题复习（一）、本专题的学习的主要内容是什么，要达到什么要求？1、本专题主要内容必修4：三角函数（16课时） 三角恒等变换（8课时）必修5：解三角形（8课时）2、课标要求:三角函数是基本初等函数，它是描述周期现象的重要数学模型，在数学和其他领域中具有重要的作用。在本模块中，学生将通过实例，学习三角函数及其基本性质，体会三角函数在解决具有周期变化规律的问题中的作用。三角恒等变换在数学中有一定的应用，同时有利于发展学生的推理能力和运算能力。在本模块中，学生将运用向量的方法推导基本的三角恒等变换公式，由此出发导出其他的三角恒等变换公式，并能运用这些公式进行简单的恒等变换。学生将在已有知识的基础上，通过对任意三角形边角关系的探究，发现并掌握三角形中的边长与角度之间的数量关系，并认识到运用它们可以解决一些与测量和几何计算有关的实际问题。3、考试说明（本专题文、理科要求相同，近几年基本不变）1.三角函数（16课时）（1）任意角的概念、弧度制 了解任意角的概念 了解弧度制概念，能进行弧度与角度的互化（2）三角函数理解任意角三角函数（正弦、余弦、正切）的定义能利用单位圆中的三角函数线推导出的正弦、余弦、正切，及的正弦、余弦的诱导公式，能画出，的图象，了解三角函数周期性理解正弦函数、余弦函数在区间的性质（如单调性、最大值和最小值、图象与 轴的交点等）；理解正切函数在区间的单调性理解同角三角函数的基本关系式：，了解函数的物理意义；能画出的图象，了解参数对函数图象变化的影响了解三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型，会用三角函数解决一些简单的实际问题.2三角恒等变换（8课时）（1）和与差的三角函数公式 会用向量的数量积推导出两角差的余弦公式 能利用两角差的余弦公式导出两角差的正弦、正切公式 能利用两角差的余弦公式导出两角和的正弦、余弦、正切公式，导出二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系（2）简单的三角恒等变换能运用上述公式进行简单的恒等变换（包括导出积化和差、和差化积、半角公式，但对这三组公式不要求记忆）3解三角形（8课时）掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题4、考查要求的可测性细化三角函数部分： 了解：了解任意角的概念和弧度制，能进行弧度与角度的互化。能画出y=sin x, y=cos x, y=tan x的图象。了解三角函数的周期性。结合具体实例，了解的实际意义。能借助计算器或计算机画出的图象，观察参数对函数图象变化的影响。体会三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型。理解：借助单位圆理解任意角三角函数（正弦、余弦、正切）的定义。借助图象理解正弦函数、余弦函数在0，2，正切函数在（-/2，/2）上的性质（如单调性、最大和最小值、图象与x轴交点等）。理解同角三角函数的基本关系式：，。会用三角函数解决一些简单实际问题。掌握：借助单位圆中的三角函数线推导出诱导公式（, 的正弦、余弦、正切）三角恒等变换部分： 了解：了解它们（两角和的正弦、余弦、正切公式，二倍角的正弦、余弦、正切公式）的内在联系. 理解：能运用上述公式进行简单的恒等变换（包括导出积化和差、和差化积、半角公式，但对这三组公式不要求记忆） 掌握：会用向量的数量积推导出两角差的余弦公式. 能利用两角差的余弦公式导出两角差的正弦、正切公式.能利用两角差的余弦公式导出两角和的正弦、余弦、正切公式，导出二倍角的正弦、余弦、正切公式。 解三角形部分： 掌握：掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题.能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题.（二）、本专题的主要考点有哪些，常考的内容又是什么？1、纵向比较近四年福建高考本专题的内容年份理科文科2009年1.函数最小值是a-1 b. c. d.14. 