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知识点 直线与圆的位置关系 直线与圆的位置关系 定义 设直线l ax by c 0 圆C x2 y2 Dx Ey F 0 圆的半径为r 圆心到直线的距离为d 则判别直线与圆的位置关系的依据有以下几点 1 当d r时 直线l与圆C相离 2 当d r时 直线l与圆C相切 3 当d r时 直线l与圆C相交 直线与圆的位置关系 判定方法 几何方法 主要步骤 1 把直线方程化为一般式 利用圆的方程求出圆心和半径 2 利用点到直线的距离公式求圆心到直线的距离 3 作判断 当d r时 直线与圆相离 当d r时 直线与圆相切 当d r时 直线与圆相交 直线与圆的位置关系 判定方法 代数方法 主要步骤 1 把直线方程与圆的方程联立成方程组 2 利用消元法 得到关于另一个元的一元二次方程 3 求出其 的值 比较 与0的大小 4 当 0时 直线与圆相交 直线与圆的位置关系 典型例题 1 已知圆的方程x2 y2 2 直线y x b 当b为何值时 1 圆与直线有两个公共点 2 圆与直线只有一个公共点 3 圆与直线没有公共点 解法1 圆心O 0 0 到直线y x b的距离为圆的半径 1 当d r 即 2 b 2时 直线与圆相交 有两个公共点 2 当d r 即b 2时 直线与圆相切 有一个公共点 3 当d r 即b 2或b 2时 直线与圆相离 无公共点 直线与圆的位置关系 典型例题 解法2 联立两个方程得方程组消去y2得2x2 2bx b2 2 0 16 4b2 1 当 0 即 2 b 2时 直线与圆有两个公共点 2 当 0 即b 2时 直线与圆有一个公共点 3 当 0即b 2或b 2时 直线与圆无公共点 直线与圆的位置关系 典型例题 2 已知圆C x2 y2 2x 4y 4 0 问是否存在斜率为1的直线l 使l被圆C截得弦AB满足 以AB为直径的圆经过原点 解 假设存在且设l为 y x m 圆C化为 x 1 2 y 2 2 9 圆心C 1 2 由垂径定理得过圆心的直线垂直弦并且平分弦 则过圆心的直线为y 2 x 1 解方程组得AB的中点N的坐标 直线与圆的位置关系 典型例题 由于以AB为直径的圆过原点 所以 AN ON 又所以解得m 1或m 4 所以存在直线l 方程为x y 1 0和x y 4 0 并可以检验 这时l与圆是相交于两点的 直线与圆的位置关系 变形训练 1 如图 已知直线l 3x y 6 0和圆心为C的圆x2 y2 2y 4 0 判断直线l与圆的位置关系 如果相交 求它们交点的坐标 直线与圆的位置关系 变形训练 解法一 由直线l与圆的方程 得消去y 得x2 3x 2 0 因为 3 2 4 1 2 1 0所以 直线l与圆相交 有两个公共点 直线与圆的位置关系 变形训练 解法二 圆x2 y2 2y 4 0可化为x2 y 1 2 5 其圆心C的坐标为 0 1 半径长为点C 0 1 到直线l的距离 所以 直线l与圆相交 有两个公共点 由x2 3x 2 0 解得x1 2 x2 1
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