高考数学考点回归总复习 第十讲对数与对数函数课件.ppt

第十讲对数与对数函数 回归课本 1 对数概念 1 定义 一般地 对于指数式ab n 把数b叫做以a为底n的对数 记作logan 其中a叫做对数的底数 n叫做真数 2 对数性质 零和负数没有对数 即n 0 1的对数为0 即loga1 0 a 0且a 1 底的对数等于1 即logaa 1 a 0且a 1 3 对数恒等式 alogan n a 0且a 1 n 0 4 常用对数 通常将以10为底的对数叫做常用对数 n的常用对数log10n简记为lgn 5 自然对数 以无理数e 2 71828 为底的对数称为自然对数 n的自然对数logen简记作lnn 2 对数的运算性质如果a 0且a 1 m 0 n 0 那么 4 对数函数的定义一般地 函数y logax a 0 a 1 x 0 叫做对数函数 它的定义域为 0 值域为r 5 对数函数的图象与性质 6 反函数指数函数y ax a 0 a 1 与对数函数y logax a 0 a 1 x 0 互为反函数 它们的图象关于直线y x对称 考点陪练 1 已知函数的定义域为m g x ln x 1 的定义域n 则m n a x x 1 b x 1 x 1 c x x 1 d 解析 要使函数f x 有意义 则必须有1 x 0 即x0 x 1 所以g x 的定义域为 x x 1 所以m n x 1 x 1 故选b 答案 b 2 设a 1 且m loga a2 1 n loga a 1 p loga 2a 则m n p的大小关系为 a n m pb m p nc m n pd p m n解析 因为2a a 1 a 1 且a 1 所以2a a 1 0 即2a a 1 0 又a2 1 2a a 1 2 则a2 1 2a 0 因为a 1 所以函数y logax在 0 上是增函数 所以loga a2 1 loga 2a loga a 1 所以m p n 故选b 答案 b 3 下列四个数中最大的是 答案 d 解析 若a 1 则f x logax在 2 上是增函数 且当x 2时 f x 0 由 f x 1得f x 1 即logax 1 当x 2 时 logax 1恒成立 loga2 1 loga2 logaa 1 a 2 若01得 f x 1 f x 1 即logax 1 当x 2 时 logax 1恒成立 答案 c 评析 在对数函数中如果底数含有字母 通常把底数与1比较大小 进行分类讨论 答案 c 类型一对数的运算解题准备 对数化简求值问题的常见思路 一是将对数的和 差 积 商 幂转化为对数真数的积 商 幂 二是将式子化为最简单的对数的和 差 积 商 幂 合并同类项后再进行运算 解题过程中 要抓住式子的特点 灵活使用运算法则 分析 关于对数运算的题目 往往需要利用对数的运算性质 对数恒等式 换底公式等进行变形和求解 类型二对数函数的图象 解题准备 对数函数的图象 经过点 1 0 且图象都在第一 四象限 都以y轴为渐近线 当01时 图象向下无限接近y轴 对于相同的a 函数f x logax与g x 的图象关于x轴对称 分析 在同一坐标系下画出y 2x与y logax的图象 数形结合求解 类型三对数函数的性质解题准备 利用对数函数的性质可以比较对数的大小 解对数不等式 也可以求与对数函数有关的函数的定义域和值域 还可以判断对数函数与其他函数复合以后的函数的单调性 典例3 已知函数f x log4 ax2 2x 3 1 若f 1 1 求f x 的单调区间 2 是否存在实数a 使f x 的最小值为0 若存在 求出a的值 若不存在 说明理由 分析 由f 1 1求出a的值 然后根据复合函数的单调性求单调区间 根据对数函数的性质和二次函数的最值求a的值 解 1 f 1 1 log4 a 5 1 因此a 5 4 a 1 这时f x log4 x2 2x 3 由 x2 2x 3 0得 1 x 3 函数定义域为 1 3 令g x x2 2x 3 则g x 在 1 上递增 在 1 上递减 又y log4x在 0 上递增 所以f x 的单调递增区间是 1 1 递减区间是 1 3 2 假设存在实数a使f x 的最小值为0 则h x ax2 2x 3应有最小值1 因此应有 反思感悟 研究复合函数y logaf x 的单调性 最值 时 应先研究其定义域 分析复合的特点 结合函数u f x 及y logau的单调性 最值 情况确定函数y logaf x 的单调性 最值 类型四对数函数的综合问题解题准备 对于指 对数函数的综合应用 不仅重视指 对数函数内在的综合联系 还要重视函数与其他知识的综合渗透 以及在实际问题中的应用 典例4 已知函数f x log4 4x 1 kx k r 是偶函数 1 求k的值 2 设g x log4 a 2x a 若函数f x 与g x 的图象有且只有一个公共点 求实数a的取值范围 分析 由偶函数的定义建立关于k的方程求出k的值 对于 2 可转化为相应方程只有一个实数解的问题进行求解 反思感悟 本题的求解主要体现了函数与方程思想的应用 这种思想方法是高考的热点 在求解函数问题 方程问题中非常有用 错源一错用对数运算性质造成变形不等价 典例1 作出函数y 2log4x 2的图象 剖析 错解因为错用了对数的性质 在函数式变形过程中出现了错误 函数的变形过程不是等价变形 即原函数y 2log4x 2的定义域是x 0的全体实数 值域是y 0 函数的定义域是x 0 值域是y 0 而在变形中函数y 2log2x 1的定义域是x 0 值域是y 0 因而原函数的图象显然是错误的 错源二忽视真数大于0 剖析 错误的原因在于忽视了原式中的三个对数式隐含的条件 x 0 y 0 x 2y 0 所以x 2y 0 所以x y不成立 正解 因为lgx lgy 2lg x 2y 所以xy x 2y 2 即x2 5xy 4y2 0 所以x y或x 4y 因为x 0 y 0 x 2y 0 所以x y应舍去 所以x 4y 技法一快速解题 特例法 另解切入点 y f x 的图象与y ax的图象关于直线y x对称 故f x logax 可以写出g x 注意01两种情况的讨论 解析 解法一 由题意知 f x logax 故g x logax logax loga2 1 令t logax 则h t t2 loga2 1 t 答案 d 方法与技巧 解法一是由复合函数的增减性讨论的 解法二利用导数讨论 但都要考虑01两种情况 而快解是赋值 这种方法快 但有时不一定能很快找到要取的特殊值 技法二等价转化思想 典例2 方程的解