《球函数及其性质》PPT课件.ppt

第三章球函数及其性质 3 1球坐标中拉普拉斯方程的分离变量解法 长安大学 地质工程与测绘学院 张永志 拉普拉斯方程 一 球坐标中的拉普拉斯算子 利用该关系式直接将直角坐标系中的拉普拉斯算子化算在球坐标系中 运算比较麻烦 这里我们利用 来推导拉普斯算子在球坐标中的表达式 如图3 1所示 取一微六面体ABCDEFGH 球坐标和直角坐标的关系是 将用于该微六面体 得 其中r为微六面体的体积 i 1 2 6表示微六面体的6个面 表示在第i个面上的值 i为第i个面的面积 在AEHD上 n与p增加的方向反向 所以有 该面的面积为 所以 所以有 在AEFB上 n的方向与 增加的方向相反 由于沿 增加方向的线元长度为 d 所以 同理有 所以有 在ABCD上 n的方向与 增加的方向相反 由于沿 增加方向的线元长度为 sin d 所以 该面的面积为 d d 所以 得 综合以上几式 得拉普拉斯算子在球坐标中的表达式 二 分离变量法 令上式等于零 然后两边同乘以 平方 得球坐标中的拉普拉斯方程 分离变量法就是将方程的解分解为依赖于不同自变量的函数之积 令 得 两边同除以 移项得 等号两边必然等于同一常数 所以 进一步对第二个方程作变量分离 令 有 移项 并令两边同等于 整理得 令将上式进行改化 得连带勒让德方程 当 0时简化为 称为勒让德方程 3 2勒让得函数 一 勒让得方程的级数解 勒让得函数是勒让得方程在 一1 1 中有界条件下的特征函数 勒让得方程还可以写成 令其级数解为 得 将第一项更换指标 得 显然 要使原级数为勒让得方程的解 上式中x 的系数必须等于零 即 得递推公式 得到两个解 二 级数解的收敛性 对于上式中的两个级数来说 我们可以将看成是x平方的幕级数 将看成是x与 x2的幕级数之积 对于这两个幕级数来说 由于它们具有相同的递推公式 收敛半径也必然相等 有 就是说 当x在 1 1 中时 前面的两个级数解都是收教的 表明这两个解都有界 当x 士1时 两个级数解均无界 三 勒让得函数 为了解决方程的两个幕级数解在 1 1 中有界而在x 士1时均无界的矛盾 令 的值为n n 1 其中n为大于等于零的整数 则系数的递推公式变为 由这个递推公式 使那两个无穷级数中有一个变为多项式 当n为偶数时 变为多项式 仍为无穷级数 当n为奇数时 仍为无穷级数 变为多项式 两个多项式都在 一1 1 中有界 两个无穷级数则都在 一1 1 中有界 在x 士1时无界 因而勒让得方程在 一1 1 中有界条件下的特征值是n n十1 对应的特征函数为相应的多项式 我们把上述多项式最高次项的系数规定为 此时该多项式称为n阶勒让得函数 并且表示 在上述递推公式中令i n 2 可以得到 以此类推 可以得到 归纳可以得到 因此 得到勒让德函数的具体表达式 四 罗巨格公式 勒让得函数的另一个表达形式是 称为罗巨格公式 3 3连带勒让得函数 一 连带勒让得方程与勒让得方程的关系 连带勒让得函数是连带勒让得方程在 1 1 中有界条件下的特征函数 还可以写成 做变量代换 可以求得 将前三式代入连带勒让德方程 整理得 求导并整理得 得 可见 连带勒让得方程两个线性无关的解可由勒让得方程两个线性无关的解确定 二 连带勒让得方程的级数解 由上式可以求出连带勒让得方程两个线性无关的解 三 级数解的收敛性 当k为偶数时 将上式中的求和指标i换成i K 2 得 当i足够大时 考虑到B1 x 中的级数为x2的级数 B2 x 中的级数为x与一个x2的级数之积 所以这两上级数均可被当作正项级数处理 由于级数的前面有限项并不影响级数的收敛性 所以只要 分别无界 B1 B2也无界 可以证明 当x趋于士1时 y1 x 和y2 x 分别趋于无穷 也就是说 y1 x 和y2 x 在x 士1时无界 因而B1 x 和B2 x 在x 士1时无界 四 连带勒让得函数 为了得到 1 1 中的有界解 我们仍然取a n n 1 其中n为大于等于零的整数 此时显然 若n为偶数 则B1 x 中的无穷级数变成多项式 B2 x 中的无穷级数保持为无穷级数 若n为奇数 则B1 x 中的无穷级数保持为无穷级数 B2 x 中的无穷级数变成多项式 这两个多项式都在 一1 1 中有界 因而由它们得到的B1 x 或B2 x 也有界 则连带勒让得方程在 1 1 中的有界解为 将Pn的表达式代入 得 得 经度方向方程的求解 3 4球函数 在第一节中 我们将球坐标中的拉普拉斯方程的解分解成了三个函数的积 并解出 最后 我们来求解 当 趋于零时 所以 适用于研究内部有界的调和函