等于a b. 2 c. -2 d. +218、如图，某市拟在长为8km的道路op的一侧修建一条运动赛道，赛道的前一部分为曲线段osm，该曲线段为函数y=asinx(a0, 0) x0,4的图象，且图象的最高点为s(3，2)；赛道的后一部分为折线段mnp，为保证参赛运动员的安全，限定mnp=120（i）求a , 的值和m，p两点间的距离；（ii）应如何设计，才能使折线段赛道mnp最长？7. 已知锐角的面积为，则角的大小为a.75 b. 60c. 45d.3019已知函数其中，（i）若求的值； （）在（i）的条件下，若函数的图像的相邻两条对称轴之间的距离等于，求函数的解析式；并求最小正实数，使得函数的图像象左平移个单位所对应的函数是偶函数。2010年1的值等于（ ）abcd14已知函数和的图象的对称轴完全相同。若，则的取值范围是 。19某港口要将一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的轮船上，轮船位于港口o北偏西且与该港口相距20海里的a处，并以30海里/小时的航行速度沿正东方向匀速行驶。假设该小船沿直线方向以海里/小时的航行速度匀速行驶，经过t小时与轮船相遇。（1）若希望相遇时小艇的航行距离最小，则小艇航行速度的大小应为多少？（2）假设小艇的最高航行速度只能达到30海里/小时，试设计航行方案（即确定航行方向与航行速度的大小），使得小艇能以最短时间与轮船相遇，并说明理由。2.计算的结果等于a. b. c. d.10.将函数的图像向左平移个单位。若所得图象与原图象重合，则的值不可能等于a.4 b.6 c.8 d.1216. 观察下列等式： cos2a=2-1; cos4a=8- 8+ 1; cos6a=32- 48+ 18- 1; cos8a=128- 256+ 160- 32+ 1;cos10a= m- 1280+ 1120+ n+ p- 1.可以推测，m n + p = .21某港口要将一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的轮船上，在小艇出发时，轮船位于港口北偏西30且与该港口相距20海里的处，并正以30海里/小时的航行速度沿正东方向匀速行驶。假设该小艇沿直线方向以海里/小时的航行速度匀速行驶，经过小时与轮船相遇。()若希望相遇时小艇的航行距离最小，则小艇航行速度的大小应为多少？ ()为保证小艇在30分钟内(含30分钟)能与轮船相遇，试确定小艇航行速度的最小值；()是否存在，使得小艇以海里/小时的航行速度行驶，总能有两种不同的航行方向与轮船相遇？若存在，试确定的取值范围；若不存在，请说明理由。2011年3若tan=3，则的值等于a2 b3 c4 d614如图，abc中，ab=ac=2，bc=，点d 在bc边上，adc=45，则ad的长度等于_。16已知等比数列an的公比q=3，前3项和s3=。（i）求数列an的通项公式；（ii）若函数在处取得最大值，且最大值为a3，求函数f（x）的解析式。9若a（0， ），且sin2a+cos2a=，则tana的值等于a b c d 14若abc的面积为，bc=2，c=，则边ab的长度等于_21设函数f（）=，其中，角的顶点与坐标原点重合，始边与x轴非负半轴重合，终边经过点p（x,y），且。（1）若点p的坐标为，求的值；（ii）若点p（x，y）为平面区域：，上的一个动点，试确定角的取值范围，并求函数的最小值和最大值。2012年13.已知abc得三边长成公比为的等比数列，则其最大角的余弦值为_.17某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一个常数。（1）sin213+cos217-sin13cos17（2）sin215+cos215-sin15cos15（3）sin218+cos212-sin18cos12（4）sin2（-18）+cos248- sin2（-18）cos48（5）sin2（-25）+cos255- sin2（-25）cos55 试从上述五个式子中选择一个，求出这个常数 根据（）的计算结果，将该同学的发现推广位三角恒等式，并证明你的结论。8.函数f(x)=sin(x-)的图像的一条对称轴是a.x= b.x= c.x=- d.x=-13.在abc中，已知bac=60，abc=45，则ac=_。20. 某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一个常数。