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第4讲 基本不等式 知 识 梳理 1.基本形式:,则;,则,当且仅当时等号成立.2求最值:当为定值时,有最小值;当或为定值时,有最大值().3.拓展：若时,当且仅当时等号成立. 重 难 点 突 破 1.重点：理解基本不等式等号成立条件，掌握用基本不等式证明不等式会用基本不等式解决简单的最大（小）值问题.2.难点：利用基本不等式求最大值、最小值3.重难点：正确运用基本不等式证明不等式，会用基本不等式求某些函数的最值(1) 灵活运用基本不等式处理不等关系问题1. 已知正数x、y满足x+2y=1，求+的最小值.点拨：x、y为正数，且x+2y=1，+=（x+2y）（+）=3+3+2，当且仅当=，即当x=1，y=1时等号成立.+的最小值为3+2.（2）注意取等号的条件问题2. 已知两正数x,y 满足x+y=1,则z=的最小值为 。点拨：错解1、因为对a0,恒有,从而z=4,所以z的最小值是4。错解2、，所以z的最小值是。错因分析：解一等号成立的条件是相矛盾。解二等号成立的条件是，与相矛盾。解析：z=，令t=xy, 则，由在上单调递减,故当t=时 有最小值,所以当时z有最小值。 热 点 考 点 题 型 探 析考点1 利用基本不等式求最值(或取值范围)题型1. 当积为定值时,求和最小值例1 . 已知且满足,求的最小值.【解题思路】利用，构造均值不等式解析：, ,当且仅当时等号成立,即,又, 当时,有最小值18.【名师指引】利用基本不等式求最值要注意“一正二定三相等”即（1)要求各数均为正数；(2)要求“和”或“积”为定值；(3)要注意是否具备等号成立的条件题型2. 当和为定值时, 求积最大值例2. 已知x0，y0，且3x+4y=12，求lgx+lgy的最大值及此时x、y的值 【解题思路】这是条件最值问题，但目标式与已知条件的联系较隐蔽，不易发现. 应将lgx+lgy转化成lgxy考虑解析x0，y0，3x+4y=12， ，lgx+lgy=lgxylg3 由 解得 当x=2，y=时，lgx+lgy取得最大值lg3 【名师指引】利用基本不等式求最值是高考中最常考的方法之一题型3.灵活运用基本不等式求取值范围例3. 若正数a，b满足ab=a+b+3，则ab的取值范围是_ 【解题思路】可通过多种途经将等式化为可利用重要不等式的不等关系求解解法一 由a、bR+，由重要不等式得a+b2，则ab=a+b+32+3，即3， ab9 解法二 a、b为正数， ab=a+b+30，两边立方得 a3b334aba2b234，ab0，ab9 解法三 原条件式变为ab-3=a+b， a、b均为正数，故式两边都为正数，两边平方得a2b2-6ab+9=a2+b2+2ab， a2+b22ab， a2b2-6ab+94ab，即a2b2-10ab+90，(ab-1)(ab-9)0，由式可知ab3， ab9 解法四 把a、bR+看作一元二次方程的两个根，此方程为x2+(3-ab)x+ab=0，则=(3-ab)2-4ab0，即 (ab)2-10ab+90， (ab-9)(ab-1)0，ab-1=a+b+20成立， ab9 解法五 由已知得a(b-1)=b+3，显然a1， ，即ab9 【名师指引】本题用了转化思想（等式转化为不等式）、方程思想、函数思想，这是解决数学问题经常用的思想方法【新题导练】1.若，则=_时,有最小值，最小值为_.解析:, , ,=，当且仅当即时.2. .(2008华附)已知则的最小值为 解析:，当且仅当时取等号.3. 已知一动直线与两坐标轴的正半轴围成的三角形的面积的数值比直线的纵、横截距之和大1，求这三角形面积的最小值解析： 设直线的方程（a0，b0），则，a+b2，即0，解得，当a=b=2+时，三角形面积的最小值为5+2考点2 利用基本不等式证明题型：用综合法证明简单的不等式例1. 已知,求证:.【解题思路】因为是轮换对称不等式，可考虑由局部证整体.解析 ,相加整理得. 当且仅当时等号成立.【名师指引】综合法证明不等式常用两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数这一结论，运用时要结合题目条件，有时要适当变形.例2. 已知a，b为正数，求证：【解题思路】观察结构用基本不等式加以证明.解析1： a0，b0， ， ，两式相加，得， 解析2. 解析3. a0，b0， 欲证 ，即证 ，只要证 ，只要证 ，即证 ，只要证 a3+b3ab(a+b)，只要证 a2+b2-abab，即证 (a-b)20 (a-b)20成立， 原不等式成立 【名师指引】当要证明的不等式形式上比较复杂时，常通过分析法寻求证题思路“分析法”与“综合法”是数学推理中常用的思维方法，特别是这两种方法的综合运用能力，对解决实际问题有重要的作用 这两种数学方法是高考考查的重要数学思维方法【新题导练】4.已知,求证:解析： 又 由得 ,又不等式、中等号成立的条件分别为,故不能同时成立,从而.5.