（1）sin213+cos217-sin13cos17（2）sin215+cos215-sin15cos15（3）sin218+cos212-sin18cos12（4）sin2（-18）+cos248- sin（-18）cos48（5）sin2（-25）+cos255- sin（-25）cos55 试从上述五个式子中选择一个，求出这个常数 根据（）的计算结果，将该同学的发现推广为三角恒等式，并证明你的结论。2、近四年福建卷本专题考查情况：题号三角函数图象与性质三角恒等变换解三角形分值2009年理1三角函数性质：最值二倍角的正弦公式234三角函数的导数18三角函数性质：最值两角和、差的正弦公式正弦定理（应用题）文7三角形面积公式1719三角函数性质：解析式两角和余弦公式2010年理1特殊解的三角函数值两角差正弦公式的逆用2214三角函数图象与性质：对称轴、最值19余弦定理（应用题）文2二倍角的余弦公式2610三角函数图象与性质：周期16三角变换、类比21余弦定理（应用题）2011年理3同角的三角函数的基本关系二倍角的正弦公式1614正、余弦定理16三角函数性质：最值文9二倍角的余弦公式、同角公式2114面积公式、余弦定理21定义、三角函数性质：最值2012年理13余弦定理1717两角和差、二倍角的正余弦公式文8三角函数图象与性质：对称轴2113正弦定理20两角和差、二倍角的正余弦公式解读：按课时比例，理科本专题应考查约15分，文科应考查约19分，从这几年看实际考查稍微偏多，也在合理范围，正常应该理科一小一大或两小一大（半题）、文科两小一大。3、横向比较2012年各地高考本专题的内容基本题型一：考查三角函数基本公式（定义、恒等变换、求值等）（2012年高考（山东理）若,则（）abcd（2012年高考（辽宁理）已知,(0,),则=（）a1bcd1（2012年高考（江西理）若tan+ =4,则sin2=（）abcd（2012年高考（大纲理）已知为第二象限角,则（）abcd（2012年高考（四川文）如图,正方形的边长为,延长至,使,连接、则（）abcd2012年高考（辽宁文）已知,(0,),则=（）a1bcd1（2012年高考（江西文）若,则tan2=（）a-bc-d（2012年高考（大纲文）已知为第二象限角,则（）abcd解读:作为三角恒等变形、求值，主要运用同角公式及定义，难点是对题目中隐含的角的范围的判定，教学中建议对这方面的针对训练。基本题型二：三角函数的图像与性质（值域、奇偶性、单调性、周期性、图像的对称性、解析式等）（2012年高考（上海春）函数的最小正周期为_.（2012年高考（福建文）函数的图像的一条对称轴是（）a bcd（2012年高考（新课标理）已知,函数在上单调递减.则的取值范围是（）abcd（2012年高考（湖南理）函数f(x)=sinx-cos(x+)的值域为（）a -2 ,2b-,c-1,1 d- , （2012年高考（大纲理）当函数取得最大值时,_.（2012年高考（天津理）已知函数,.()求函数的最小正周期;()求函数在区间上的最大值和最小值.（2012年高考（天津文）将函数的图像向右平移个单位长度,所得图像经过点,则的最小值是（）ab1cd2（2012年高考（山东文）函数的最大值与最小值之和为（）ab0c-1d（2012年高考（课标文）已知0,直线=和=是函数图像的两条相邻的对称轴,则=（）abcd解读：对于三角函数的图像与性质，建议适度形式化教学，让学生形成“条件反射”，提高解题效率。基本题型三：考查三角形中的三角函数与正弦定理、余弦定理的应用（求角、面积、判断三角形形状等）（2012年高考（天津理）在中,内角,所对的边分别是,已知,则（）abcd（2012年高考（北京文）在abc中,若,则的大小为_.（2012年高考（陕西理）在中,角所对边长分别为,若,则的最小值为（）abcd（2012年高考（重庆理）设的内角的对边分别为,且则_（2012年高考（湖北理）设的内角,所对的边分别为,. 若,则角_.（2012年高考（福建理）已知得三边长成公比为的等比数列,则其最大角的余弦值为_（2012年高考（上海文）在中,若,则的形状是（）a钝角三角形.b直角三角形.c锐角三角形.d不能确定.（2012年高考（湖南文）在abc中,ac= ,bc=2,b =60,则bc边上的高等于（）abcd（2012年高考（重庆文）设的内角 的对边分别为,且,则_解读：正余弦定理的应用，可以遵循：画图（数形结合）-代公式（设未知数）-求解（方程思想）来解决问题。基本题型四：考查三角知识与向量、数列、不等式等知识的综合应用（2012年高考（山东理）已知向量,函数的最大值为6.()求;()将函数的图象向左平移个单位,再将所得图象上各点的横坐标缩短为原来的倍,纵坐标不变,得到函数的图象.求在上的值域. （2012年高考（辽宁理）在中,角a、b、c的对边分别为a,b,c.角a,b,c成等差数列.()求的值;()边a,b,c成等比数列,求的值.（2012年高考（江苏）在中,已知.(1)求证:;(2)若求a的值.（2012年高考（陕西文）设向量=(1.)与=(-1, 2)垂直,则等于 a b c0d-1（2012年高考（大纲文）中,内角a.b.c成等差数列,其对边满足,求.（2012年高考（安徽理）设的内角所对的边为;则下列命题正确的是若;则 若;则 若;则 若;则 若;则解读：重点是如何通过其它知识的解析，回归到三角函数的本质。（三）、典型考题分析例1、（2012年高考（浙江理）把函数y=cos2x+1的图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),然后向左平移1个单位长度,再向下平移1个单位长度,得到的图像是【答案】a 【解析】把函数y=cos2x+1的图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)得:y1=cosx+1,向左平移1个单位长度得:y2=cos(x+1)+1,再向下平移1个单位长度得:y3=cos(x+1).令x=0,得:y30;x=,得:y3=0;观察即得答案.解读：本题的本质就是考查五点作图法与图像的平移知识，解决此类问题通常用特殊点进行检验。例2、（2012年高考（湖南理）函数f(x)=sin ()的导函数的部分图像如图4所示,其中,p为图像与y轴的交点,a,c为图像与x轴的两个交点,b为图像的最低点.xyoapcb图4(1)若,点p的坐标为(0,),则_ ;(2)若在曲线段与x轴所围成的区域内随机取一点,则该点在abc内的概率为_.【答案】(1)3;(2) 【解析】(1),当,点p的坐标为(0,)时 ; (2)由图知,设的横坐标分别为. 设曲线段与x轴所围成的区域的面积为则,由几何概型知该点在abc内的概率为. 解读：本题为三角与导数、定积分、概率相结合，有一定的思维要求，两个面积都是从含字母中运算得到常数，这是大多数学生事先估计不到的。所以，有时含字母的式子我们要“敢”算。例3、（2012年高考（北京理）在abc中,若,则_.【答案】 【解析】在中,得用余弦定理,化简得,与题目条件联立,可解得,答案为. 解读：这类题目建议模式化处理，列出余弦定理，解方程组。例4、（2012年高考（四川理）函数在一个周期内的图象如图所示,为图象的最高点,、为图象与轴的交点,且为正三角形.()求的值及函数的值域;()略解析()由已知可得: =3cosx+ 又由于正三角形abc的高为2,则bc=4 所以,函数 所以,函数 解读：关键是如何把“为正三角形”化为我用，突破这一层，其它问题迎刃而解。例5、（2012年高考（福建理）某同学在一次研究性学习中发现,以下五个式子的值都等于同一个常数.(1)(2)(3)(4)(5) 试从上述五个式子中选择一个,求出这个常数 根据()的计算结果,将该同学的发现推广三角恒等式,并证明你的结论.解:(1)选择(2)式计算如下 (2)证明: 解读：这虽然是一道来自课本的题目，但证明过程体现了三角恒等变形过程中公式运用与运算的基本功力，化简的途径不只一条，但所用的公式确实都是考试说明中所要求的。建议教学过程中不要补充额外的三角公式了。例6、（2012年高考（四川文）如图,正方形的边长为,延长至,使,连接、则（）a b c d答案b 解读：这题还可以，用两角差的正弦公式计算，回归定义解决。例7、（2012年高考（湖北文）设的内角所对的边分别为,若三边的长为连续的三个正整数,且,则为（）a432b567c543d654【解析】因为为连续的三个正整数,且,可得,所以;又因为已知,所以.由余弦定理可得,则由可得,联立,得,解得或(舍去),则,.故由正弦定理可得,.故应选d