设x0,y0且xy,求证证明：由x0,y0且xy,要证明只需 即只需由条件,显然成立.原不等式成立考点3 基本不等式在实际中的应用题型1.处理恒成立的有关问题例1. (2008中山)若,且恒成立,则的最小值是_【解题思路】分离系数得令求最大值即可解析: 事实上求函数的最大值,即的最大值,运用基本不等式不难得到.【名师指引】分离系数法是处理参数取值范围的常用方法.题型2.处理函数应用题.例2.(2008梅县）某厂生产某种产品的年固定成本为250万元,每生产千件,需另投入成本为.当年产量不足80千件时,(万元);当年产量不小于80千件时,(万元).每件商品售价为0.05万元.通过市场分析,该厂生产的商品能全部售完.(1)写出年利润(万元)关于年产量(千件)的函数解析式;(2)年产量为多少千件时,该厂在这一商品的生产中所获利润最大?【解题思路】凑出基本不等式的形式.解析: (1)当时,当时,(2)当时,此时,当时,取得最大值(万元);当时,此时,当时,即时,取得最大值1000万元.所以,当产量为100千件时,该厂在这一商品中所获利润最大,最大利润为1000万元.【名师指引】形如函数的形式求最值时可考虑用基本不等式，但要注意条件的限制,可借助函数的图像解题，必要时借助于导数.题型3.处理数列应用题例3. 某乡为提高当地群众的生活水平,由政府投资兴建了甲、乙两个企业,2007年该乡从甲企业获得利润320万元,从乙企业获得利润720万元.以后每年上交的利润是：甲企业以1.5倍的速度递增,而乙企业则为上一年利润的.根据测算,该乡从两个企业获得的利润达到2000万元可以解决温饱问题,达到8100万元可以达到小康水平.（1）若以2007年为第一年,则该乡从上述两个企业获得利润最少的一年是那一年,该年还需要筹集多少万元才能解决温饱问题？（2）试估算2015年底该乡能否达到小康水平？为什么？【解题思路】经审题抽象出数列模型解析（）若以2007年为第一年,则第n年该乡从这两家企业获得的利润为 = 当且仅当,即n=2时,等号成立，所以第二年（2008年）上交利润最少，利润为960万元.由2000960=1040（万元）知：还需另筹资金1040万元可解决温饱问题.（）2015年为第9年,该年可从两个企业获得利润 所以该乡到2015年底可以达到小康水平.【名师指引】本题重点考查数列的相关知识,基本不等式起到了工具性的作用.【新题导练】6.已知函数，若在（0，+）上恒成立，求的取值范围。解析：因为在（0，+）上恒成立，即 的最小值为4 解得7. （广东省潮州金中08-09学年高三上学期期中考试）某种汽车的购车费用是10万元，每年使用的保险费、养路费、汽油费约为万元，年维修费用第一年是万元，以后逐年递增万元。问这种汽车使用多少年时，它的年平均费用最小？最小值是多少？解析：设使用年的年平均费用为万元 则使用年的维修总费用为 万元 依题得 - 当且仅当 即时取等号 时取得最小值3 万元 答：这种汽车使用10年时，它的年平均费用最小，最小值是3 万元. 抢 分 频 道 基础巩固训练1. 设x0，则函数在x=_时，y有最小值_解：答案为： _1_；32. 设实数x,y满足，则x+y的取值范围是_解析：答案为(-,-11, +)_3. （广东省梅州、揭阳两市四校2008届高三第三次联考）设x，y均为正实数，且，则xy的最小值为 解析：由可化为xy =8+x+y,x，y均为正实数 xy =8+x+y（当且仅当x=y等号成立）即xy-2-8可解得,即xy16故xy的最小值为16。4. 半径为4的球面上有A、B、C、D四点，且AB，AC，AD两两互相垂直，则、面积之和的最大值为（ ）CA8B16C32D64解析：由AB，AC，AD两两互相垂直，将之补成长方体知AB2+AC2+AD2=(2R)2=64=等号当且仅当取得，所以的最大值为32 ，选C5. 某公司租地建仓库，每月土地占用费y1与车库到车站的距离成反比，而每月库存货物的运费y2与到车站的距离成正比，如果在距车站10公里处建仓库，这两项费用y1和y2分别为2万元和8万元，那么要使这两项费用之和最小，仓库应建在离车站多少公里处?解析：由已知y1=；y2=0.8x(x为仓库与车站距离)费用之和y=y1+y2=0.8x+ 2=8当且仅当0.8x=即x=5时“=”成立答：5公里处综合拔高训练BACD地面6.某建筑的金属支架如图所示，根据要求至少长2.8m，为的中点，到的距离比的长小0.5m，已知建筑支架的材料每米的价格一定，问怎样设计的长，可使建造这个支架的成本最低？解析：设连结BD.则在中，设则等号成立时答：当时，建造这个支架的成本最低.7. 已知 的单调区间；（2）若讲解: （1） 对 已 知 函 数 进 行 降 次 分 项 变 形 , 得 ,（2）首先证明任意事实上,而 .8.（广东省六校2009届高三第二次联考试卷）一辆邮政车自A城驶往B城，沿途有n个车站（包括起点站A和终点站B），每停靠一站便要卸下